Equazioni di secondo grado Prof. Walter Pugliese

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1 Equazioni di secondo grado Prof. Walter Pugliese

2 La forma normale di un equazione di secondo grado Un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza già studiati per le equazioni di primo grado, si può scrivere nella forma : ax + bx + c = 0 con a 0 La forma ax + bx + c = 0 è detta forma normale, dove x è l incognita, le lettere a, b e c rappresentano numeri reali e si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell equazione. Il coefficiente c è detto anche termine noto. Esempio: L equazione 5x x 1 = 0 è di secondo grado in forma normale, e i tre coefficienti sono: a = 5; b = ; c = 1 (termine noto). Se, oltre ad a o, si hanno anche b o e c o, l equazione si dice completa. Per esempio l equazione x 5x + 6 è completa. Se invece almeno uno dei due coefficienti (b o c) è nullo, l equazione è incompleta. Per esempio 3x 5x = 0 e x 5 = 0 sono incomplete.

3 Le soluzioni di un equazione di secondo grado Una soluzione (o radice) dell equazione è un valore che, sostituito all incognita, rende vera l uguaglianza fra i due membri: Esempio: L equazione x 5x + 6 = 0 ha per soluzioni i numeri e 3. Infatti, sostituendo a x il numero, si ottiene E sostituendo il numero = = 0 Risolvere un equazione di secondo grado significa cercarne le soluzioni nell insieme R dei numeri reali. Come vedremo, le soluzioni di un equazione di secondo grado possono essere al massimo due.

4 La formula risolutiva di un equazione di secondo grado completa Chiamiamo discriminante, che indichiamo con la lettera greca (delta), l espressione: Teorema = b 4ac L equazione ax + bx + c = 0, con a 0, Se b 4ac > 0, ha due soluzioni reali e distinte: Se b 4ac = 0, ha due soluzioni reali e coincidenti: Se b 4ac < 0, non ha soluzioni reali. x = b± b 4ac a x = b a

5 Esempi di equazioni di secondo grado complete Esempio 1: Calcoliamo le radici dell equazione 4x 7x = 0. = b 4ac = = = 81; poiché risulta > 0 l equazione avrà due soluzioni reali e distinte: x 1, = b ± b 4ac ( 7) ± 81 = = 7 ± = 8 = a = Le radici dell equazione sono x 1 = e x = 1 4. Esempio :Calcoliamo le radici dell equazione 4x 1x + 9 = 0. = b 4ac = = = 0; poiché risulta = 0 l equazione avrà due soluzioni reali e coincidenti: x 1, = b = ( 1) a 4 = 1 8 = 3 Esempio 3:Calcoliamo le radici dell equazione x 5x + 9 = 0. = b 4ac = = 5 7 = 47; poiché risulta < 0 l equazione non ha soluzioni i n R.

6 Esempi di equazioni di secondo grado complete Esempio 4: Calcoliamo le radici dell equazione x + 3 x + 3 = 0. = b 4ac = = = = = 3 x 1 = x = x = b ± a + 3 ± 3 1 x = + 3 ± 3 = 4 = x = = 3 = 3

7 Le equazioni di secondo grado incomplete Data l equazione ax + bx + c = 0, se almeno uno dei coefficienti b 0 c è nullo, l equazione è incompleta. Se b = 0 e c 0, l equazione ax + c = 0 è pura. Se b 0 e c = 0, l equazione ax + bx = 0 è spuria. Se b = 0 e c = 0, l equazione ax = 0 è monomia.

8 Le equazioni pure In generale, un equazione di secondo grado pura, del tipo ax + c = 0, con a e c numeri reali discordi, ha due soluzioni reali opposte: x 1 = + c a ; x = c a Se a e c sono concordi, l equazione non ha soluzioni reali. Esempio: risolviamo l equazione 16x 9 = 0 Invece di applicare la formula generale, isoliamo il termine con l incognita, portando al secondo membro il termine noto: 16x 9 = 0 16x = 9 x = 9 16 x = ± 9 16 = ± 3 4 l equazione ha due soluzioni: x 1 = e x = 3 4 Esempio: risolviamo l equazione 3x + 7 = 0 3x + 7 = 0 3x = 7 x = 9 Poiché nessun numero reale ha quadrato negativo, l equazione non ha soluzioni reali.

9 Le equazioni pure Esercizio: Risolvi la seguente equazione senza sviluppare il quadrato di binomio 1 4 x + 4 = 4. Pongo y = x + 4, l equazione data diventa dunque: 1 4 y = 4 Si tratta di un equazione pura che risolviamo1 rispetto all incognita y: y = 4 4 y = 16 y = ± 16 y = ±4 Poiché avevamo posto y = x + 4, la nostra equazione diventa: x + 4 = ±4 x = 4 ± 4 x = 4 ± 4 = 0-4

10 Le equazioni spurie In generale, un equazione di secondo grado spuria, del tipo ax + bx = 0, ha sempre due soluzioni reali di cui una è nulla: x 1 = 0; x = b a Esempio: risolviamo l equazione 6x 5x = 0 Raccogliamo x a fattor comune: x(6x 5) = 0 Per la legge di annullamento del prodotto: x = 0 oppure 6x 5 = 0 x = 5 6 l equazione ha due soluzioni: x 1 = 0 e x = 5 6

11 L equazione monomia In generale, un equazione di secondo grado monomia, del tipo ax = 0, ha sempre due soluzioni reali coincidenti: x 1 = x = 0 Esempio: risolviamo l equazione 6x = 0 6x = 0 x = 0 6 x = 0 x 1 = x = 0 l equazione ha due soluzioni: x 1 = x = 0.

12 La scomposizione di un trinomio di secondo grado Esempi: Esaminiamo la scomposizione dei trinomi 5x 5x 30 4x 1x + 9 x + 3x + 4

13 La somma e il prodotto delle radici e l equazione in forma normale In un equazione di secondo grado ridotta in forma normale, in cui il primo coefficiente sia 1, il secondo coefficiente è la somma s delle radici cambiata di segno e il termine noto è il prodotto p delle radici. Esempio 1 x sx + p = 0, ovvero x x 1 + x x + x 1 x Scrivi l equazione di secondo grado in forma normale che ha come radici x 1 = e x = 1 3. s = x 1 + x = = 5 3 p = x 1 x = 1 3 = 3 l equazione di secondo grado in forma normale sarà: x sx + p = 0 x 5 3 x + 3 = 0 x + 5 x = 0 moltiplico ambo i membri per x + 5x = 0

14 La somma e il prodotto delle radici e l equazione in forma normale Esempio Determiniamo due numeri che hanno come somma s = 6 e come prodotto p = 16. Scriviamo l equazione x sx + p = 0 x 6 x + 16 = 0 I numeri richiesti coincidono con le radici dell equazione appena scritta, quindi: x 1, = b ± b 4ac 6 ± 7 64 = a = 4 = 3 ± = 3 = = 6 ± 8 = 6 ± = (3 ± )

15 La somma e il prodotto delle radici e l equazione in forma normale Esempio 3 Data l equazione x + 3x 0 = 0, calcoliamo una radice sapendo che l altra vale 4, senza utilizzare la formula risolutiva. Dividiamo ambo i membri dell equazione per : x + 3 x 10 = 0 Determiniamo il prodotto delle radici p = 10 Se x 1 x = 10 e x 1 = 4 allora x 1 x = 10 4x = 10 x = 10 4 = 5 possiamo arrivare allo stesso risultato applicando la regola della somma invece di quella del prodotto.

16 La scomposizione di un trinomio di secondo grado E dato un trinomio di secondo grado ax + bx + c. Se > 0 l equazione associata ax + bx + c = 0 ha due soluzioni x 1 e x ; il trinomio può essere scomposto in fattori mediante la relazione: x 1 e x sono detti zeri del trinomio. ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) Se = 0, il trinomio ha solo uno zero, perché x 1 = x ; quindi la scomposizione è la seguente: ax + bx + c = a(x x 1 )(x x 1 ) = a x x 1 Se < 0, il trinomio non ha zeri reali e non si può scomporre in fattori reali, cioè è irriducibile.

17 Equazioni di secondo grado fratte Si procede in assoluta analogia con quanto visto per le equazioni fratte di primo grado. Esempio: 1 x 5x + 4 x + 4 x + 1 = x 1 x 1 x 4 x 1 + x + x = x 1 x 1 C. E. : x 1 x 4 + x + x 1 + (x 4)(x 1) (x 4)(x 1) = (x 1)(x 4) (x 4)(x 1) + x x + x + x x 4x + 4 = x 8x x x x + 4x 4 + x x 4x + 4 x + 8x + x 4 = 0 x + 6x = 0 x = 6± 36+8 = 6± 11 = 6± 11 = 3± 11 = 3 ± 11

18 Equazioni di secondo grado e problemi Problema: Dato un numero naturale, moltiplicando il suo successivo per il triplo del numero aumentato di, si ottiene Qual è il numero? Chiamiamo x il numero naturale che stiamo cercando Il suo successivo è x + 1 Il suo triplo è 3x Il triplo del numero aumentato di è 3x + L equazione pertanto è: x + 1 3x + = x + x + 3x = 0 3x + 5x 106 = 0 x 1 = 59 x 3 = 18 Poiché il numero che stiamo cercando dev essere un numero naturale, possiamo certamente dire che x = 18