Appunti di Matematica

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1 Appunti di Matematica Studio della funzione irrazionale 9 x 2 f(x) = x 1 Massimo Pasquetto I.P.S.E.O.A. Angelo Berti classe 5AS 23 Settembre 2016 massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

2 Sommario 1 Dominio Simmetrie Intersezioni Segno Limiti Diagramma cartesiano Caratteristiche 2 Esercizi Esercizi massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

3 Data la funzione f : A R B R tale che x A y = f(x) B definita dall equazione 9 x 2 f(x) = x 1 determinare: la classificazione e il dominio A, le eventuali simmetrie pari o dispari, le intersezioni con gli assi coordinati, il segno della funzione, limiti, asintoti e punti di discontinuità, il valore di f in alcuni punti significativi, il diagramma cartesiano della funzione, (1) massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

4 Dopo aver rappresentato graficamente la funzione f determinare le sue principali caratteristiche deducendole dal grafico l insieme delle immagini f(a) e le caratteristiche della funzione (iniettività, suriettività, biunivocità, invertibilità e monotònia) deducendole dal grafico della funzione. limiti agli estremi del dominio massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

5 Dominio Dominio 9 x 2 La funzione f(x) = è algebrica irrazionale fratta, il suo dominio x 1 si ottiene imponendo che il radicando sia non negativo e che il denominatore sia non nullo 9 x 2 0 x 1 0 A = {x R 3 x < 1 1 < x 3} massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

6 Dominio Delimitazione del dominio 5 y x massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

7 Simmetrie Simmetrie Una funzione y = f(x) avente l insieme A per dominio si dice: pari se x A, f( x) = f(x) dispari se x A, f( x) = f(x) La funzione data non può essere ne pari ne dispari, infatti f( 1) = 2 = = 2 2 = ma f(1) non esiste perché 1 A. massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

8 Intersezioni Intersezioni con gli assi 9 x 2 9 x 2 y = = 0 x 1 x 1 9 x 2 = 0 y = 0 9 x 2 = 0 x = ± 9 x = 3 x = 3 Pertanto le soluzioni del sistema sono x = 3 x = 3 y = 0 y = 0 la funzione interseca l asse delle ascisse nei punti ( 3, 0) e (3, 0) simmetrici rispetto all asse delle ordinate. massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

9 Intersezioni 9 x 2 y = x 1 x = 0 y = 3 Intersezioni con gli assi x = 0 la funzione interseca l asse delle ordinate nel punto (0, 3). massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

10 Intersezioni Intersezioni con gli assi 5 y x massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

11 Segno Segno il segno della funzione si determina studiando la positività y > 0 9 x 2 > 0 x 1 N > 0 9 x 2 > 0 9 x 2 > 0 3 < x < 3 D > 0 x 1 > 0 x > 1 numeratore maggiore di zero Soluzione della disequazione fratta 1 < x < 3 massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

12 Segno Segno Pertanto, tenendo conto anche del dominio, possiamo concludere che y non esiste per x < 3 x = 1 x > 3, y > 0 per 1 < x < 3, y < 0 per 3 < x < 1, y = 0 per x = 3 x = 3. massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

13 Segno Delimitazione del grafico 5 y x massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

14 Limiti Limiti, asintoti, punti di discontinuità Asintoti verticali[ ] 9 x 2 8 lim = = la retta di equazione x = 1 è asintoto x 1 x 1 0 verticale La funzione non può avere asintoti orizzontali e obliqui perché il dominio è limitato massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

15 Diagramma cartesiano Alcuni punti del grafico 5 f( 2) = f( 1) = il grafico della funzione passa per i punti ( 2, 0.74) e ( 1, 1.41) 5 f(2) = 2.24 il grafico della funzione passa per il punto (2, 2.24) 1 massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

16 Diagramma cartesiano Diagramma cartesiano 5 y 4 3 f(x) = 9 x 2 x x massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

17 Caratteristiche Insieme delle immagini dalla rappresentazione grafica della funzione si può dedurre che l insieme delle immagini, detto anche range di f è B = f(a) = Im(f) = R massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

18 Caratteristiche Caratteristiche della funzione dal grafico si possono dedurre le seguenti caratteristiche la funzione non è iniettiva, infatti f( 3) = f(3); la funzione è suriettiva, infatti ogni elemento di f(a) è immagine di almeno un elemento del dominio; la f non è biunivoca e quindi nemmeno invertibile; la f é monotona decrescente. massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19

19 Esercizi Esercizi Studiare le seguenti funzioni irrazionali f(x) = 4 3x x 2 1 x f(x) = x + 2 massimo dot pasquetto at infinitum dot it Appunti di Matematica 23 Settembre / 19