1) Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva

Transcript

1 Sessione ordinaria 994 Liceo di ordinamento ) Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy), è assegnata la curva k di equazione y + ln +. Disegnarne un andamento approssimato dopo aver verificato, fra l'altro, che essa ha due flessi. Calcolare l'area del triangolo formato dalla retta congiungente tali flessi e dalle tangenti inflessionali. Calcolare inoltre l'area della regione piana delimitata da k, dall'asse e dalla retta di equazione. Stabilire infine quale delle due aree precedenti è la maggiore. Studiamo la funzione y + ln +. + >,, + Dominio: ( ) ( ) ntersezione asse y: y ntersezione asse : in tal caso la strada da seguire è quella grafica visto che la funzione si compone di un polinomio e di una funzione trascendente. Graficamente allora la soluzione dell equazione + ln + È equivalente alla soluzione del sistema y ln + y La prima curva è la classica curva logaritmica definita, interseca l asse delle nei punti per cui ln + +,, ha l asintoto verticale in -, è positiva per ln + > + > >, <, è crescente nell intervallo (,+ ) visto che la derivata è y ( ). + La seconda curva è una parabola con vertice in (,) e concavità rivolta verso il basso. Rappresentiamole sullo stesso grafico:

2 Sessione ordinaria 994 Liceo di ordinamento due grafici come il grafico evidenzia si intersecano in due soli punti, rispettivamente α ( ),, α, con α (, ). Questa seconda soluzione è prevista anche dal teorema degli zeri applicato alla funzione y + ln + nell intervallo [, ] in cui la funzione risulta continua e derivabile e perciò in tale intervallo è applicabile il teorema degli zeri. Positività: y + ln + > ln + > e questa disequazione la risolviamo avvalendoci del grafico tracciato per trovare le intersezioni con l asse delle ascisse: infatti il grafico sopra mostrato evidenzia che ln + >, +,α ( ) ( ) Asintoti verticali:, lim + ln + lim + ln + ( + ln( ) ) + Asintoti orizzontali. Non ce ne sono poiché lim + ln + lim + ln Asintoti obliqui: non ce ne sono Crescenza e decrescenza: + y ( ) + > (, + ) la funzione è crescente e decrescente in (, ) + + +

3 Sessione ordinaria 994 Liceo di ordinamento ( ) ( + ) y ( + ) (,),(,)., per cui la curva presenterà due flessi, rispettivamente in l grafico è di seguito rappresentato: Calcolo delle tangenti inflessionali: La tangente in (,) ha equazione y m, m y ( ) y tangente inflessionale in (,). è la La tangente in (,) ha equazione y m( + ), m y ( ) Per cui 4 y è la tangente inflessionale in (,) La retta che congiunge i due flessi (,), (,). ha equazione y. Rappresentiamo la curva con le due tangenti e la retta che congiunge i due flessi su di un unico grafico:

4 Sessione ordinaria 994 Liceo di ordinamento Poiché le rette OB ed OA, che non sono altro che le bisettrici del e 4 e del e quadrante, sono tra di loro perpendicolari, allora il triangolo BOA è rettangolo per cui la sua area sara: Ora BO A BOA BO *OA Calcoliamo ora il punto A intersecando le due rette OA ed AB: y 4 A : A y y (, ) BO * OA * Per cui OA + per cui A BOA Per il calcolo dell area consideriamo la figura seguente: 4

5 Sessione ordinaria 994 Liceo di ordinamento L area sarà pari a: A + ln + d d + d + ( ln + ) Ora lo si calcola immediatamente, infatti d Per il calcolo di sfrutteremo l integrazione per parti. Ricordiamo la formula generale dell integrazione per parti: f ( ) g ( ) d f ( ) * g( ) f ( ) * g( )d * n cui con l apice si è indicato il segno di derivata. Nel caso di considereremo f ln +, g per cui: ( ) ( ) 5

6 Sessione ordinaria 994 Liceo di ordinamento ( ln + ) ln ln d ln + d + d + ln + ( + ) + [ ln + + ln + ] [( + ) ln + ] d Ed in conclusione A ln ln 6 Per vedere quali delle due arre è maggiore facciamo questo ragionamento: essendo la funzione logaritmo naturale ln ( ) una funzione strettamente crescente allora si ha che 5 5 essendo.5 < e.78 ln < ln() e per cui ln < ln() e Ma < ABOA per cui l area del triangolo BOA è maggiore dell area della regione piana 6 delimitata da k, dall'asse e dalla retta di equazione. 6