Risolvere le seguenti disequazioni

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1 Risolvere le seguenti disequazioni 1. x 4x x 4 > 0 Innanzi tutto il denominatore deve essere non nullo, quindi l insieme di definizione (o campo d esistenza) è x ±. Se decomponiamo sia numeratore che denominatore, la nostra disequazione può essere scritta come x(x 4) (x )(x + ) > 0. I punti, ordinati in modo crescente, dove si annullano (e cambiano di segno) i vari fattori sono, 0,, 4 e per x < i quattro fattori sono tutti negativi e quindi l espressione è positiva. Tra e 0 diviene negativa, poi positiva tra 0 e, negativa tra e 4 e positiva per x > 4. La soluzione della disequazione è quindi x < ; 0 < x < ; x > 4.. x 5x 14 x 5x + 14 < 0 Le soluzioni dell equazione x 5x + 14 = 0 sono 7 e, quindi l insieme di definizione è x 7 e x. Le soluzioni di x 5x 14 = 0 sono e 7; decomponendo numeratore e denominatore abbiamo (x + )(x 7) (x + 7)(x ) < 0. Gli zeri di numeratore e denominatore sono 7; ; ; 7 e per x < 7 i quattro fattori sono tutti negativi e quindi l espressione è negativa. Poiché l espressione cambia di segno al passaggio di ognuno dei quattro punti indicati, concludiamo che la soluzione della disequazione è x < 7; < x < ; x > 7. 1

2 3. x 1 x > x. L insieme di definizione è x. Portando x al primo membro e facendo il denominatore comune otteniamo 1 + x x > 0 e poiché il numeratore è positivo, la soluzione è x <. 4. 3x 1 x 3 > 3x L insieme di definizione è x 3. Portando tutto al primo membro e facendo il denominatore comune, otteniamo 1x 3x 1 x 3 > 0, o 3x 1x + 1 x 3 < 0. Le radici del trinomio al numeratore sono ± 33 3, quindi il numeratore è negativo per < x < Ne segue che la soluzione della disequazione è x < 33 3 ; 3 < x < x + 3 < 3 x L insieme di definizione è x 3 e x. Essendo i due denominatori positivi, possiamo moltiplicare per il loro prodotto ottenendo la disequazione equivalente: x < 3 x + 3. Gli argomenti sotto segno di valore assoluto cambiano segno in 3 e ; per x < 3 sono entrambi negativi e la disequazione diviene

3 ( x) < 3(x + 3), cioè 4 x < 3x 9 o x < 13. Se 3 < x < abbiamo ( x) < 3(x + 3), cioè 4 x < 3x + 9 o x > 1. Se x > abbiamo (x ) < 3(x + 3), cioè x 4 < 3x + 9 o x > 13. La soluzione della disequazione è x < 13; 1 < x < ; x > x 7x + 1 x 7 Questo è un sistema di due disequazioni. L insieme di definizione è x 7. Partiamo dalla prima disequazione x 7x x 7 Le radici del trinomio al numeratore sono 3 e 4, quindi la disequazione è verificata per La seconda disequazione è 3 x < 7 ; x 4. o, equivalentemente, x 7x + 1 x 7 x 11x + 6 x 7 0. Le radici del trinomio al numeratore sono 11± 17, quindi la disequazione è verificata per x ; La soluzione del sistema è 7 < x x ; 4 x

4 7. 0 < x x 3 < 3 L insieme di definizione è x 1. Consideriamo la prima disequazione x x 3 > 0. Le radici del numeratore sono 1 e 3/, mentre il denominatore cambia segno in x = 1. Quindi la soluzione è La seconda disequazione è 1 < x < 1; x > 3/. x x 3 e portando a primo membro 3 e facendo il denominatore comune otteniamo < 3 La soluzione è x 3 + x x < 0, o x(x 1) > 0. x < 0; x > 1. In conclusione la disequazione originaria ha come soluzione x > 3/. 8. x 1 x < x 1 Essendoci una radice quadrata, il suo argomento deve essere non negativo, quindi l insieme di definizione si ottiene dalla disequazione x 1 x 0. Il denominatore deve essere non nullo, quindi x 0; la precedente disequazione equivale a x 1 0. x Gli zeri di numeratore e denominatore sono, in ordine crescente, 1; 0; 1 e per x < 1 l espressione è negativa. In conclusione l insieme di definizione è 4

5 1 x < 0; x 1. Per x 1 il secondo membro delle disequazione originaria è negativo o nullo, mentre il primo membro, dove esiste, è non negativo, quindi per x 1 non è verificata. Per x > 1 possiamo elevare a quadrato ottenendo la disequazione equivalente x 1 < (x 1) x e, moltiplicando per il numero positivo x, x 1 < x(x 1), cioè (poiché x 1 > 0) x+1 < x(x 1) e quindi x x 1 > 0. Le radici del trinomio sono 1 ± e, tenendo conto delle condizione x > 1, la soluzione delle disequazione è x > (x 1) < 5 x L insieme di definizione si ottiene da x 1 0, quindi è x 1. Per x 1 e 1 x 5, il secondo membro èpositivo e possiamo elevare a quadrato ottenendo 3(x 1) < 5 10x + x, da cui x + 10x 8 < 0. Le radici dell ultimo trinomio sono 7 e ; quindi, tenendo conto delle condizioni precedenti, abbiamo 7 < x 1; 1 x <. Per x > 5 il secondo membro è negativo e la disequazione non ha soluzioni. In conclusione la soluzione è 7 < x 1; 1 x <. 5

6 10. 4x + 1 > x 3. L insieme di definizione è x 1/4. Per x 3 la disequazione è verificata; per x > 3 eleviamo a quadrato ottenendo 4x + 1 > x 6x + 9, cioé x 10x + 8 < 0. Le radici dell ultimo trinomio sono 5 ± 17, quindi la disuguaglianza è verificata per 3 < x < In conclusione la soluzione della disequazione è 1/4 x < x 3x + > x 7 4 L insieme di definizione è dato dalle soluzioni di x 3x + 0, cioè x 1; x. Per x 7 4 il secondo membro è negativo, quindi per x 1 la disequazione è verificata. Per x > 7 4 il secondo membro è positivo e possiamo elevare a quadrato, ottenendo x 3x + > x 7 x Semplificando abbiamo 1 x > 17 e quindi x > In conclusione la soluzione della disequazione è 1. x 1; x > x 4x + 1 < x L insieme di definizione è dato dalle soluzioni di x 4x + 1 0, 6

7 cioè x 3; x + 3. Per x 0 il secondo membro è negativo, quindi per x 0 la disequazione non è verificata. Per x > 0 possiamo elevare a quadrato ottenendo x 4x + 1 < x, cioè x > 1 4. Poiché 1 4 < 3, la soluzione della disequazione è < x 3; x + 3. x + 3x 7 > 1 x L insieme di definizione è dato dalle soluzioni di x + 3x 7 0, cioè x ; x Per x 1 il secondo membro è negativo, quindi per x 37 3 la disequazione è verificata. Per x < 1 possiamo elevare a quadrato ottenendo x + 3x 7 > 1 x + x, cioè x > 8 5, ma 8 5 > 1, quindi non ci sono soluzioni. In conclusione la disequazione è verificata per 37 3 x. 14. è ln(x 1) x 3 Poiché l argomento del logaritmo deve essere positivo, l insieme di definizione > 0 x > 1; x 3. Il numeratore è positivo per x 1 > 1, cioè per x >, quindi la soluzione della disequazione è 1 < x < ; x > 3. 7

8 15. L insieme di definizione è ln(x + ) x 1 < 0 x > ; x ±1. Il numeratore è positivo per x > 1 e il denominatore per x < 1 e per x > 1, quindi la soluzione della disequazione è < x < 1; 1 < x < 1. 8