lim f(x) lim In questo caso, lim Una funzione è continua in un punto x 0 se valgono le seguenti condizioni:

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1 Definizioni fondamentali Un intorno di un punto = 0 è un intervallo I che contiene 0. Un intorno destro per semplicità lo chiamiamo + 0 ) di 0 è un intervallo in cui l estremo sinistro è 0 : tutti i punti dell intorno destro sono più grandi di 0. Un intorno sinistro lo chiamiamo 0 ) di 0 è un intervallo in cui l estremo destro è 0 : tutti i punti dell intorno sinistro sono più piccoli di 0. Il ite di quando tende a 0 è il valore cui si avvicina la funzione quando viene valutata in punti di un intorno di 0 sempre più piccolo. Scriviamo: per indicare tale ite. Il punto 0 può essere un numero reale 0 R oppure + o. Quando scriviamo + intendiamo 0 dire che diventa sempre più grande, ilitato positivamente. Quando scriviamo intendiamo dire che diventa sempre più piccolo, ilitato negativamente. Possiamo avere: L R è un numero reale, finito + esiste ma non è finito, ed è positivo = 0 esiste ma non è finito, ed è negativo non esiste se non vale nessuna delle precedenti Il ite destro è il ite che si ottiene quando la tende a 0 solo da valori maggiori, cioè studio il variare di in un intorno destro di 0 e scrivo: + 0 Il ite sinistro è il ite che si ottiene quando la tende a 0 solo da valori minori, cioè studio il variare di in un intorno sinistro di 0 e scrivo: 0 Il ite per che tende a 0 in un intorno generico, non solo destro o solo sinistro) esiste se e solo se il ite destro e sinistro esistono finiti e coincidono: In questo caso, 0 = L. 0 = L = L + 0 Una funzione è continua in un punto 0 se valgono le seguenti condizioni: 1. Esiste il ite in 0 ed è finito: 0 = L R 2. Il valore L del ite coincide col valore della funzione in quel punto 0 : L = f 0 ) 1

2 I polinomi, le funzioni esponenziali e logaritmiche, le funzioni trigonometriche e le radici sono funzioni continue in tutti i punti del loro dominio di definizione. La somma, il prodotto e la composizione di funzioni continue è una funzione continua. Se è continua in 0 allora per calcolare il ite di per che tende a 0 basta valutare f in 0 : 0 = f 0 ) Studio di Funzione Studiamo la seguente funzione indicando in particolare: = dominio 2. segno 3. intersezione con gli assi 4. iti particolari e asintoti Svolgimento. 1. Il dominio è il sottoinsieme di R su cui è possibile valutare/calcolare la funzione o, equivalentemente, su cui la funzione esiste). Nel nostro caso, non si può calcolare solo quando il denominatore + 5 è nullo. Quindi troviamo il caso in cui + 5 = 0 ed escludiamolo dal dominio: + 5 = 0 se = 5 quindi il dominio di è D = R { 5}. 2. Il segno si trova intersecando il segno del numeratore con quello del denominatore: 3 1 è positivo quando > 1, è nullo quando = 1 e negativo altrimenti è positivo quando > 5 e negativo altrimenti il caso = 5 è stato escluso dal dominio). Il grafico del segno è 2

3 3. L intersezione con l asse si ricava dallo studio del segno, prendendo le ascisse in cui = 0, quindi nel nostro caso c è una sola intersezione nel punto P 1, 0). In generale, il grafico di una funzione può intersecare l asse delle 3 ascisse anche in più punti. L intersezione con l asse y si ricava calcolando quando è possibile) il valore di f0). Nel nostro caso, dato che 0 D il dominio contiene = 0), abbiamo che f0) = 1 quindi l intersezione con l asse delle y che, se c è, è sempre 5 una sola) è il punto Q0, 1) I iti interessanti da studiare sono quelli ai bordi del dominio. Nel nostro caso, dobbiamo studiare i seguenti 4 iti il ite a : il ite a + : il ite intorno a 5 da sinistra: 5 il ite intorno a 5 da destra: 5 + Calcoliamone uno alla volta, accompagnando il calcolo con alcune osservazioni utili. = Notiamo che quando tende a, sia il denominatore che il numeratore tendono a, quindi il ite è una forma indeterminata del tipo. Dato che la funzione è un quoziente di polinomi, risolvo il ite mettendo in evidenza il termine di grado più alto al numeratore e il termine di grado più alto al denominatore. In questo caso, entrambi hanno grado 1 quindi metto in evidenza una al numeratore e al denominatore = ) ) = posso semplificare le = 3 1 = = posso sfruttare il ite notevole 1 0 se = = 3 OSSERVAZIONE: il ite per che tende a è un numero finito cioè 3): = 3 3

4 quindi diciamo ha un ASINTOTO ORIZZONTALE a alla retta y = 3. ESERCIZIO. Il ite all altro estremo puoi farlo da te, per esercitarti!!!! si risolve in modo analogo e Dedichiamoci adesso ai due iti intorno a = 5. Prima di tutto, una osservazione fondamentale: il ite è interessante perché in = 5 la funzione non esiste più il denominatore si annulla). Inoltre, in = 5 la funzione non è continua ovvio, non esiste). Vuol dire anche che vicino a = 5 il valore della funzione è un numero diverso da zero) diviso un numero molto piccolo, ovvero il valore della funzione vicino a = 5 diventa sempre più grande sempre più vicino a + o ). ESERCIZIO. Prova a calcolare la funzione in = 5.8, 5.5, 5.2 e in = 4, 4.5, 4.8 e convinciti che lì intorno la funzione scoppia. Da questa osservazione sperimentale, concludiamo che quando un numero o una espressione p)) tende a zero, allora il suo reciproco 1 oppure 1 p) ) tende a + se o p) è positivo se tende a 0 + ) e tende a se o p) è negativo se tende a 0 ). Dato che il valore intorno a = 5 tende ad essere enorme negativo o enorme positivo, allora è sufficiente guardare il segno della per capire che quando è vicino a 5 e più piccolo, allora = + perché la funzione è positiva 5 prima di 5). Per gli stessi motivi, dato che la funzione è negativa dopo 5, possiamo dire che =. 5 + Dato che intorno a = 5 dove la funzione non è definita) i iti destro e sinistro sono infiniti, allora diciamo che ha un ASINTOTO VERTICALE alla retta = 5. ESERCIZIO. Studiare le seguenti funzioni indicando in particolare: 1. dominio 2. segno 3. intersezione con gli assi 4. iti particolari e asintoti = =

5 GLI ASINTOTI Sono rette a cui il grafico di si accosta o a + o a sono possibili asintoti orizzontali od obliqui) o nei punti di non esistenza asintoti verticali). Richiamiamo qui le definizioni, che servono per trovarli o per dimostrare che non ci sono. 1. Asintoto verticale alla retta = 0 per esempio se 0 = 2. Asintoto orizzontale alla retta y = c per esempio a se = c 3. Asintoto obliquo alla retta y = m + q per esempio a + se = + = m m = q ESEMPI SOLTANTO di asintoti verticali e orizzontali 1) Dire se la funzione = 1 3 ha un asintoto orizzontale a Vediamo che non si annulla mai quindi la funzione è definita su tutto R. Controlliamo il valore di : ) = 3 ) = posso semplificare la al num. con una sola al denom = = ) = posso sfruttare il ite notevole 1 0 se + 3 = 2 = 0 perché se tende a + allora 1 tende a 0 Quindi concludiamo che c è un asintoto orizzontale alla retta y = 0 l asse ). Scopri cosa succede a. C è un altro asintoto? Se sì, a quale retta? 2) Dire se la funzione = 1 3 ha un asintoto verticale. 4 2 Il dominio di è R { 2, +2} quindi possibili asintoti verticali sono in = 2 e = 2. Controlliamo cosa succede, studiando i iti destro e sinistro) intorno a ±2 e aiutandoci col segno di. 5

6 Il segno di è il seguente controlla!!!): > 0 se 2 < < 1 3 o > 2 = 0 se = 1 3 < 0 se < 2 o 1 3 < < Il ite è infinito perché il numeratore tende a un numero finito mentre il denominatore tende a zero. Dato che in un intorno sinistro di 2 la 1 3 è negativa, allora 2 4 =. 2 Per motivi analoghi, dato che il segno di f quando tende a 2 + è positivo, si 1 3 deduce che = +. 2 Quindi concludiamo che ha un asintoto verticale a = 2. Studia autonomamente il comportamento intorno a = 2. Quanti asintoti verticali possiede il grafico della funzione? 3) Dire se la funzione = ha un asintoto orizzontale a. Il dominio della funzione è R. Perché?) Cosa succede a? Il ite è in forma indeterminata del tipo perché = e = +. Quindi, di nuovo, mettiamo in evidenza i termini di grado più alto al numeratore e al denominatore, poi semplifichiamo ciò che è possibile e sfruttiamo i iti già noti: ) = ) = ) = = 2 = = 1 2 = Dato che il ite per che tende a non è un numero finito, allora il grafico di non possiede un asintoto orizzontale a. 6

7 ESERCIZI. 1. Studiare le seguenti funzioni indicando in particolare: il campo di esistenza il segno i punti di intersezione con gli assi i iti interessanti gli eventuali asintoti orizzontali o verticali il grafico approssimativo a) = b) = 2 1) 2 c) = d) = Scrivi le definizioni di asintoto orizzontale e verticale per una funzione e determina la loro eventuale presenza per la funzione = ) 2) 3. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica corretta. La funzione = 2 1 interseca l asse delle ascisse nel punto: A P 1, 0) B M0, 1 5 ) C Q 1 2, 0) D N0, 1 2 ) 4. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica corretta. 2 2 Il A vale -1 B vale 0 C non esiste D vale 5. Scrivi la definizione di asintoto verticale per una funzione e determina la loro eventuale presenza per la funzione = )5 + 2) 2 7

8 6. Scrivi come si trovano i punti di intersezione con gli assi per il grafico di una funzione e determina la loro eventuale presenza per la funzione = e Spiegare quando una funzione è continua e dire se la funzione = + e se se < 0 è continua in tutti i punti del suo dominio e perché. 8. La retta y = 5 3 è asintoto orizzontale a per la funzione: A y = B C D La funzione = è positiva nell insieme: A 0, 2) B 2, + ) C, 2] D vale 4, + ) 10. Su quale insieme è negativa la funzione = Calcolare La funzione = possiede ? A nessun asintoto B un asintoto verticale C due asintoti verticali e uno orizzontale D un asintoto orizzontale 8

9 ASINTOTI OBLIQUI Una funzione possiede un asintoto obliquo alla retta y = m + q per esempio a + se il grafico di a + si avvicina a quello di una retta obliqua, quindi non parallela a nessuno dei due assi cartesiani). Questo tipo di asintoto si può avere solo a + o a. Se c è un asintoto obliquo a +, non ci può essere un asintoto orizzontale a + e viceversa. Perché esista un asintoto obliquo alla retta y = m + q per esempio a + devono esser verificate le seguenti tre condizioni: i) = + esiste un asintoto obliquo se e solo se ii) = m iii) m = q ESEMPI di studio di asintoti obliqui ) Dire se la funzione ha un asintoto obliquo a + e a quale retta. 2 3 Verifichiamo una alla volta le tre condizioni di definizione dell asintoto obliquo ) 3 i) = = ) = ) = = 1 = + 2 Osserviamo che la proprietà i) garantisce che NON ci siano asintoti orizzontali altrimenti il ite sarebbe finito). Quindi ci può essere un asintoto obliquo, se e solo se valgono anche ii) iii). ii) = ) = Perché? Completalo da solo! = 5 Dato che la condizione ii) è vera il ite è finito, quindi m = 5), allora possiamo dire che c è un asintoto obliquo, alla retta y = 5 + q. Rimane soltanto da determinare q, con la condizione iii): 9

10 iii) m = = = = = Perché? Completalo da solo! ) 5 2 3) 2 3 = = Quindi q = 5 e l asintoto obliquo a + è la retta y = ) Dire se la funzione ha un asintoto obliquo a e a quale retta. 3 Come prima, verifichiamo una ad una le tre condizioni ) 4 i) = = ) = ) = 4 3 = = 1 = + La funzione quindi non ha asintoti orizzontali a. Verifichiamo la condizione ii). ii) = ) = = ) = 4 = ) 4 ) = Dato che il ite ii) non è finito, vuol dire che NON CI SONO ASINTOTI OBLIQUI, perché non riesco a trovare un valore finito per l eventuale coefficiente angolare m. 10

11 ESERCIZI. 1. Studiare le seguenti funzioni indicando in particolare: il campo di esistenza il segno i punti di intersezione con gli assi i iti interessanti gli eventuali asintoti orizzontali, obliqui o verticali il grafico approssimativo a) = ) b) = c) = 1)2 + 1) 2) 5) d) = L asintoto di equazione y = m + q, per la funzione, rappresenta: A una retta inclinata cui la funzione si avvicina quando + B una retta inclinata che non può mai intersecare il grafico di C una retta inclinata con m = f 0 ) per qualche punto 0 D una retta inclinata con q = 3. Scrivi la definizione di asintoto obliquo per una funzione e determina la sua eventuale presenza per la funzione = Discutere l esistenza di asintoti obliqui per la funzione La funzione = possiede A un asintoto obliquo e uno orizzontale B due asintoti verticali e uno obliquo C due asintoti verticali e uno orizzontale D un asintoto orizzontale 6. Quale delle seguenti funzioni possiede un asintoto obliquo? A C = B = = 42 3 D =

12 LIMITI NOTEVOLI CON ESPONENZIALI La funzione esponenziale a base maggiore di 1 è definita su R, continua, crescente e positiva. Prendiamo come funzione esempio quella la cui base è il numero di Nepero e 2.718: = e. I iti notevoli da ricordare sono i seguenti ai bordi del dominio, quindi a + e a : e = 0 quindi e ha un asintoto orizzontale all asse y = 0) a e = + quindi e non ha un asintoto orizzontale a + Fondamentali sono i iti che confrontano e con i polinomi. Consideriamo un polinomio p) di grado qualsiasi. Ecco i principali risultati che ora non dimostriamo ma che sono utilissimi da ricordare. 1) e va a + più velocemente di ogni polinomio: e p) = + se il coefficiente del termine di testa di p) è positivo 2) Ecco cosa succede a : p) = e se il coefficiente del termine di testa di p) è negativo p) = 0 e e p) = 0 + se il coefficiente del termine di testa di p) è positivo Vediamone degli esempi. 2e 5 1 = + 2e 2 3 = = 0 7e 5e = se il coefficiente del termine di testa di p) è negativo 5) = + 5e 1 5 2e = e = 5) ) = = perché il coefficiente di e è negativo 1 7e 5e =