Precorso di Analisi Matematica - II parte

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1 Precorso di Analisi Matematica - II parte Lezioni del Settembre 2011 Antonio Leaci 1 1 Universitá del Salento Facoltá di Ingegneria Dipartimento di Matematica E. De Giorgi A.A. 2011/12 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 1 / 74

2 Outline 1 Equazioni e disequazioni Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 2 / 74

3 Outline 1 Equazioni e disequazioni 2 Equazioni e disequazioni razionali Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 2 / 74

4 Outline 1 Equazioni e disequazioni 2 Equazioni e disequazioni razionali 3 Equazioni e disequazioni irrazionali Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 2 / 74

5 Outline 1 Equazioni e disequazioni 2 Equazioni e disequazioni razionali 3 Equazioni e disequazioni irrazionali 4 Disequazioni con il valore assoluto Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 2 / 74

6 Outline 1 Equazioni e disequazioni 2 Equazioni e disequazioni razionali 3 Equazioni e disequazioni irrazionali 4 Disequazioni con il valore assoluto 5 Equazioni e disequazioni esponenziali Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 2 / 74

7 Outline 1 Equazioni e disequazioni 2 Equazioni e disequazioni razionali 3 Equazioni e disequazioni irrazionali 4 Disequazioni con il valore assoluto 5 Equazioni e disequazioni esponenziali 6 Equazioni e disequazioni logaritmiche Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 2 / 74

8 Riferimenti bibliografici Per la preparazione ai test di recupero si consiglia di utilizzare parte del seguente materiale: 1 Il corso di Matematica delle scuole superiori. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 3 / 74

9 Riferimenti bibliografici Per la preparazione ai test di recupero si consiglia di utilizzare parte del seguente materiale: 1 Il corso di Matematica delle scuole superiori. 2 Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella pagina Web dei docenti di Analisi ( Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 3 / 74

10 Riferimenti bibliografici Per la preparazione ai test di recupero si consiglia di utilizzare parte del seguente materiale: 1 Il corso di Matematica delle scuole superiori. 2 Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella pagina Web dei docenti di Analisi ( 3 Il materiale disponibile sul sito nella sezione Materiale didattico, Analisi Matematica. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 3 / 74

11 Riferimenti bibliografici Per la preparazione ai test di recupero si consiglia di utilizzare parte del seguente materiale: 1 Il corso di Matematica delle scuole superiori. 2 Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella pagina Web dei docenti di Analisi ( 3 Il materiale disponibile sul sito nella sezione Materiale didattico, Analisi Matematica. 4 Il libro di P.Boieri, G.Chiti: Precorso di Matematica, Zanichelli, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 3 / 74

12 Riferimenti bibliografici Per la preparazione ai test di recupero si consiglia di utilizzare parte del seguente materiale: 1 Il corso di Matematica delle scuole superiori. 2 Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella pagina Web dei docenti di Analisi ( 3 Il materiale disponibile sul sito nella sezione Materiale didattico, Analisi Matematica. 4 Il libro di P.Boieri, G.Chiti: Precorso di Matematica, Zanichelli, Il libro di A.Esposito, R.Fiorena: Lezioni di Analisi Matematica - analisi zero, Liguori, Napoli, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 3 / 74

13 Perché studiare la Matematica? (PISA, 1564 ARCETRI (FI),1642) La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l universo), ma non si può intendere se prima non s impara a intendere la lingua, e conoscere i caratteri, ne quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questa è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto. Galileo Galilei, Il Saggiatore, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 4 / 74

14 Perché studiare la Matematica? (LECCE, 1928 PISA, 1996) I confini tra matematica pura ed applicata sono labili. Alla matematica pura si domanda la coerenza interna dei suoi enunciati, alla matematica applicata la capacità di rappresentare diverse realtà esterne alla matematica stessa. La distinzione tra matematica pura ed applicata non risiede nella diversa qualità dei teoremi che vi si dimostrano, ma nei diversi criteri di interesse che inizialmente le ispirano. E. De Giorgi, Riflessioni su Matematica e Sapienza, 1996 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 5 / 74

15 Esempi di applicazioni della Matematica in Ingegneria Analisi Matematica I e II, Geometria ed Algebra, Calcolo delle Probabilità e Ricerca Operativa sono utilizzate, oltre che nei corsi di Fisica I, II e Meccanica Razionale, ad esempio in: Ing.Ind.: Teoria dei Circuiti, Meccanica Applicata, Ottimizzazione (equazioni differenziali, calcolo di integrali, ricerca di massimi/minimi tramite derivate). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 6 / 74

16 Esempi di applicazioni della Matematica in Ingegneria Analisi Matematica I e II, Geometria ed Algebra, Calcolo delle Probabilità e Ricerca Operativa sono utilizzate, oltre che nei corsi di Fisica I, II e Meccanica Razionale, ad esempio in: Ing.Ind.: Teoria dei Circuiti, Meccanica Applicata, Ottimizzazione (equazioni differenziali, calcolo di integrali, ricerca di massimi/minimi tramite derivate). Ing.Civ.: Scienza delle Costruzioni, Fluidodinamica (Teoria dell elasticità, equazioni differenziali alle derivate parziali, calcolo di integrali, metodo degli elementi finiti (FEM)). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 6 / 74

17 Esempi di applicazioni della Matematica in Ingegneria Analisi Matematica I e II, Geometria ed Algebra, Calcolo delle Probabilità e Ricerca Operativa sono utilizzate, oltre che nei corsi di Fisica I, II e Meccanica Razionale, ad esempio in: Ing.Ind.: Teoria dei Circuiti, Meccanica Applicata, Ottimizzazione (equazioni differenziali, calcolo di integrali, ricerca di massimi/minimi tramite derivate). Ing.Civ.: Scienza delle Costruzioni, Fluidodinamica (Teoria dell elasticità, equazioni differenziali alle derivate parziali, calcolo di integrali, metodo degli elementi finiti (FEM)). Ing.Inf.: Teoria dei Segnali e dei Sistemi, Automatica, Telecomunicazioni (serie e trasformata di Fourier, trasformata di Laplace e trasformata Z, Analisi Complessa, equazioni differenziali alle derivate parziali), Computer Graphics ed Elaborazione di Audio, Immagini e Video digitali. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 6 / 74

18 I numeri reali L ambiente in cui si svolgerà la nostra trattazione è quello dei numeri reali R. Questo insieme sarà l oggetto delle prime lezioni del corso di Analisi Matematica I, dove sarà introdotto anche l insieme dei numeri complessi C. Diamo per note le definizioni e le proprietà dei numeri naturali (N = {0, 1, 2, 3,...}), dei numeri interi (Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}), dei numeri razionali (Q = {p/q : p Z, q N, q 0}). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 7 / 74

19 I numeri reali L ambiente in cui si svolgerà la nostra trattazione è quello dei numeri reali R. Questo insieme sarà l oggetto delle prime lezioni del corso di Analisi Matematica I, dove sarà introdotto anche l insieme dei numeri complessi C. Diamo per note le definizioni e le proprietà dei numeri naturali (N = {0, 1, 2, 3,...}), dei numeri interi (Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}), dei numeri razionali (Q = {p/q : p Z, q N, q 0}). Brevemente possiamo dire che i numeri reali ammettono una rappresentazione decimale finita, illimitata periodica o aperiodica x = a 0.a 1 a 2 a 3 a 4 = a 0 + a a a a dove a 0 Z, a k è una cifra decimale e non si ha definitivamente a k = 9 in quanto, ad esempio, = Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 7 / 74

20 Equazioni e disequazioni Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 8 / 74

21 Equazioni e disequazioni Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva. Funzione crescente o decrescente. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 8 / 74

22 Equazioni e disequazioni Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva. Funzione crescente o decrescente. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 8 / 74

23 Equazioni e disequazioni Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva. Funzione crescente o decrescente. Ricordiamo che una funzione f : A B è una relazione tra due insiemi A, B tale che x A! y B tale che f(x) = y. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 8 / 74

24 Equazioni e disequazioni Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva. Funzione crescente o decrescente. Ricordiamo che una funzione f : A B è una relazione tra due insiemi A, B tale che e il suo grafico G f è l insieme x A! y B tale che f(x) = y. G f = {(x, y) A B : x A, y = f(x)}. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 8 / 74

25 Una funzione empirica Jan Mar May Jul Sep Figura: Il valore delle azioni ENI tra Gennaio e Settembre Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 9 / 74

26 Grafici ammissibili e NON ammissibili Figura: Un grafico ammissibile e uno non ammissibile. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 10 / 74

27 Equazioni Sia f una funzione f : A B f è iniettiva se e solo se per y B l equazione f(x) = y ammette al più una soluzione. x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 11 / 74

28 Equazioni Sia f una funzione f : A B f è iniettiva se e solo se per y B l equazione f(x) = y ammette al più una soluzione. x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). f è surgettiva se e solo se per ogni y B l equazione f(x) = y ammette almeno una soluzione (cioè f(a) = B). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 11 / 74

29 Equazioni Sia f una funzione f : A B f è iniettiva se e solo se per y B l equazione f(x) = y ammette al più una soluzione. x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). f è surgettiva se e solo se per ogni y B l equazione f(x) = y ammette almeno una soluzione (cioè f(a) = B). f è bigettiva se e solo se per ogni y B l equazione f(x) = y ammette un unica soluzione e tale soluzione è x = f 1 (y) dove f 1 : B A è la funzione inversa di f. Naturalmente risulta f 1 (f(x)) = x x A, f(f 1 (y)) = y y B. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 11 / 74

30 Equazioni Sia f una funzione f : A B f è iniettiva se e solo se per y B l equazione f(x) = y ammette al più una soluzione. x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). f è surgettiva se e solo se per ogni y B l equazione f(x) = y ammette almeno una soluzione (cioè f(a) = B). f è bigettiva se e solo se per ogni y B l equazione f(x) = y ammette un unica soluzione e tale soluzione è x = f 1 (y) dove f 1 : B A è la funzione inversa di f. Naturalmente risulta f 1 (f(x)) = x x A, f(f 1 (y)) = y y B. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 11 / 74

31 Equazioni Sia f una funzione f : A B f è iniettiva se e solo se per y B l equazione f(x) = y ammette al più una soluzione. x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). f è surgettiva se e solo se per ogni y B l equazione f(x) = y ammette almeno una soluzione (cioè f(a) = B). f è bigettiva se e solo se per ogni y B l equazione f(x) = y ammette un unica soluzione e tale soluzione è x = f 1 (y) dove f 1 : B A è la funzione inversa di f. Naturalmente risulta f 1 (f(x)) = x x A, f(f 1 (y)) = y y B. Le proprietà precedenti dipendono non solo dall espressione analitica della funzione ma anche dagli insiemi A e B. Per esempio se f è iniettiva allora la funzione f : A f(a) è bigettiva. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 11 / 74

32 Esempi Figura: Grafici di x 2, x 3. La funzione f(x) = x 2 non è iniettiva, né surgettiva. La funzione f(x) = x 3 è iniettiva e surgettiva, dunque è bigettiva. Per avere queste proprietà è fondamentale l uso dei numeri reali. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 12 / 74

33 Disequazioni Siano A, B R e sia f una funzione f : A B. f è crescente se f è decrescente se x 1, x 2 A, x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ). x 1, x 2 A, x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 13 / 74

34 Disequazioni Siano A, B R e sia f una funzione f : A B. f è crescente se f è decrescente se x 1, x 2 A, x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ). x 1, x 2 A, x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ). Siano g e h due funzioni g, h : X A. Se f è crescente allora g(x) h(x) se e solo se f(g(x)) f(h(x)). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 13 / 74

35 Disequazioni Siano A, B R e sia f una funzione f : A B. f è crescente se f è decrescente se x 1, x 2 A, x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ). x 1, x 2 A, x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ). Siano g e h due funzioni g, h : X A. Se f è crescente allora g(x) h(x) se e solo se f(g(x)) f(h(x)). Se f è decrescente allora g(x) h(x) se e solo se f(g(x)) f(h(x)). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 13 / 74

36 Disequazioni Siano A, B R e sia f una funzione f : A B. f è crescente se f è decrescente se x 1, x 2 A, x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ). x 1, x 2 A, x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ). Siano g e h due funzioni g, h : X A. Se f è crescente allora g(x) h(x) se e solo se f(g(x)) f(h(x)). Se f è decrescente allora g(x) h(x) se e solo se f(g(x)) f(h(x)). Se f non è crescente, né decrescente la soluzione è più complicata. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 13 / 74

37 Esempi Figura: Soluzione di x 2 4, x 3 8. La funzione f(x) = x 2 non è crescente, né decrescente. x 2 4 se e solo se x 2 x 2. La funzione f(x) = x 3 è crescente. x 3 8 se e solo se x 2. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 14 / 74

38 Esempi 1 Sia f : R R la funzione definita da f(x) = 5x 3. Per decidere se è bigettiva e per calcolarne l inversa, dobbiamo studiare l equazione: 5x 3 = y. Essa, per ogni y R, ammette l unica soluzione x = y+3 5. Dunque esiste la funzione inversa f 1 : R R data da f 1 (y) = y+3 5. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 15 / 74

39 Esempi 1 Sia f : R R la funzione definita da f(x) = 5x 3. Per decidere se è bigettiva e per calcolarne l inversa, dobbiamo studiare l equazione: 5x 3 = y. Essa, per ogni y R, ammette l unica soluzione x = y+3 5. Dunque esiste la funzione inversa f 1 : R R data da f 1 (y) = y Sia f : R R una funzione bigettiva. Se f è crescente allora anche f 1 è crescente. Se f è decrescente allora anche f 1 è decrescente. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 15 / 74

40 Esempi 1 Sia f : R R la funzione definita da f(x) = 5x 3. Per decidere se è bigettiva e per calcolarne l inversa, dobbiamo studiare l equazione: 5x 3 = y. Essa, per ogni y R, ammette l unica soluzione x = y+3 5. Dunque esiste la funzione inversa f 1 : R R data da f 1 (y) = y Sia f : R R una funzione bigettiva. Se f è crescente allora anche f 1 è crescente. Se f è decrescente allora anche f 1 è decrescente. 3 Sia f : R R una funzione bigettiva. Se G f è il grafico di f allora il grafico di f 1 si ottiene riflettendo G f rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ossia scambiando i ruoli di x e y. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 15 / 74

41 Equazioni equivalenti Definizione Due equazioni si dicono equivalenti se e solo se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa. In modo analogo si definisce l equivalenza di disequazioni Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 16 / 74

42 Equazioni equivalenti Definizione Due equazioni si dicono equivalenti se e solo se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa. In modo analogo si definisce l equivalenza di disequazioni Proposizione Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 16 / 74

43 Equazioni equivalenti Definizione Due equazioni si dicono equivalenti se e solo se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa. In modo analogo si definisce l equivalenza di disequazioni Proposizione L equazione f(x) = g(x) si trasforma in una equivalente sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell intersezione dei domini di f e g. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 16 / 74

44 Equazioni equivalenti Definizione Due equazioni si dicono equivalenti se e solo se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa. In modo analogo si definisce l equivalenza di disequazioni Proposizione L equazione f(x) = g(x) si trasforma in una equivalente sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell intersezione dei domini di f e g. L equazione f(x) = g(x) si trasforma in una equivalente moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione definita nell intersezione dei domini di f e g e diversa da zero. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 16 / 74

45 Disequazioni equivalenti Proposizione Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 17 / 74

46 Disequazioni equivalenti Proposizione La disequazione f(x) < g(x) si trasforma in una equivalente sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell intersezione dei domini di f e g. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 17 / 74

47 Disequazioni equivalenti Proposizione La disequazione f(x) < g(x) si trasforma in una equivalente sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell intersezione dei domini di f e g. La disequazione f(x) < g(x) si trasforma in una equivalente moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione definita nell intersezione dei domini di f e g e strettamente positiva. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 17 / 74

48 Disequazioni equivalenti Proposizione La disequazione f(x) < g(x) si trasforma in una equivalente sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione definita nell intersezione dei domini di f e g. La disequazione f(x) < g(x) si trasforma in una equivalente moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione definita nell intersezione dei domini di f e g e strettamente positiva. La disequazione f(x) < g(x) si trasforma moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione h, definita nell intersezione dei domini di f e g e strettamente negativa, nella disequazione equivalente f(x)h(x) > g(x)h(x). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 17 / 74

49 Equazioni e disequazioni razionali Si tratta del caso in cui si considerano polinomi o rapporti di polinomi. Consideriamo dapprima le potenze f n : R R, f(x) = x n, n N. Distinguiamo tra n dispari ed n pari. I grafici sono i seguenti: Figura: Alcune potenze dispari e pari. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 18 / 74

50 Radici di indice dispari Se n N è dispari risulta x 1 < x 2 (x 1 ) n < (x 2 ) n e l immagine della funzione f n (x) = x n è tutto R. Allora si può definire la funzione inversa fn 1 : R R data dalla relazione fn 1 (y) = x y = f n (x). La funzione fn 1 : R R si chiama radice n-esima e si denota con fn 1 (y) = n y. Dunque x = n y y = x n. Anche fn 1 è bigettiva e strettamente crescente. I grafici sono i seguenti: Figura: Alcune radici di indice dispari. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 19 / 74

51 Radici di indice pari Se n N è pari risulta 0 x 1 < x 2 (x 1 ) n < (x 2 ) n e l immagine della funzione f n (x) = x n ristretta a [0,+ ) è [0,+ ). Allora si può definire la funzione inversa fn 1 : [0,+ ) [0,+ ) data dalla relazione fn 1 (y) = x y = f n (x). La funzione fn 1 si chiama radice n-esima e si denota con fn 1 (y) = n y. Essa è bigettiva e strettamente crescente in [0,+ ). Dunque le radici pari sono sempre positive. I grafici sono i seguenti: Alcune radici pari Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 20 / 74

52 Potenze con esponente negativo o razionale Per n N con n > 0 si definisce la funzione f : R\{0} R\{0} f(x) = x n = 1 x n. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 21 / 74

53 Potenze con esponente negativo o razionale Per n N con n > 0 si definisce la funzione f : R\{0} R\{0} f(x) = x n = 1 x n. Per q = n m con n Z e m N con m 0 si definisce la funzione f : (0,+ ) (0,+ ) f(x) = x q = m x n. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 21 / 74

54 Potenze con esponente negativo o razionale Per n N con n > 0 si definisce la funzione f : R\{0} R\{0} f(x) = x n = 1 x n. Per q = n m con n Z e m N con m 0 si definisce la funzione f : (0,+ ) (0,+ ) f(x) = x q = m x n. Se considerassimo anche le x < 0 avremmo, ad esempio, ( 8) 1/3 = 2 e ( 8) 2/6 = 6 ( 8) 2 = 2, dunque la definizione sarebbe mal posta. Proprietà: x p x q = x p+q, x p x q = x p q, (x p ) q = x p q, x p y p = (x y) p. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 21 / 74

55 Potenze con esponente negativo o razionale Esempi: 8 2/3 = = 1 ( 3 8) 2 = 1 4, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 22 / 74

56 Potenze con esponente negativo o razionale Esempi: 8 2/3 = = 1 ( 3 8) 2 = 1 4, (3 x y 3 y ) 1 x y = ( 3 x y+y) 1 x y = 3 y (x+1) x y = 3 x+1 x, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 22 / 74

57 Potenze con esponente negativo o razionale Esempi: 8 2/3 = = 1 ( 3 8) 2 = 1 4, (3 x y 3 y ) 1 x y = ( 3 x y+y) 1 x y = 3 y (x+1) x y = 3 x+1 x, (2 n + 2 n+1 ) 2 = (2 n (1+2)) 2 = 4 n 9, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 22 / 74

58 Potenze con esponente negativo o razionale Esempi: 8 2/3 = = 1 ( 3 8) 2 = 1 4, (3 x y 3 y ) 1 x y = ( 3 x y+y) 1 x y = 3 y (x+1) x y = 3 x+1 x, (2 n + 2 n+1 ) 2 = (2 n (1+2)) 2 = 4 n 9, 4 81 = /4 = 3 2 3/4 = 3 4 2, 2 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 22 / 74

59 Potenze con esponente negativo o razionale Esempi: 8 2/3 = = 1 ( 3 8) 2 = 1 4, (3 x y 3 y ) 1 x y = ( 3 x y+y) 1 x y = 3 y (x+1) x y = 3 x+1 x, (2 n + 2 n+1 ) 2 = (2 n (1+2)) 2 = 4 n 9, 4 81 = /4 = 3 2 3/4 = 3 4 2, 2 ( 2 x+y 2 y) 1 x y = 2 1 y, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 22 / 74

60 Potenze con esponente negativo o razionale Esempi: 8 2/3 = = 1 ( 3 8) 2 = 1 4, (3 x y 3 y ) 1 x y = ( 3 x y+y) 1 x y = 3 y (x+1) x y = 3 x+1 x, (2 n + 2 n+1 ) 2 = (2 n (1+2)) 2 = 4 n 9, 4 81 = /4 = 3 2 3/4 = 3 4 2, 2 ( 2 x+y 2 y) 1 x y = 2 1 y, 4 x 2 1 = 1 x = 1 x = 1. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 22 / 74

61 Equazioni e disequazioni di 1 o grado Un caso molto semplice Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 23 / 74

62 Equazioni e disequazioni di 1 o grado Un caso molto semplice ax + b = 0 a 0 l unica soluzione è x = b a. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 23 / 74

63 Equazioni e disequazioni di 1 o grado Un caso molto semplice ax + b = 0 a 0 l unica soluzione è x = b a. ax + b > 0 a 0 le soluzioni sono: Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 23 / 74

64 Equazioni e disequazioni di 1 o grado Un caso molto semplice ax + b = 0 a 0 l unica soluzione è x = b a. ax + b > 0 a 0 le soluzioni sono: Se a > 0 allora b x > a : 3x 2 > 0 x > 2 3 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 23 / 74

65 Equazioni e disequazioni di 1 o grado Un caso molto semplice ax + b = 0 a 0 l unica soluzione è x = b a. ax + b > 0 a 0 le soluzioni sono: Se a > 0 allora b x > a : 3x 2 > 0 x > 2 3 Se a < 0 allora x < b a : 3x 2 > 0 x < 2 3 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 23 / 74

66 Equazioni di 2 o grado L equazione è ax 2 + bx + c = 0 con a 0. Per risolverla usiamo il metodo del completamento del quadrato. ( ax 2 + bx + c = a x 2 + b a x + c ) a = a (x 2 ba b2 + x + 4a 2 + c ) a b2 4a [ 2 ( = a x + b ) ] 2 4ac b2 + 2a 4a 2 = 0, da cui otteniamo: ( x + b ) 2 = b2 4ac 2a 4a 2 = 4a 2. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 24 / 74

67 Equazioni di 2 o grado Sono possibili tre casi: se > 0 esistono due soluzioni distinte x 1 = b 2a, x 2 = b+ 2a, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 25 / 74

68 Equazioni di 2 o grado Sono possibili tre casi: se > 0 esistono due soluzioni distinte x 1 = b 2a, x 2 = b+ 2a se = 0 esiste un unica soluzione doppia, x 1 = x 2 = b 2a, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 25 / 74

69 Equazioni di 2 o grado Sono possibili tre casi: se > 0 esistono due soluzioni distinte x 1 = b 2a, x 2 = b+ 2a se = 0 esiste un unica soluzione doppia, x 1 = x 2 = b 2a, se < 0 non esistono soluzioni reali. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 25 / 74

70 Equazioni di 2 o grado Sono possibili tre casi: se > 0 esistono due soluzioni distinte x 1 = b 2a, x 2 = b+ 2a se = 0 esiste un unica soluzione doppia, x 1 = x 2 = b 2a, se < 0 non esistono soluzioni reali. Osservazione Per 0 risulta x 1 + x 2 = b a, x 1 x 2 = c a e vale la fattorizzazione ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 25 / 74

71 Esempi di completamento del quadrato ( 2x 2 + 3x + 5 = 2 x x + 5 ) = 2 ( 2 x x ) = 2 16 ( x ) Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 26 / 74

72 Esempi di completamento del quadrato ( 2x 2 + 3x + 5 = 2 x x + 5 ) = 2 ( 2 x x ) = 2 16 ( x ) ( ) ( ) x 2 + 2x 3 = x 2 2 x + 3 = x 2 2 x = (x 1) 2 2 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 26 / 74

73 Disequazioni di 2 o grado Studiamo la disequazione ax 2 + bx + c > 0 con a 0 e indichiamo con S l insieme delle soluzioni. Dalla fattorizzazione precedente segue: se a > 0 > 0 S = (, x 1 ) (x 2,+ ) = 0 S = R\{ x 1 } < 0 S = R Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 27 / 74

74 Disequazioni di 2 o grado Studiamo la disequazione ax 2 + bx + c > 0 con a 0 e indichiamo con S l insieme delle soluzioni. Dalla fattorizzazione precedente segue: se a > 0 > 0 S = (, x 1 ) (x 2,+ ) = 0 S = R\{ x 1 } < 0 S = R se a < 0 > 0 S = (x 1, x 2 ) = 0 S = < 0 S = Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 27 / 74

75 Interpretazione geometrica Se consideriamo la funzione f(x) = ax 2 + bx + c, il suo grafico è una parabola con vertice nel punto ( b 2a, 4a). a 0, 0 x 1 x 2 x 1 x 2 a 0, 0 a 0, 0 x 1 x 2 x 1 x 2 a 0, 0 a 0, 0 a 0, 0 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 28 / 74

76 Esempi Disequazione polinomiale: x 2 + 5x 4 0 x 2 5x (x 1)(x 4) 0 allora S = [1, 4]. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 29 / 74

77 Esempi Disequazione polinomiale: x 2 + 5x 4 0 x 2 5x (x 1)(x 4) 0 allora S = [1, 4]. Disequazione razionale: 2x 1 x + 1 x + 2 x 1 (2x 1)(x 1) (x + 2)(x + 1) (x + 1)(x 1) x 2 6x 1 (x + 1)(x 1) 0 0 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 29 / 74

78 Esempi Le radici del numeratore sono x 1/2 = 6± 40 2 = 3± 10 mentre le radici del denominatore sono ±1. Dalla regola vista sul segno dei trinomi, e dalla regola dei segni otteniamo: N D Q -1 x 1 1 x 2 e dunque la soluzione è S = (, 1) [3 10, 1) [3+ 10,+ ). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 30 / 74

79 Esempi Risolviamo la disequazione x + 4 x + 1 2x 5 x 1 > x + 2 x 2 2 (x ±1) 1 (x + 4)(x 1) (2x 5)(x + 1) x 2 x + 2 2(x 2 1) 1 x 2 1 x 2 + 3x 4 2x 2 + 3x + 5 x 2+2x 2 2 x 2 > 0 1 x 2 + 5x 3 x 2 > 0 1 > 0 Le radici del numeratore sono x 1/2 = 5± 37. Le radici del 2 denominatore sono x 3/4 = ±1. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 31 / 74

80 Esempi Come nel caso precedente usiamo la regola dei segni. N D Q x 1 1 x 2 1 ( Dunque S =, ) ( 1, ) (1,+ ). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 32 / 74

81 Equazioni biquadratiche e trinomie Sono equazioni del tipo ax 2n + bx n + c = 0, e si risolvono con la sostituzione x n = t. x 4 3x 2 4 = 0 (x 2 = t) t 2 3t 4 = 0 t 1/2 = 3± 25 2 = { 1 Ritornando nella variabile x abbiamo che x 2 = 1 non ha soluzioni reali, mentre x 2 = 4 ha le due soluzioni x 1/2 = ±2. Dunque S = { 2,2}. 4 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 33 / 74

82 Equazioni biquadratiche e trinomie Sono equazioni del tipo ax 2n + bx n + c = 0, e si risolvono con la sostituzione x n = t. x 4 3x 2 4 = 0 (x 2 = t) t 2 3t 4 = 0 t 1/2 = 3± 25 2 = { 1 Ritornando nella variabile x abbiamo che x 2 = 1 non ha soluzioni reali, mentre x 2 = 4 ha le due soluzioni x 1/2 = ±2. Dunque S = { 2,2}. Per risolvere la disequazione x 4 3x 2 4 > 0 notiamo che, con la stessa sostituzione, t 2 3t 4 = (t 4)(t + 1) = (x 2 4)(x 2 + 1) > 0 e allora S = (, 2) (2,+ ). 4 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 33 / 74

83 I polinomi Un polinomio reale di grado n è una funzione P n : R R del tipo P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + +a n x n = n a h x h, dove gli a 0,...,a n sono numeri reali dati, con a n 0, detti coefficienti del polinomio. h=0 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 34 / 74

84 I polinomi Un polinomio reale di grado n è una funzione P n : R R del tipo P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + +a n x n = n a h x h, dove gli a 0,...,a n sono numeri reali dati, con a n 0, detti coefficienti del polinomio. Calcolare la somma e il prodotto di polinomi non presenta alcuna difficoltà: (x 3 x + 2) (x 2 + 2x 5) = x 3 x 2 3x + 7 h=0 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 34 / 74

85 I polinomi Un polinomio reale di grado n è una funzione P n : R R del tipo P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + +a n x n = n a h x h, dove gli a 0,...,a n sono numeri reali dati, con a n 0, detti coefficienti del polinomio. Calcolare la somma e il prodotto di polinomi non presenta alcuna difficoltà: (x 3 x + 2) (x 2 + 2x 5) = x 3 x 2 3x + 7 h=0 (x 1)(x 2 + x + 1) = x 2 (x 1)+x(x 1)+(x 1) = x 3 x 2 + x 2 x + x 1 = x 3 1 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 34 / 74

86 I polinomi Un polinomio reale di grado n è una funzione P n : R R del tipo P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + +a n x n = n a h x h, dove gli a 0,...,a n sono numeri reali dati, con a n 0, detti coefficienti del polinomio. Calcolare la somma e il prodotto di polinomi non presenta alcuna difficoltà: (x 3 x + 2) (x 2 + 2x 5) = x 3 x 2 3x + 7 h=0 (x 1)(x 2 + x + 1) = x 2 (x 1)+x(x 1)+(x 1) = x 3 x 2 + x 2 x + x 1 = x 3 1 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 34 / 74

87 I polinomi Un polinomio reale di grado n è una funzione P n : R R del tipo P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + +a n x n = n a h x h, dove gli a 0,...,a n sono numeri reali dati, con a n 0, detti coefficienti del polinomio. Calcolare la somma e il prodotto di polinomi non presenta alcuna difficoltà: (x 3 x + 2) (x 2 + 2x 5) = x 3 x 2 3x + 7 h=0 (x 1)(x 2 + x + 1) = x 2 (x 1)+x(x 1)+(x 1) = x 3 x 2 + x 2 x + x 1 = x 3 1 (il prodotto calcolato richiama una nota scomposizione della differenza di due potenze dispari). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 34 / 74

88 Funzioni razionali Il rapporto di due polinomi costituisce una funzione razionale cui dominio è l insieme dei numeri reali per cui S m (x) 0. P n(x) S m (x) il Teorema Dati due polinomi P n (x) e S m (x) con n m esistono due polinomi Q(x) e R(x) tali che Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 35 / 74

89 Funzioni razionali Il rapporto di due polinomi costituisce una funzione razionale cui dominio è l insieme dei numeri reali per cui S m (x) 0. P n(x) S m (x) il Teorema Dati due polinomi P n (x) e S m (x) con n m esistono due polinomi Q(x) e R(x) tali che il grado di R(x) è strettamente minore di m, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 35 / 74

90 Funzioni razionali Il rapporto di due polinomi costituisce una funzione razionale cui dominio è l insieme dei numeri reali per cui S m (x) 0. P n(x) S m (x) il Teorema Dati due polinomi P n (x) e S m (x) con n m esistono due polinomi Q(x) e R(x) tali che il grado di R(x) è strettamente minore di m, vale la relazione P n (x) = S m (x) Q(x)+R(x) P n(x) R(x) = Q(x)+ S m (x) S m (x) Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 35 / 74

91 Divisione di polinomi Esempio: dividiamo P(x) = 3x 4 + x 3 2x + 5 per S(x) = x x 4 +x 3 2x +5 x x 4 6x 2 3x 2 +x 6 x 3 6x 2 2x +5 x 3 2x 6x 2 4x +5 6x x +17 dunque Q(x) = 3x 2 + x 6 e R(x) = 4x + 17 e 3x 4 + x 3 2x + 5 x = 3x 2 + x 6 4x 17 x Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 36 / 74

92 Divisione di polinomi Definizione Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 37 / 74

93 Divisione di polinomi Definizione 1 Se R(x) = 0 si dice che P(x) è divisibile per S(x). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 37 / 74

94 Divisione di polinomi Definizione 1 Se R(x) = 0 si dice che P(x) è divisibile per S(x). 2 Un polinomio P(x) di grado n 1 si dice irriducibile se non esistono divisori di P(x) di grado 0 < m < n. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 37 / 74

95 Divisione di polinomi Definizione 1 Se R(x) = 0 si dice che P(x) è divisibile per S(x). 2 Un polinomio P(x) di grado n 1 si dice irriducibile se non esistono divisori di P(x) di grado 0 < m < n. 3 Tutti i polinomi di primo grado sono irriducibili. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 37 / 74

96 Divisione di polinomi Definizione 1 Se R(x) = 0 si dice che P(x) è divisibile per S(x). 2 Un polinomio P(x) di grado n 1 si dice irriducibile se non esistono divisori di P(x) di grado 0 < m < n. 3 Tutti i polinomi di primo grado sono irriducibili. 4 Tutti i polinomi di secondo grado con < 0 sono irriducibili (in R). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 37 / 74

97 Divisione di polinomi Definizione 1 Se R(x) = 0 si dice che P(x) è divisibile per S(x). 2 Un polinomio P(x) di grado n 1 si dice irriducibile se non esistono divisori di P(x) di grado 0 < m < n. 3 Tutti i polinomi di primo grado sono irriducibili. 4 Tutti i polinomi di secondo grado con < 0 sono irriducibili (in R). 5 Un numero c tale che P(c) = 0 si dice radice o zero del polinomio P(x). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 37 / 74

98 Divisione di polinomi Definizione 1 Se R(x) = 0 si dice che P(x) è divisibile per S(x). 2 Un polinomio P(x) di grado n 1 si dice irriducibile se non esistono divisori di P(x) di grado 0 < m < n. 3 Tutti i polinomi di primo grado sono irriducibili. 4 Tutti i polinomi di secondo grado con < 0 sono irriducibili (in R). 5 Un numero c tale che P(c) = 0 si dice radice o zero del polinomio P(x). Teorema (Ruffini) Il polinomio P(x) è divisibile per (x c) se e solo se P(c)=0 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 37 / 74

99 Divisione per un polinomio di 1 0 grado Esempio: il polinomio P(x) = x 3 + 4x 2 7x 10 è divisibile per x + 5 e si ha: da cui segue x 3 + 4x 2 7x 10 = (x + 5)(x 2 x 2) = (x + 5)(x + 1)(x 2). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 38 / 74

100 Fattorizzazione di un polinomio Questa fattorizzazione è molto utile per risolvere la disuguaglianza x 3 + 4x 2 7x 10 > 0. Infatti utilizzando la regola dei segni si ottiene che la soluzione è S = ( 5, 1) (2,+ ). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 39 / 74

101 Fattorizzazione di un polinomio in R Teorema Nell insieme dei polinomi a coefficienti reali ci sono due tipi di fattori irriducibili: i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado con < 0. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 40 / 74

102 Fattorizzazione di un polinomio in R Teorema Nell insieme dei polinomi a coefficienti reali ci sono due tipi di fattori irriducibili: i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado con < 0. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 40 / 74

103 Fattorizzazione di un polinomio in R Teorema Nell insieme dei polinomi a coefficienti reali ci sono due tipi di fattori irriducibili: i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado con < 0. Ogni polinomio P(x) di grado n ammette una fattorizzazione del tipo: P(x)=a n (x c 1 ) m1 (x c h ) m h (x 2 + p 1 x + q 1 ) l1 (x 2 + p k x + q k ) l k. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 40 / 74

104 Fattorizzazione di un polinomio in R Teorema Nell insieme dei polinomi a coefficienti reali ci sono due tipi di fattori irriducibili: i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado con < 0. Ogni polinomio P(x) di grado n ammette una fattorizzazione del tipo: P(x)=a n (x c 1 ) m1 (x c h ) m h (x 2 + p 1 x + q 1 ) l1 (x 2 + p k x + q k ) l k. I numeri c 1,...,c h sono le radici reali distinte di P(x) con molteplicità m 1,...,m h ; i trinomi di secondo grado hanno discriminante negativo e vale m m h + 2l l k = n. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 40 / 74

105 Alcune regole di fattorizzazione di un polinomio Teorema Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 41 / 74

106 Alcune regole di fattorizzazione di un polinomio Teorema 1 Le eventuali radici intere di P n (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, dove i coefficienti a h sono numeri interi, vanno cercate tra i sottomultipli di a 0, compresa l unità, presi col segno positivo o negativo. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 41 / 74

107 Alcune regole di fattorizzazione di un polinomio Teorema 1 Le eventuali radici intere di P n (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, dove i coefficienti a h sono numeri interi, vanno cercate tra i sottomultipli di a 0, compresa l unità, presi col segno positivo o negativo. 2 Le eventuali radici razionali di P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, dove i coefficienti a h sono numeri interi, vanno cercate tra i numeri razionali della forma ± p q con p sottomultiplo di a 0 e q sottomultiplo di a n, compresa l unità. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 41 / 74

108 Alcune regole di fattorizzazione di un polinomio Teorema 1 Le eventuali radici intere di P n (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, dove i coefficienti a h sono numeri interi, vanno cercate tra i sottomultipli di a 0, compresa l unità, presi col segno positivo o negativo. 2 Le eventuali radici razionali di P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, dove i coefficienti a h sono numeri interi, vanno cercate tra i numeri razionali della forma ± p q con p sottomultiplo di a 0 e q sottomultiplo di a n, compresa l unità. 3 Il binomio x n a n è divisibile per (x a) per ogni n N; se n è pari è divisibile anche per (x + a). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 41 / 74

109 Teorema Risulta: x n a n = (x a)(x n 1 + ax n a n 2 x + a n 1 ) n pari = (x + a)(x n 1 ax n a n 2 x a n 1 ). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 42 / 74

110 Teorema Risulta: x n a n = (x a)(x n 1 + ax n a n 2 x + a n 1 ) n pari = (x + a)(x n 1 ax n a n 2 x a n 1 ). Il binomio x n + a n è divisibile per (x + a) se n è dispari; non è divisibile per (x + a) né per (x a) se n è pari. Risulta per n dispari: x n + a n = (x + a)(x n 1 ax n a n 2 x + a n 1 ). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 42 / 74

111 Teorema Risulta: x n a n = (x a)(x n 1 + ax n a n 2 x + a n 1 ) n pari = (x + a)(x n 1 ax n a n 2 x a n 1 ). Il binomio x n + a n è divisibile per (x + a) se n è dispari; non è divisibile per (x + a) né per (x a) se n è pari. Risulta per n dispari: x n + a n = (x + a)(x n 1 ax n a n 2 x + a n 1 ). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 42 / 74

112 Teorema Risulta: x n a n = (x a)(x n 1 + ax n a n 2 x + a n 1 ) n pari = (x + a)(x n 1 ax n a n 2 x a n 1 ). Il binomio x n + a n è divisibile per (x + a) se n è dispari; non è divisibile per (x + a) né per (x a) se n è pari. Risulta per n dispari: Esempio: x n + a n = (x + a)(x n 1 ax n a n 2 x + a n 1 ). x 4 16 = (x 2 4)(x 2 + 4) = (x 2)(x + 2)(x 2 + 4) x = (x + 3)(x 2 3x + 9) Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 42 / 74

113 Equazioni irrazionali Chiamiamo irrazionali quelle equazioni in cui intervengono radici: n f(x) = m g(x) n > 1, m 1. (1) Naturalmente dovremo richiedere che x dom f dom g e, se un indice è pari, che il radicando sia non negativo. Si può cercare di risolvere l equazione elevando ambo i membri alla potenza p = m.c.m.(n, m) ottenendo: ( ) p ( ) p n f(x) = m g(x). (2) Le situazioni che si presentano sono completamente differenti se p è dispari oppure pari. Se p è dispari le equazioni (1) e (2) sono equivalenti perchè le potenze dispari sono iniettive. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 43 / 74

114 Equazioni irrazionali Chiamiamo irrazionali quelle equazioni in cui intervengono radici: n f(x) = m g(x) n > 1, m 1. (1) Naturalmente dovremo richiedere che x dom f dom g e, se un indice è pari, che il radicando sia non negativo. Si può cercare di risolvere l equazione elevando ambo i membri alla potenza p = m.c.m.(n, m) ottenendo: ( ) p ( ) p n f(x) = m g(x). (2) Le situazioni che si presentano sono completamente differenti se p è dispari oppure pari. Se p è dispari le equazioni (1) e (2) sono equivalenti perchè le potenze dispari sono iniettive. Se p è pari l equazione (2) può avere più soluzioni di (1). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 43 / 74

115 Esempi 1 Consideriamo l equazione 3 x = x (x R). Isolando la radice abbiamo 3 x = x + 2 e, elevando al cubo, otteniamo l equazione equivalente x = x 3 + 6x x + 8 da cui, riducendo i termini simili, ricaviamo 6x x + 5 = 0 le cui radici sono x 1/2 = 12± 24 6 = 1± 12 6, entrambe accettabili. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 44 / 74

116 Esempi 1 Consideriamo l equazione 3 x = x (x R). Isolando la radice abbiamo 3 x = x + 2 e, elevando al cubo, otteniamo l equazione equivalente x = x 3 + 6x x + 8 da cui, riducendo i termini simili, ricaviamo 6x x + 5 = 0 le cui radici sono x 1/2 = 12± 24 6 = 1± 12 6, entrambe accettabili. 2 Consideriamo l equazione ( 3x 2 = x 2 x 2 3). Elevando al quadrato, otteniamo 3x 2 = x 2 4x + 4, cioè x 2 7x + 6 = 0 le cui radici sono x 1 = 1 e x 2 = 6, e si verifica che 6 è accettabile mentre 1 no. Osserviamo che x 2 deve essere positivo e x = 1 non verifica questa condizione. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 44 / 74

117 Disequazioni irrazionali Anche in questo caso possiamo usare il metodo di elevamento a potenza. Come per le equazioni vi sono differenze nel caso in cui la potenza è dispari oppure pari. Nel caso n dispari la disequazione n f(x) > g(x) ha le stesse soluzioni della disequazione f(x) > (g(x)) n. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 45 / 74

118 Disequazioni irrazionali Anche in questo caso possiamo usare il metodo di elevamento a potenza. Come per le equazioni vi sono differenze nel caso in cui la potenza è dispari oppure pari. Nel caso n dispari la disequazione n f(x) > g(x) ha le stesse soluzioni della disequazione f(x) > (g(x)) n. Esempio: Consideriamo la diseguaglianza 3 x 3 + 8x x + 22 > x + 3, elevando al cubo e semplificando otteniamo: x 3 + 8x x + 22 > x 3 + 9x x + 27 x 2 + 6x 5 > 0 x 2 6x + 5 < 0 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 45 / 74

119 Disequazioni irrazionali (x 1)(x 5) < 0 per cui la soluzione è S = (1, 5). Consideriamo ora le disequazioni con radici di indice n pari. Distinguiamo due casi. Il primo caso è: n f(x) < g(x). (3) Dobbiamo richiedere f(x) 0, ed allora anche g(x) > 0. A questo punto possiamo elevare a potenza ottenendo una disequazione equivalente. Pertanto (3) è equivalente al sistema: f(x) 0 g(x) > 0 f(x) < (g(x)) n Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 46 / 74

120 Esempio Esempio: Risolvere la diseguaglianza 8 5x < 5x 2. Questa è equivalente al sistema: 8 5x 0 5x 2 > 0 8 5x < 25x 2 20x + 4 cioè { 2 5 < x x 2 15x 4 > 0 Trovando le radici del trinomio abbiamo: x 1/2 = 15± = 15±25 50 = { Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 47 / 74

121 Esempio Dunque dobbiamo fare l intersezione dei due insiemi {( 2 5, 8 5] ( ) (, ,+ ) e la soluzione è S = ( 4 5, 8 5]. (Non confondete questo grafico con quello usato per decidere sul segno di prodotti o rapporti) Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 48 / 74

122 Disequazioni irrazionali Esaminiamo ora il secondo caso: n f(x) > g(x). (4) Come al solito imponiamo f(x) 0. Se g(x) < 0 la diseguaglianza è verificata, per cui otteniamo un primo insieme di soluzioni S 1 = { x dom f dom g ; f(x) 0, g(x) < 0}. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 49 / 74

123 Disequazioni irrazionali Esaminiamo ora il secondo caso: n f(x) > g(x). (4) Come al solito imponiamo f(x) 0. Se g(x) < 0 la diseguaglianza è verificata, per cui otteniamo un primo insieme di soluzioni S 1 = { x dom f dom g ; f(x) 0, g(x) < 0}. Se g(x) 0 possiamo elevare ambo i membri alla potenza n ottenendo il sistema: f(x) 0 g(x) 0 f(x) > (g(x)) n la cui soluzione indichiamo con S 2. Allora la soluzione di (4) è S 1 S 2. (Notiamo che la terza disuguaglianza rende superflua la prima). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 49 / 74

124 Esempio Esempio: Risolvere la diseguaglianza x 2 4 > x + 7. Questa è equivalente ai sistemi: { { x x x + 7 < 0 cioè { x 2 x 2 pertanto S 1 = x < 7 x 2 4 > x x + 49 { x 7 53 > 14x ( ) (, 2] [2,+ ) (, 7) = (, 7) S 2 = [ 7,+ ) (, ) = [ 7, ) per cui la soluzione è S = S 1 S 2 = (, 53 14). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 50 / 74

125 Esempio Esempio: Risolvere la diseguaglianza x + 1+ x + 3 > x + 5 x 1 x 3 x 5 x 1 Poiché ambo i membri sono positivi, possiamo elevare al quadrato: x (x + 1)(x + 3)+x + 3 > x x 2 + 4x + 3 > x + 1 Se x + 1 < 0 la disequazione è verificata, dunque abbiamo un primo insieme di soluzioni S 1 = (1,+ ). Se x possiamo elevare al quadrato: Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 51 / 74

126 Esempio 4(x 2 + 4x + 3) > x 2 2x + 1 3x x + 11 > 0 x 1/2 = 18± = 18±8 3 6 = { così otteniamo un secondo insieme di soluzioni (( S 2 =, ) )) ( ,+ [ 1, 1] = ( ] , 1 ( ) e dunque S = S 1 S 2 = ,+. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 52 / 74

127 Un argomento spinoso Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 53 / 74

128 Disequazioni con il valore assoluto Definizione (Valore assoluto) Per ogni x R, si definisce il valore assoluto di x, denotato con x, il numero { x se x 0 x = x se x < 0 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 54 / 74

129 Disequazioni con il valore assoluto Definizione (Valore assoluto) Per ogni x R, si definisce il valore assoluto di x, denotato con x, il numero { x se x 0 x = x se x < 0 Proposizione (Proprietà del valore assoluto) Per ogni r > 0 valgono le seguenti equivalenze: x r r x r. x r x r x r. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 54 / 74

130 Il valore assoluto Proposizione (Proprietà del valore assoluto) Inoltre, per ogni x, y R: x 0, x = 0 x = 0; x = x, x y = x y ; x + y x + y ; x y x y. Osserviamo che per ogni x R si ha x 2 = x. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 55 / 74

131 Il valore assoluto Vediamo come si trasforma il grafico di una funzione f(x) se consideriamo f(x) oppure f( x ) Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 56 / 74

132 Disequazioni con il valore assoluto Per risolvere le disequazioni f(x) g(x) bisogna richiedere g(x) 0 e poi g(x) f(x) g(x). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 57 / 74

133 Disequazioni con il valore assoluto Per risolvere le disequazioni f(x) g(x) bisogna richiedere g(x) 0 e poi g(x) f(x) g(x). Per risolvere le disequazioni f(x) g(x) bisogna considerare le x per cui g(x) 0 e poi aggiungere le soluzioni (in g(x) 0) di f(x) g(x) e di f(x) g(x). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 57 / 74

134 Disequazioni con il valore assoluto Risolvere x 2 + 6x < 5. Questa è equivalente al sistema { 5 < x 2 x 2 + 6x 5 < 0 + 6x < 5 x 2 + 6x + 5 > 0 la cui soluzione è S = ( 3 14, 3+ 14) ( (, 5) ( 1, ) ) = ( 3 14, 5) ( 1, 3+ 14). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 58 / 74

135 Disequazioni con il valore assoluto Risolvere x 2 + x x 0. Si ha x 2 + x x. Se x < 0 la disuguaglianza è verificata. Se x 0 possiamo elevare al quadrato e otteniamo x 2 + x x 2. La funzione x 2 + x è negativa se e solo se x ( 1, 0). Ed allora per x 0 risulta!x 2 + x x 2 se e solo se x 2 + x x 2 e questa disuguaglianza è verificata perché stiamo considerando x 0. In definitiva, la disuguaglianza vale x R. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 59 / 74

136 Disequazioni con il valore assoluto Risolvere x 2 1 x 2 4. Poichè ambo i membri sono positivi possiamo elevare al quadrato x 2 1 x 2 4 (x 2 1) 2 (x 2 4) 2 (x 2 1) 2 (x 2 4) 2 0 3(2x 2 5) x 2 x 2 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 60 / 74

137 La funzione esponenziale Si vedrà nel corso di Analisi Matematica I che per a (0,+ ), a 1 si può definire la funzione esponenziale f a : R (0,+ ) data da f a (x) = a x. Essa ha comportamenti diversi per 0 < a < 1 o a > 1. I grafici nei due casi sono i seguenti: a a Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 61 / 74

138 Proprietà degli esponenziali 1 Se a > 1 allora a x > 1 se x > 0 0 < a x < 1 se x < 0 x < y a x < a y Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 62 / 74

139 Proprietà degli esponenziali 1 Se a > 1 allora a x > 1 se x > 0 0 < a x < 1 se x < 0 x < y a x < a y 2 Se 0 < a < 1 allora a x > 1 se x < 0 0 < a x < 1 se x > 0 x < y a x > a y Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 62 / 74

140 Proprietà degli esponenziali 1 Se a > 1 allora a x > 1 se x > 0 0 < a x < 1 se x < 0 x < y a x < a y 2 Se 0 < a < 1 allora 3 Se 1 < a < b allora a x > 1 se x < 0 0 < a x < 1 se x > 0 x < y a x > a y { b x < a x se x < 0 a x < b x se x > 0 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 62 / 74

141 Altre proprietà degli esponenziali Per ogni a > 0 e a 1 risulta 1 f a : R (0,+ ) definita da f a (x) = a x è bigettiva e strettamente monotona, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 63 / 74

142 Altre proprietà degli esponenziali Per ogni a > 0 e a 1 risulta 1 f a : R (0,+ ) definita da f a (x) = a x è bigettiva e strettamente monotona, 2 f a (0) = 1, f a (x + y) = f a (x) f a (y), Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 63 / 74

143 Altre proprietà degli esponenziali Per ogni a > 0 e a 1 risulta 1 f a : R (0,+ ) definita da f a (x) = a x è bigettiva e strettamente monotona, 2 f a (0) = 1, f a (x + y) = f a (x) f a (y), 3 f a ( x) = 1 f a (x), Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 63 / 74

144 Altre proprietà degli esponenziali Per ogni a > 0 e a 1 risulta 1 f a : R (0,+ ) definita da f a (x) = a x è bigettiva e strettamente monotona, 2 f a (0) = 1, f a (x + y) = f a (x) f a (y), 3 f a ( x) = 1 f a (x), 4 la base a più usata è il numero irrazionale indicato con e e detto numero di Nepero, definito da ( e := lim 1+ 1 n ( = sup 1+ n + n) 1 n. n N n) n 0 Un approssimazione del numero di Nepero è: e Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 63 / 74

145 La funzione logaritmo Poiché per a (0,+ ), a 1 la funzione esponenziale f a : R (0,+ ) data da f a (x) = a x è bigettiva, è possibile definire la sua funzione inversa. Tale funzione f a 1 : (0,+ ) R si chiama logaritmo in base a, si denota con log a ed è definita da x = log a y a x = y. Naturalmente, come per ogni coppia di funzioni l una l inversa dell altra, valgono le proprietà: a log a y = y y > 0; log a (a x ) = x x R. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 64 / 74

146 La funzione logaritmo Come per ogni funzione inversa, il grafico di log a x si ottiene per riflessione rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante del grafico di a x. Naturalmente dobbiamo distinguere i due casi 0 < a < 1 o a > 1. I grafici nei due casi sono i seguenti: a a 1-3 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 65 / 74

147 La funzione logaritmo Se 0 < a < 1 il logaritmo è strettamente decrescente, se a > 1 è strettamente crescente. Se la base è il numero e la funzione si chiama logaritmo naturale e in questo caso si omette la base (a volte si indica con ln x). Se la base è il numero 10 la funzione si indica con Log x. Esempi di calcolo di logaritmi: 1 log 2 32 = 5 infatti 2 5 = 32, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 66 / 74

148 La funzione logaritmo Se 0 < a < 1 il logaritmo è strettamente decrescente, se a > 1 è strettamente crescente. Se la base è il numero e la funzione si chiama logaritmo naturale e in questo caso si omette la base (a volte si indica con ln x). Se la base è il numero 10 la funzione si indica con Log x. Esempi di calcolo di logaritmi: 1 log 2 32 = 5 infatti 2 5 = 32, ) 2 log 7( 1 3 = y deve essere 7 ( 7 ) y = cioè 7 y/2 = 7 1/3 e quindi y = 2 3, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 66 / 74

149 La funzione logaritmo Se 0 < a < 1 il logaritmo è strettamente decrescente, se a > 1 è strettamente crescente. Se la base è il numero e la funzione si chiama logaritmo naturale e in questo caso si omette la base (a volte si indica con ln x). Se la base è il numero 10 la funzione si indica con Log x. Esempi di calcolo di logaritmi: 1 log 2 32 = 5 infatti 2 5 = 32, ) 2 log 7( 1 3 = y deve essere 7 ( 7 ) y = cioè 7 y/2 = 7 1/3 e quindi y = 2 3, 3 log 1/2 16 = 4 infatti ( 1 2 ) 4 = 2 4 = 16. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 66 / 74

150 Proprietà dei logaritmi Siano a, b, x, y numeri reali positivi con a,b 1, e sia z R. Allora: Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 67 / 74

151 Proprietà dei logaritmi Siano a, b, x, y numeri reali positivi con a,b 1, e sia z R. Allora: 1 log a 1 = 0 log a a = 1, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 67 / 74

152 Proprietà dei logaritmi Siano a, b, x, y numeri reali positivi con a,b 1, e sia z R. Allora: 1 log a 1 = 0 log a a = 1, 2 log a (x y) = log a x + log a y, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 67 / 74

153 Proprietà dei logaritmi Siano a, b, x, y numeri reali positivi con a,b 1, e sia z R. Allora: 1 log a 1 = 0 log a a = 1, 2 log a (x y) = log a x + log a y, ( ) 3 log x a y = log a x log a y, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 67 / 74

154 Proprietà dei logaritmi Siano a, b, x, y numeri reali positivi con a,b 1, e sia z R. Allora: 1 log a 1 = 0 log a a = 1, 2 log a (x y) = log a x + log a y, ( ) 3 log x a y = log a x log a y, 4 log a x z = z log a x, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 67 / 74

155 Proprietà dei logaritmi Siano a, b, x, y numeri reali positivi con a,b 1, e sia z R. Allora: 1 log a 1 = 0 log a a = 1, 2 log a (x y) = log a x + log a y, ( ) 3 log x a y = log a x log a y, 4 log a x z = z log a x, 5 log b x = log a x log a b, Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 67 / 74

156 Proprietà dei logaritmi Siano a, b, x, y numeri reali positivi con a,b 1, e sia z R. Allora: 1 log a 1 = 0 log a a = 1, 2 log a (x y) = log a x + log a y, ( ) 3 log x a y = log a x log a y, 4 log a x z = z log a x, 5 log b x = log a x log a b, 6 log b x = log x x log x b = 1 log x b (x 1), Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 67 / 74

157 Proprietà dei logaritmi Siano a, b, x, y numeri reali positivi con a,b 1, e sia z R. Allora: 1 log a 1 = 0 log a a = 1, 2 log a (x y) = log a x + log a y, ( ) 3 log x a y = log a x log a y, 4 log a x z = z log a x, 5 log b x = log a x log a b, 6 log b x = log x x log x b = 1 log x b (x 1), 7 log 1/a x = log a x log a 1 a = log a x. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 67 / 74

158 Equazioni e disequazioni esponenziali 1 L equazione fondamentale a x = k con a > 0, a 1, k > 0 ha l unica soluzione x = log a k. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 68 / 74

159 Equazioni e disequazioni esponenziali 1 L equazione fondamentale a x = k con a > 0, a 1, k > 0 ha l unica soluzione x = log a k. 2 Le equazioni della forma si trasformano in a f(x) = b g(x) a f(x) = a log a(b g(x) ) = a g(x) log a b = f(x) = g(x) log a b. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 68 / 74

160 Equazioni e disequazioni esponenziali 1 L equazione fondamentale a x = k con a > 0, a 1, k > 0 ha l unica soluzione x = log a k. 2 Le equazioni della forma si trasformano in a f(x) = b g(x) a f(x) = a log a(b g(x) ) = a g(x) log a b = f(x) = g(x) log a b. 3 Le equazioni della forma f (a x ) = 0 si risolvono con la sostituzione a x = t. Se l equazione f(t) = 0 ha le soluzioni t 1,...,t n, allora le soluzioni dell equazione di partenza si ottengono risolvendo le equazioni fondamentali a x = t 1,..., a x = t n. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 68 / 74

161 Esempi Risolviamo l equazione: 4 x + 2 x+2 5 = 0. Posto 2 x = t, essendo ( 4 x = 2 2) x = (2 x ) 2 e 2 x+2 = 4 2 x, otteniamo t 2 + 4t 5 = 0 le cui radici sono t 1 = 1 e t 2 = 5. L equazione 2 x = 1 fornisce la soluzione x 1 = 0, mentre 2 x = 5 non ha soluzioni. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 69 / 74

162 Esempi Risolviamo l equazione: 4 x + 2 x+2 5 = 0. Posto 2 x = t, essendo ( 4 x = 2 2) x = (2 x ) 2 e 2 x+2 = 4 2 x, otteniamo t 2 + 4t 5 = 0 le cui radici sono t 1 = 1 e t 2 = 5. L equazione 2 x = 1 fornisce la soluzione x 1 = 0, mentre 2 x = 5 non ha soluzioni. Risolviamo l equazione: 3 x x 1 = 5 x. Otteniamo ( ) 3 x = 5 x ( 5 3 ) x = 28 3 ( e dunque x = log 28 ) 5/3 3. Passando ai logaritmi naturali troviamo x = log( ) 28 3 log ( log 28 log 3 ) = 5 log 5 log 3. 3 Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 69 / 74

163 Esempi Risolviamo la disequazione: 4 x 2 x Posto 2 x = t, dobbiamo risolvere t 2 4t + 2 0, le cui soluzioni sono Allora dobbiamo risolvere t (, 2 2] [2+ 2,+ ). 2 x x 2+ 2, cioè, componendo con il log 2, otteniamo: S = (, log 2 (2 2)] [log 2 (2+ 2),+ ). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 70 / 74

164 Equazioni e disequazioni logaritmiche 1 L equazione fondamentale log a x = k con a > 0, a 1, x > 0 ha l unica soluzione x = a k. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 71 / 74

165 Equazioni e disequazioni logaritmiche 1 L equazione fondamentale log a x = k con a > 0, a 1, x > 0 ha l unica soluzione x = a k. 2 L equazione log x a = k con a, x > 0, a, x 1, si trasforma in 1 log a x = k e dunque log a x = 1 k x = a 1 k. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 71 / 74

166 Equazioni e disequazioni logaritmiche 1 L equazione fondamentale log a x = k con a > 0, a 1, x > 0 ha l unica soluzione x = a k. 2 L equazione log x a = k con a, x > 0, a, x 1, si trasforma in 1 log a x = k e dunque log a x = 1 k x = a 1 k. 3 Per risolvere le equazioni della forma log a f(x) = k dobbiamo richiedere f(x) > 0 e poi passare a risolvere l equazione f(x) = a k. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 71 / 74

167 Equazioni e disequazioni logaritmiche 1 L equazione fondamentale log a x = k con a > 0, a 1, x > 0 ha l unica soluzione x = a k. 2 L equazione log x a = k con a, x > 0, a, x 1, si trasforma in 1 log a x = k e dunque log a x = 1 k x = a 1 k. 3 Per risolvere le equazioni della forma log a f(x) = k dobbiamo richiedere f(x) > 0 e poi passare a risolvere l equazione f(x) = a k. 4 Le equazioni della forma f (log a x) = 0 si risolvono con la sostituzione log a x = t. Se l equazione f(t) = 0 ha le soluzioni t 1,...,t n, allora le soluzioni dell equazione di partenza sono x 1 = a t 1,..., x n = a tn. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 71 / 74

168 Esempi Risolviamo l equazione: log 2 3x 8 = 4. Dobbiamo imporre la condizione 3x 8 > 0, cioè x > 8 3. Dopo, considerando l esponenziale in base 2 di ambo i membri, troviamo 3x 8 = 16, 3x 8 = 256, e dunque x = = 88. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 72 / 74

169 Esempi Risolviamo l equazione: log 2 3x 8 = 4. Dobbiamo imporre la condizione 3x 8 > 0, cioè x > 8 3. Dopo, considerando l esponenziale in base 2 di ambo i membri, troviamo 3x 8 = 16, 3x 8 = 256, e dunque x = = 88. Risolviamo la disequazione: log 2 (x 2 4) > log 2 (4x + 1). Dobbiamo imporre le condizioni x 2 4 > 0 log 2 (x 2 4) 0 4x + 1 > 0 log 2 (4x + 1) 0 cioè { x x Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 72 / 74

170 Esempi da cui dobbiamo richiedere che x appartenga a ((, ] [ )) [ ) 5 5,+ [0,+ ) = 5,+. A questo punto possiamo elevale al quadrato e prendere l esponenziale in base 2 di ambo i membri, ottenendo x 2 4 > 4x + 1 x 2 4x 5 > 0 Le radici sono x 1 = 1 e x 2 = 5 e allora concludiamo [ ) S = ((, 1) (5,+ )) 5,+ = (5,+ ). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 73 / 74

171 Esempi Risolvere le disuguaglianze 1 < log 7 (1+x) 0. Deve essere x > 1 ed allora prendendo l esponenziale in base 7 otteniamo 7 1 < 1+x 1 S = ( 67 ], 0. Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 74 / 74

172 Esempi Risolvere le disuguaglianze 1 < log 7 (1+x) 0. Deve essere x > 1 ed allora prendendo l esponenziale in base 7 otteniamo 7 1 < 1+x 1 S = ( 67 ], 0. Determinare il dominio della funzione log x+1 x 1. Deve essere x + 1 x 1 > 0 x (, 1) (1,+ ). Antonio Leaci (Universitá del Salento) Precorso di Analisi Matematica A.A. 2011/12 74 / 74