Recupero primo quadrimestre CLASSE QUARTA FUNZIONE REALE IN UNA VARIABILE REALE IL CAMPO DI ESITENZA

Transcript

1 Recupero primo quadrimestre CLASSE QUARTA FUNZIONE REALE IN UNA VARIABILE REALE IL CAMPO DI ESITENZA Si dice campo di esistenza (C.E.) di una funzione = f(), l'insieme di tutti i valori reali che assegnati alla variabile indipendente permettono di determinare il valore reale assunto dalla variabile dipendente. CONDIZIONI PER DETERMINARE IL C.E. di =f() algebrica funzione condizione esempio Se la compare al denominatore Il denominatore va posto 0 - = 7-1 C.E Se la compare nel radicando di una radice con indice pari Il radicando va posto > C.E. 10-> 0 <5. ATTENZIONE se in una funzione si presentano piu' casi contemporaneamente, le condizioni relative a ogni singolo caso vanno poste in sistema. Esempio 1- Si calcoli il C.E. della seguente funzione e lo si rappresenti sul piano cartesiano, indicando da quanti rami e' costituito il grafico della funzione C.E. quindi il C.E. e': (-inf;-5)u (-5;-1]U [1;+ inf) Esempi-Si calcoli il C.E. delle seguenti funzioni e lo si rappresenti sul piano cartesiano = -3+1 C.E. (- ;+ ) la funzione è formata da un solo ramo =1/( -5 +) C.E con la sostituzione =t ottengo t -3t+ 0 la risolvo t 1 e t 1 e +1 e + C.E.. (-inf;-)u(-;-1)u(1;)u(;+ inf) ESERCIZI Si calcoli il C.E. della seguente funzione e lo si rappresenti sul piano cartesiano, indicando da quanti rami e' costituito 1

2 il grafico della funzione INTERSEZIONI DI UNA FUNZIONE CON GLI ASSI CARTESIANI INTERSEZIONE CON L ASSE : INTERSEZIONE CON L ASSE Y : ESEMPIO 1 Determinare le intersezioni con gli assi di = - Il suo C. E. e (-inf ;+ inf) intersezioni con gli assi: risolvo l equazione - =0 risultati =0;;- TALI VALORI DI SONO ACCETTABILI POICHE' STANNO NEL CAMPO DI ESISTENZA DELLA FUNZIONE quindi i punti di intersezione con l asse delle sono : O(0,0) ; A(,0) ; B(-,0) come intersezione con l'asse delle si trova nuovamente l'origine O(0,0) ESEMPIO Determinare le intersezioni con gli assi di Il suo C. E. e (- ;-5) U (0;+ ) intersezioni con gli assi: ; ; ; tale punto di intersezione non e' accettabile perche' escluso dal campo di esistenza NON ESISTONO INTERSEZIONI CON L'ASSE impossibile NON ESISTONO INTERSEZIONI CON L'ASSE DELLE, infatti tale asse e' escluso dal campo di esistenza della funzione. Esercizi Determina il C.E. e le intersezioni con gli assi delle seguenti funzioni. Riporta i risultati sul piano cartesiano

3 - 5-6 = = SEGNO DI UNA FUNZIONE Dopo aver calcolato il campo di esistenza e le intersezioni con gli assi di =f(), si determinano gli intervalli in cui il suo grafico si trova "sopra" l'asse delle ( i punti della funzione hanno ordinata positiva >0) e gli intervalli in cui il suo grafico sta "sotto" l'asse delle ( i punti della funzione hanno ordinata negativa <0). Il procedimento consiste nel risolvere la disequazione >0 e confrontare tali risultati con il campo di esistenza. Soluzione di Funzione Grafico positiva "sopra" l'asse delle negativa "sotto" l'asse delle Esempio : Determinare C.E., intersezioni con gli assi e segno di = 3-9 C.E. (- ;+ ) Intersezioni con gli assi: Segno:>0 O(0,0) ; A(-3,0); B(3,0) trovo nuovamente l'origine O (0,0) Il grafico si trova nella parte di piano in bianco 3-9>0 ; ( -9)>0 I fattore >0 >0 II fattore >0-9>0 ; <-3 U >3 Esercizi da risolvere : sul piano cartesiano ricavare C.E., intersezioni con gli assi e segno delle seguenti funzioni riportando i risultati I LIMITI 3

4 SOMMA ALGEBRICA MOLTIPLICAZIONE VALE LA REGOLA DEI SEGNI!!!! se n <0 se n >0 DIVISIONE LE FORME INDETERMINATE Il calcolo dei limiti e complesso solo nel caso delle forme indeterminate, forme in cui si rende necessario ricorrere ad artifici per giungere a un risultato. Tutti i vari metodi e procedimenti sono finalizzati a trasformare il limite in uno equivalente che non risulti indeterminato. LA FORMA INDETERMINATA - IL LIMITE DI UN POLINOMIO PER X che tende a Il limite di un polinomio per che tende all'infinito da spesso luogo alla forma indeterminata - : Per eliminare l'indeterminazione si deve : raccogliere la di grado massimo ricordare che nel calcolo dei limiti numero/infinito tende a 0 calcolare il limite che, a questo punto, non si presenta piu' nella forma indeterminata

5 Dai precedenti esempi si puo' dedurre la seguente regola pratica: IL LIMITE PER X CHE TENDE AD INFINITO DI UN POLINOMIO E' EQUIVALENTE AL LIMITE PER X CHE TENDE AD INFINITO DEL SUO TERMINE DI GRADO MASSIMO LE FORMA INDETERMINATA / IL LIMITE DEL RAPPORTO DI DUE POLINOMI Per tendente ad infinito Calcolando il limite per che tende ad infinito, di una frazione algebrica avente sia la numeratore che al denominatore un polinomio si verifica sempre la forma indeterminata /. L'indeterminazione si elimina : considerando sia al numeratore che al denominatore le di grado massimo semplificando la frazione ottenuta calcolando il limite che non si presentera' piu' in una forma indeterminata lim lim 1 lim 6 LA FORMA INDETERMINATA 0/0 PRIMO CASO: LA FUNZIONE E ALGEBRICA RAZIONALE FRATTA L'indeterminazione si elimina: scomponendo numeratore e denominatore usando eventualmente il metodo di Ruffini semplificando la frazione algebrica numeratore e al denominatore e poi semplificare Poiché tende a zero basta raccogliere le al 5

6 Esercizi da svolgere Calcola tutti i limiti precedenti senza guardare il procedimento e poi svolgi i seguenti GLI ASINTOTI Quando un ramo di una funzione si estende all'infinito, puo' succedere che il generico punto P della funzione, tendendo all'infinito lungo tale ramo, si avvicini sempre piu' ad una retta,tale retta si dice asintoto della funzione. TABELLA DELLE FORMULE PER DETERMINARE GLI ASINTOTI CONDIZIONE =f() ha un ASINTOTO VERTICALE di equazione =c =f() ha un ASINTOTO ORIZZONTALE di equazione =l =f() puo' avere un asintoto obliquo di equazione =m+q dove Esercizi: determina gli asintoti delle seguenti funzioni (accanto ci sono i risultati) Asintoto verticale = -1/5 Asintoto obliquo = 1/5-16/5 Asintoto verticale =1 Asintoto orizzontale = Asintoti verticali = + 1 ed =-1 = (3-1)/ =0 asintoto verticale =3 asintoto obliquo Non ammette asintoti = (+1) 3 /(-1) = +5 asintoto obliquo = 1 asintoto verticale ESERCIZI TIPO VERIFICA di RECUPERO del primo quadrimestre Per ciascuna delle seguenti funzioni determina C.E., Intersezioni con gli assi, segno, limiti e asintoti tracciando il loro grafico probabile = 3 - = =( -)/( -+) = 3 /( +5+) = ( 3 +1)/( -9) 6