Esercitazione 2 - Soluzioni

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1 Esercitazione - Soluzioni Francesco Davì ottobre 0 Esercizio (a) Si deve avere + x 0 x, che è verificato x R, in quanto il valore del modulo di un espressione non è mai negativo. L espressione al numeratore x è sempre positiva ma deve valere x 0 x, in quanto la disequazione è strettamente positiva. La soluzione dell esercizio allora coincide con gli intervalli in cui l espressione al denominatore è positiva (escludendo il valore ): per risolvere x > 0 x <, bisogna determinare l unione delle x 0 x < 0 soluzioni dei due sistemi di disequazioni x < e x <. Il x 0 primo sistema è equivalente a x < la cui soluzione è 0 x <. x < 0 Il secondo sistema è equivalente a x > che ha come soluzione < x < 0. Allora l unione delle soluzioni dei due sistemi, e quindi la soluzione dell esercizio, è uguale a < x <. (b) Si deve avere x = 0 x = x ±. L espressione al numeratore 4 x è sempre positiva ma deve valere 4 x 0 x 4, in quanto la disequazione è strettamente positiva. La soluzione dell esercizio allora coincide con gli intervalli in cui l espressione al denominatore è negativa (escludendo il valore 4 ): per risolvere x < 0 x >, bisogna determinare l unione delle soluzioni x 0 x < 0 x > e. Il primo x > dei due sistemi di disequazioni x 0 sistema è equivalente a x > x < 0 sistema è equivalente a x < che ha come soluzione x <. Allora l unione delle soluzioni dei due sistemi, e quindi la soluzione dell esercizio, è uguale a x < oppure < x < 4 oppure x > 4. la cui soluzione è x >. Il secondo (c) Dato che x 0 x x oppure x e che x 0 x, si può notare che nell intervallo x oppure

2 x entrambe le espressioni x e x sono positive. Allora per risolvere l esercizio è sufficiente determinare l unione delle x oppure x x, x < 0 soluzioni dei tre sistemi di disequazioni < x < x > x e x < 0 x + x 9 < 0. Per l equazione x x = 0 vale a = > 0 e = 6 > 0. Le radici di tale equazione sono x = e x =. Il primo sistema è allora equivalente a x oppure x la cui soluzione è x < x <. Per l equazione x x = 0 vale a = < 0 e = 0. Le radici di tale equazione sono x = x =. Il secondo sistema è allora equivalente a la cui soluzione è < x <. Per l equazione < x < x x + x 9 = 0 vale a = > 0 e = 40 > 0. Le radici di tale equazione sono x = 0 e x = + 0. Il terzo sistema è allora equivalente a x > 0 < x < + 0 la cui soluzione è < x < + 0. Allora l unione delle soluzioni dei tre sistemi, e quindi la soluzione dell esercizio, è: < x < + 0. (d) Si ottiene x x < x < x < x < (dato che la base dell esponenziale è maggiore di ) x < 4. (e) Si ottiene x < x ( )x < ( ) ( )x < ( ) x > (dato che la base dell esponenziale è minore di ). (f) Si ottiene x + x > 9 x + 8 x > 9. Ponendo y = x (quindi vale y > 0) si trova y + 8 y > 9 y 9 y +8 > 0. Per l equazione y 9 y + 8 = 0 vale a = > 0 e = 65 > 0. Le radici di tale equazione sono x = e x = 9. Allora la soluzione della disequazione è: y < oppure y > 9, da cui si ottiene x < oppure x > 9 x < log oppure x > log 9 x < log oppure x >. (g) Deve essere x > 0, in quanto la variabile x compare sotto il simbolo di radice quadrata. Si ottiene x + 7. Ponendo y = x x (quindi vale y > 0) si trova 4 y + 4 y 7 4 y 7 y Per l equazione 4 y 7 y + 4 = 0 vale a = 4 > 0 e = 5 > 0. Le radici di tale equazione sono x = 4 e x = 4. Allora la soluzione della disequazione è: 4 y 4, da cui si ottiene 4 x 4 x x. Dato che la condizione di esistenza è x > 0, che x, x > 0 e che x x 4, la soluzione è: 0 < x 4.

3 (h) Deve essere x > 0, in quanto la variabile x compare come argomento di un logaritmo. Si ottiene log x log (dato che a > 0, log a a = ) log x log ( ) x ( ) (dato che la base del logaritmo è minore di ). La soluzione è quindi: 0 < x 4. (i) Deve essere x x > 0. Le radici dell equazione x x = x (x ) = 0 sono x = 0 e x =, la condizione di esistenza è quindi: x < 0 oppure x >. Si ottiene log x x log x x (dato che la base del logaritmo è maggiore di ). Per l equazione x x = 0 vale a = > 0 e = 9 > 0. Le radici di tale equazione sono x = e x =. Allora la soluzione della disequazione è: x, la cui intersezione con la condizione di esistenza rappresenta la soluzione dell esercizio: x < 0 oppure < x. (j) Deve essere 6 x x > 0. Le radici dell equazione 6 x x = x (6 x) = 0 sono x = 0 e x = 6, la condizione di esistenza è quindi: 0 < x < 6. Si ottiene log 6 x x < log log 6 x x < log ( ) 6 x x > ( ) (dato che la base del logaritmo è minore di ) x + 6 x 9 > 0. Per l equazione x +6 x 9 = 0 vale a = < 0 e = 0. Allora la soluzione della disequazione è: x R, che rappresenta anche la soluzione dell esercizio (in quanto l intersezione fra x R, che corrisponde all insieme vuoto, e la condizione di esistenza è uguale all insieme vuoto). (k) Deve essere x 4 x + 4 > 0. Per l equazione x 4 x + 4 = 0 vale a = > 0 e = 0. Le radici di tale equazione sono x = x =. Quindi la condizione di esistenza è : x. Si ottiene ln x 4 x + 4 ln (dato che a > 0, log a = 0) x 4 x + 4 (dato che la base del logaritmo, il numero e, è maggiore di ) x 4 x + 0. Per l equazione x 4 x + = 0 vale a = > 0 e = 4 > 0. Le radici di tale equazione sono x = e x =. Allora la soluzione della disequazione è: x, la cui intersezione con la condizione di esistenza rappresenta la soluzione dell esercizio: x < oppure < x. Esercizio (a) Bisogna risolvere il sistema contenente tutte le condizioni di esistenza: x + > 0 (argomento del logaritmo) ln (x + ) 0 (argomento della radice quadrata) x + x 0 (denominatore) Si ottiene ln (x + ) 0 x + x 0. Inoltre, le radici dell equazione x + x = 0 sono x = e x =, da cui segue

4 x > x 0 x e x la cui soluzione è: 0 x < oppure x >, che corrisponde al dominio della funzione assegnata: D f = x : x [0, ) (, + )}. (b) Bisogna risolvere il sistema contenente tutte le condizioni di esistenza: x + > 0 (argomento del logaritmo) ln (x+) 0 (argomento della radice quadrata) x + x x + x 0 (denominatore) ln (x+) ln (x + ) 0 Per risolvere x + x 0 bisogna considerare i due sistemi x + x > 0 ln (x + ) 0 e x. Si ottiene ln (x + ) 0 x + (dato che a > 0, log a = 0 e che la base del logaritmo, il numero e, è + x < 0 maggiore di ). Per l equazione x + x = 0 vale a = > 0 e = 5 > 0. Le radici di tale equazione sono x = e x =. Il x 0 primo sistema è allora equivalente a x < oppure x > la cui soluzione è: x > x 0. Il secondo sistema è equivalente a < x < la cui soluzione è < x 0. Allora l unione delle soluzioni dei due sistemi è: < x 0 oppure x >. Il sistema iniziale diventa x > quindi < x 0 oppure x > la cui soluzione è: < x 0 x e x oppure x >, che corrisponde al dominio della funzione assegnata: D f = x : x (, 0] (, + )}. (c) Bisogna risolvere il sistema contenente tutte le condizioni di esistenza: x + 0 (argomento della radice quadrata) + x + 0 (denominatore) Si ottiene + x + 0 x +, che vale x R. Da ciò segue che la soluzione del sistema è: x, che corrisponde al dominio della funzione assegnata: D f = x : x [, + )}. (d) Bisogna risolvere il sistema contenente tutte le condizioni di esistenza: 0 (argomento della radice quadrata, x = x ) x e x da cui 0 (denominatore) x 0 si ottiene la cui soluzione è: x 0, che corrisponde al x R dominio della funzione assegnata: D f = x : x [0, + )}. 4

5 (e) Bisogna risolvere il sistema contenente tutte le condizioni di esistenza per f(x) = e x 4 x = e 4 x x 0 (argomento della radice di indice pari) : x x 0 (denominatore) Si ottiene x 0 x 0 x 0. Da ciò segue che la soluzione del sistema è: x > 0, che corrisponde al dominio della funzione assegnata: D f = x : x (0, + )}. (f) Bisogna risolvere il sistema contenente tutte le condizioni di esistenza: x+ x > 0 (argomento del logaritmo) Per risolvere x x+ x + 0 (denominatore) > 0 x bisogna considerare i due sistemi > 0 x e < 0 x + > 0 x + < 0. Si ottiene x > 0 x 0 e x < 0 x R. Allora l unione delle soluzioni dei sue sistemi è: < x < 0 oppure x > 0, che coincide con la soluzione del sistema iniziale e quindi con il dominio della funzione assegnata: D f = x : x (, 0) (0, + )}. 5