Ministero dell'istruzione, dell'università e della Ricerca

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1 Problema Ministero dell'istruzione, dell'università e della Ricerca Y7- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE Indirizzo:PIANO NAZIONALE INFORMATICA Tema di:matematica Sia f la funzione definita per tutti gli positivi da f ln.. Si studi f e si tracci il suo grafico su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali e monometrici Oy; accertato che presenta sia un punto di flesso che un punto di minimo se ne calcolino, con l aiuto di una calcolatrice, le ascisse arrotondate alla terza cifra decimale.. Sia P il punto in cui interseca l asse. Si trovi l equazione della parabola, con asse parallelo all asse y, passante per l origine e tangente a in P.. Sia R la regione piana delimitata da e dall asse sull intervallo aperto a sinistra ]0;]. Si calcoli l area di R, illustrando il ragionamento seguito, e la si esprima in mm avendo supposto l unità di misura lineare pari a decimetro.. Si disegni la curva simmetrica di rispetto all asse y e se ne scriva altresì l equazione. Similmente si faccia per la curva simmetrica di rispetto alla retta y=-. Soluzione. Studio del Grafico a. Dominio e classificazione- La funzione è trascendente logaritmica ed ha come dominio di definizione l intervallo ]0;+[. b. Segno e zeri- La funzione si annulla solo per =, è negativa per 0<<, è positiva per >. c. Limiti agli estremi del dominio lim ln 0 0 (si tratta di un limite notevole) lim ln ; lim f lim ln Il diagramma della funzione non presenta alcun asintoto. d. Monotonia, massimi e minimi relativi Derivata prima f ' ln ln Luigi Lecci: Pagina

2 f ' 0 per e ; strettamente decrescente; crescente. Il punto 0,6 0,. f ' 0 nell intervallo f ' 0 per e è di minimo assoluto e risulta 0 e, dove la funzione è e, dove la funzione è strettamente min f e e Il codominio della funzione è l intervallo ; e. e. Concavità e flessi Derivata seconda f '' ln 6ln f '' 0 solo per 0, 6 0, ; e 6 f '' 0 nell intervallo 0 e 6, dove il grafico volge la concavità verso il basso (la funzione è concava); f '' 0 per funzione è convessa). Figura e 6, dove la concavità del grafico è rivolta verso l alto (la Il punto e 6 risulta essere di flesso ascendente;. Il punto di intersezione di con l asse è P(;0). f e 6 e 0, Ricerca dell equazione della retta tangente al diagramma in P ; essendo t : y f f ' P f ' si ha t : y. Sia la parabola richiesta. La sua equazione è del tipo : y a b. Per determinare i valori dei due parametri a e b imponiamo le due condizioni: passaggio di dal punto P e che P Luigi Lecci: Pagina

3 il valore della derivata prima della funzione angolare della retta tangente in P. y a b in = sia uguale al coefficiente P ab 0; y a b y' a b, da cui y ' a b Risolvendo il sistema di equazioni ab0 ab si ottiene b e quindi a : y.. Calcolo dell area della regione R La regione piana in oggetto è situata nel semipiano delle ordinate negative e precisiamo che non contiene il punto origine O(0;0) perché in =0 non è definita la funzione y=f(). Del resto, dallo studio del limite per 0+ abbiamo riconosciuto che detto limite valeva zero per cui la funzione presenta in =0 un punto di discontinuità eliminabile (la discontinuità è di terza specie). Dal punto di vista analitico si elimina la discontinuità definendo a partire dalla funzione y=f() un altra funzione, che indichiamo con () che differisce da quest ultima solo nel punto =0 ponendo: ln( ) per 0 0 per 0 Questa funzione è detta prolungamento per continuità nel punto =0 della funzione y=f(). Utilizzando questa funzione si può calcolare l area della regione piana R in oggetto e risulta Area R d. Aspetto operativo 0 Dovendo utilizzare nell espressione della funzione integranda la funzione calcolo dell integrale definito si deve affrontare lo studio del seguente integrale d ln d, con 0, e successivamente studiare il limite ln( ), per il lim ln d 0 e se il valore ottenuto sarà finito, il risultato rappresenterà l area della regione R. Elaborazioni Calcoliamo preventivamente l integrale indefinito applicando il metodo di integrazione per parti; successivamente valuteremo il limite su indicato. Luigi Lecci: Pagina

4 ln d D ln d ln ln c 6 Integrale definito e studio del limite d ln d lim 0 0 ln d lim ln 0 6 lim ln ln 6 6 lim ln Poiché il valore ottenuto è finito e positivo, esso rappresenta l area della regione piana R. Osservazione Nello studio del limite si è utilizzato ancora una volta il limite notevole lim ln 0 0. Tenendo conto della richiesta sull espressione del valore dell area in mm, poiché il valore ottenuto è espresso in dm perché l unità di misura lineare assunta nel testo è il dm, per l area si ha: dm 0 mm 6 6 Area R 0,06 0 mm 6mm. L equazione della curva simmetrica di rispetto all asse delle ordinate si ottiene semplicemente ponendo in luogo di. Detta la curva ottenuta con la suddetta simmetria risulta Figura ': y ln, da cui ': y ln. Detta la curva simmetrica della curva rispetto alla retta s:y=-, ricordiamo che le equazioni della simmetria assiale avente per asse la retta s sono y ' : y' y Luigi Lecci: Pagina

5 Ciò premesso, l equazione di si ottiene ponendo ( y-) in luogo di y nell equazione di. Quindi si ha: '': y ln, da cui '': y ln. In Figura sono riportate tutte le curve elaborate nella risoluzione del problema affrontato. Figura Luigi Lecci: Pagina