Studio di funzione. Studio di funzione: i passi iniziali

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1 Studio di funzioni

2 Studio di funzione Si dice che una variabile dipendente y è funzione di una variabile indipendente x quando esiste un legame di natura qualsiasi che ad ogni valore di x faccia corrispondere uno e uno solo valore di y. y = f(x) Esempio: retta y = mx + q Studio di funzione: i passi iniziali Determinare il campo di esistenza Intersezione con gli assi Valori agli estremi del campo di esistenza Segno della funzione Eventuali simmetrie

3 Determinazione del campo di esistenza Si definisce campo di esistenza (dominio) di una funzione l insieme dei valori che posso assegnare alla variabile indipendente x in modo da poter calcolare il valore della variabile dipendente y. Per determinare il campo di esistenza dobbiamo considerare tre casi: funzione fratta: devo porre il denominatore diverso da zero funzione con radicale ad indice pari: il termine sotto radice deve essere maggiore o uguale a zero funzione logaritmica: l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero Esempi: y = x + 1 x 2 y = x 3 x 2 Poiche' la radice è definita solo per valori non negativi del radicando, il termine sotto radice dovrà essere maggiore od uguale a zero x 3 > da cui segue x > 3

4 Intersezione con gli assi Si tratta di calcolare le coordinate dei punti in cui la funzione incontra gli assi cartesiani, ovvero Asse y: l equazione è X= Asse x : l equazione è Y= Esempio y = x 2 4 Intersezione con asse y si ottiene mettendo x= quindi y = 4 Intersezione con asse x si ottiene mettendo y= quindi x 2 4 = B Y Y = x^ svolgendo: x = ±2 5 I valori teorici devono essere verificati graficamente X -1

5 Valore agli estremi del campo di esistenza Se il dominio di esistenza coincide con l insieme dei numeri reali basta verificare il limite della funzione a + e a (per x che tende a ± ) y = lim f x y = lim f x x + x Se la funzione non è definita in un punto x bisogna calcolare il limite (destro e sinistro) per x che tende a x lim f x x x Esempio: y = x x 2 y = y = lim x x + lim x x x x 2 = + x x 2 = y y=x/(x-2) x

6 Segno della funzione Serve per individuare in quali regioni del piano passa la funzione. A tale scopo si pone y> e si vede per quali valori di x è soddisfatta questa relazione, la funzione sarà positiva nell intervallo in cui è soddisfatta la diseguaglianza y> e negativa dove non è soddisfatta. Esempio: B y = x 2 4 poniamo y > ovvero x 2 4 > questa diseguaglianza è soddisfatta per x > 2; x < 2 Y Y = x^ X -1

7 Discutiamo alcune funzioni particolari: funzioni periodiche funzioni pari e dispari Funzione periodica: f x = f x + h Simmetrie e periodicità Alcuni particolari tipi di funzione Funzione pari: f x = f x y = x 2 Funzione dispari: f x = f x y = x 3 B B Y = x^ 2 Y = x^ 3 Y 2 Y X 5 X

8 Parità Funzioni pari e dispari Come determinare graficamente la parità di una funzione: Per verificare se una funzione è pari o dispari graficare f x, f x, f x e osservare : se il grafico di f x = al grafico di f( x) la funzione è pari se il grafico di f x = al grafico di f( x) la funzione è dispari Se nessuna delle due condizioni è verificata la funzione non ha simmetria di parità

9 Dobbiamo fare attenzione a come si cambia segno alla variabile o ala funzione Osserviamo infatti per la seguente funzione f x = x 2 2x 4 f x f x f x f x f x f x f x f(x) -f(x) y 3 2 f(x) f(-x) y x 1 5 x

10 Esercitazione Siano date le seguenti 3 funzioni: y = 1 x 2 y = x 3 3x y = 4x2 8 x 2 4 Per ogni funzione: disegnare il grafico scegliendo opportunamente l intervallo delle x a partire dagli zeri e dal campo di esistenza; determinare graficamente le intersezioni con gli assi; verificare che gli zeri determinati graficamente siano uguali a quelli teorici riportando in una tabella entrambi e i valori; verificare graficamente se si tratta di una funzione pari o dispari o nessuno dei due casi utilizzando la procedura descritta nelle dipositive. Scrivere una relazione con Word in cui riporterete i grafici generati per ciascuna funzione, le formule utilizzate in excel, le intersezioni con gli assi e la tabella degli zeri, il campo di esistenza e il valore della funzione agli estremi del campo di esistenza, lo studio effettuato per determinare la eventuale parità della funzione.