ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012

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1 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 20/202. Esercizi: lezione 8 novembre 20 Studio di funzione con indicazione degli asintoti e grafico probabile Studiare completamente le seguenti funzioni e tracciarne il grafico probabile:. f = Risoluzione. Classificazione. È una funzione razionale fratta, poiché la variabile indipendente compare anche al denominatore della frazione. Dominio. Poiché nella funzione compare una frazione, per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il denominatore sia diverso da zero, e pertanto si deve avere: , 0. Il dominio della funzione è D = R { 4; 0}. Intersezioni con gli assi. Con l asse abbiamo: { { y = = { { = 0 = 3 Pertanto la funzione interseca l asse nel punto di coordinate A3; 0. Con l asse y non esistono intersezioni, perché = 0 non fa parte del dominio. Segno. f > > 0 Num. > 0 > 0 < 3.

2 2 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA Den. > > 0 < 4; > 0 ossia f > 0 < 4; 0 < < 3; f > 0 per ] ; 4[ ]0; 3[. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono, +, 4, = + forma indeterminata, che si risolve mettendo in evidenza = = + 4 = + = 0 Similmente si ha: = = + 4 = = 0. Calcolando i iti per tendente all infinito si sono ottenuti valori finiti: di conseguenza si può affermare che la funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione, cioè l asse. Per il calcolo degli altri iti è utile fattorizzare il denominatore: 2 +4 = = = = = 7 0 = = = = = = + Avendo ottenuto due risultati infiniti per tendente ad un valore finito da destra e da sinistra, si può concludere che la retta di equazione = 4 è un asintoto verticale per la funzione = = = = = = = = = 3 0 =

3 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA 3 Come per i due iti precedenti, si sono ottenuti due risultati infiniti per tendente ad un valore finito da destra e da sinistra, quindi si può concludere che la retta di equazione = 0 è un asintoto verticale per la funzione. Grafico probabile. y 4 O A 2. f = + Risoluzione. Classificazione. È una funzione irrazionale fratta. Dominio. Data la natura della funzione radice con indice pari, per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il radicando sia maggiore o uguale a zero, quindi: + 0 Num Den. > 0 + > 0 >

4 4 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA 0 < ; 0. + Il dominio della funzione è D =] ; [ [0; + [. Intersezioni con gli assi. Con l asse y abbiamo: = 0 = 0 y = y = + Con l asse abbiamo: y = + { = + = 0 + { = = { 0 = = + impossibile Pertanto la funzione interseca solo l asse y nel punto di coordinate 0,. L equazione irrazionale del secondo sistema è stata risolta senza porre la condizione di esistenza della radice, poiché essa era stata già considerata al momento della determinazione del dominio della funzione. Segno. f > 0 + > 0 + < + < + < 0 < < 0 + > 0 Num. > 0 R. Den. > 0 + > 0 > + > 0 >. Ripetendo per la disequazione irrazionale le stesse considerazioni fatte per l equazione, bisogna rettificare parzialmente il risultato tenendo presente il dominio della funzione, per cui f > 0 solo se > 0, ossia f > 0 per ]0; + [. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali utile stabilire il comportamento della funzione, sono,,

5 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA 5 +. Per = 0 è già stato determinato l andamento, infatti la funzione è definita per = 0 e si ha f0 =. Abbiamo che: + = + = 0 = + = Pertanto la retta di equazione = è asintoto verticale sinistro per la funzione. Inoltre, abbiamo che + + = + forma indeterminata che si risolve mettendo in evidenza + = + = + + Analogamente + = 0. Dunque la retta è un asintoto orizzontale per la funzione. Grafico probabile. y = = 0 O

6 6 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA 3. f = e Risoluzione. Classificazione. È una funzione esponenziale fratta, poiché la variabile indipendente compare anche al denominatore nell esponente. Dominio. Poiché nella funzione compare una frazione, per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il denominatore sia diverso da zero, e pertanto si deve avere: Il dominio della funzione è D =] ; [ ]; + [. Intersezioni con gli assi. Con l asse y abbiamo: { = 0 = 0 y = e y = e 2 = e Con l asse abbiamo: { y = e { e = 0 impossibile Pertanto la funzione interseca solo l asse y nel punto di coordinate 0;. e Segno. f > 0 e > 0 D. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono,, +. Abbiamo che: e = e 2 2 = e 2 0 = e = 0 e = e = e = e + = + + Abbiamo ottenuto un risultato infinito solo per tendente a da destra, quindi possiamo concludere che la retta = è un asintoto verticale destro per la funzione. Inoltre, abbiamo che e = e +

7 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA 7 forma indeterminata che si risolve mettendo in evidenza e = e e, analogamente e + = 2 2 = e 2 = e e = e = 2 = e 2 = e Calcolando i iti per tendente all infinito si è ottenuto un valore finito: di conseguenza si può affermare che la retta y = e è un asintoto orizzontale per la funzione. Grafico probabile. y e + y = e O Derivata di una funzione Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni:. f = 2 + 4

8 8 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA Risoluzione. Per la regola di derivazione del quoziente abbiamo che D D f = = 2. f = + = = = = Risoluzione. Abbiamo che f = D D = f = e = + = + = + + D = + D + D = = = Risoluzione. Dobbiamo applicare la regola di derivazione della funzione composta: D e f = e f f ; dunque f = e D = e = = e = e = = e [2 ] 2 = e = e