Studio di funzione. numeri.altervista.org

Transcript

1 Studio di funzione

2 1. Determinazione del campo di esistenza CONDIZIONE DI ESISTENZA intera: FUNZIONE RAZIONALE se è del tipo f(x)=p(x) dove P(x) e' un polinomio nella variabile x fratta: se è del tipo f(x)= dove N(x) e D(x) sono 2 polinomi nella variabile x Nessuna D(x) 0 intera: se è del tipo n-dispari à nessuna y = f(x) n-pari à P(x) 0 FUNZIONE IRRAZIONALE fratta: se è del tipo (1) y = n-dispari à g(x) 0 n-pari à g x > 0

3 n-dispari à g(x) 0 (2) y = n-pari à f(x) 0 g(x) (3) y = n-dispari g(x) 0 n- pari 0 g(x) 0 esponenziale: FUNZIONI TRASCENDENTI se è del tipo y = f(x) dove f(x) e g(x) sono funzioni nella variabile x logaritmica: se è del tipo f(x) = log [f(x)] trigonometrica: se è del tipo sen (f(x)), cos (f(x)), tg (f(x)),.. f x > 0 + condizioni di esistenza di g(x) f x > Esistenza di f(x) + eventuali condizioni di esistenza della funzione trigonometrica considerata

4 2. Osservazione di eventuali simmetrie se f x = f( x) la funzione è pari ed il suo grafico è simmetrico rispetto all asse y se f x = f( x) la funzione è dispari ed il suo grafico è simmetrico rispetto all origine 3. Ricerca delle intersezioni con gli assi asse x - vanno sempre cercate, non è detto che esistano asse y. vanno cercate SE E SOLO SE 0 C. E. y = f(x) y = 0 y = f(x) x = 0 4. Studio del segno Studiare il segno della funzione significa determinare in quali intervalli il suo grafico è situato al di sopra o al di sotto dell'asse delle x. É possibile così determinare la parte di piano nel quale disegnare la funzione. Data la funzione y = f x basterà studiare la disequazione f x > 0 per ottenere gli intervalli di positività (e di negatività) cercati. 5. Studio dei limiti agli estremi del campo Il comportamento della funzione agli estremi del dominio è da studiare con il calcolo dei limiti

5 N.B. La funzione presenta: asintoto orizzontale lim f x = l ± l R (finito) asintoto verticale lim f x = ± ± (c estremo finito) 6. Calcolo della derivata FORMULARIO: alcune derivate fondamentali Regole di derivazione D [ ( ) g( )] '( ) + g '( ) y = f (x) y ' = f '(x) FUNZIONE COSTANTE y = c y ' = 0 D [k ( ) ] k '( ) con k FUNZIONE POTENZA y = x y' = 1 y = x 2 y' = 2x y = x n con n R y'=nx n 1 D[ ( ) g( )] '( ) g( ) ( ) g '( ) D f(x) f (x) g(x) = g(x) g(x) f (x) g (x)

6 8. Determinazione di massimi e minimi Passiamo ora a determinare le coordinate dei punti estremanti mediante lo studio del segno della derivata prima Una volta nota la deivata prima della nostra funzione che indichiamo con f'(x) dovremo studiare f x > 0 e costruire un grafico finale ricordando che Ove f x > 0 la funzione sarà monotona crescente Ove f x < 0 la funzione sarà monotona decrescente Ove f x = 0 la funzione ammette tangente orizzontale è un punto di MASSIMO per f se è un punto di minimo per f se f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f crescente f decrescente f decrescente f crescente MAX min CALCOLO DELLE ORDINATE DEGLI EVENTUALI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO LOCALE Basta sostituire una alla volta le ascisse dei punti di massimo e di minimo nell equazione della curva e ricavare l ordinata. È utile riportare sul grafico i risultati ottenuti.

7 METODO DI FERMAT f'(x) = 0 f''(x) > 0 PUNTO DI MINIMO f''(x) > 0 PUNTO DI MASSIMO f''(x) = 0 f'''(x)>0 PUNTO DI FLESSO A TANGENTE ORIZZONTALE f'''(x)<0