francesca fattori speranza - versione febbraio 2018 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E SUPERIORE INTERE E FRATTE a) Intere

Transcript

1 francesca fattori speranza - versione febbraio 018 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E SUPERIORE INTERE E FRATTE a) Intere a x + bx + c = 0, a, b, c sono numeri reali a 0 a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 con n = 1,,3,... e a n, a n 1,..., a 0 coefficienti del polinomio. Se il coefficiente della x di grado massimo è negativo ( a < 0 o a n < 0), moltiplico ambo i membri per 1 (ricordando di cambiare il verso della disequazione). Si scompone il polinomio in fattori primi (con il metodo più opportuno): ad esempio per il polinomio di secondo grado: l equazione diventa a(x x 1 )(x x ) = 0 dove a > 0 (abbiamo provveduto a cambiare segno). Dividiamo ambo i membri per i numeri che moltiplicano tutto il primo membro: (x x 1 )(x x ) = 0 l equazione è il prodotto di due termini ab che ha come risultato zero: ab = 0 a = 0 b = 0 (regola dell annullamento del prodotto) nell esempio i due termini che si moltiplicano sono (x x 1 ) e (x x ). x x 1 = 0 x x = 0 ovvero x = x 1 x = x Vediamo meglio con un paio di esempi.

2 Es1) x 5x + 3 = 0 Si scompone il polinomio in fattori primi col metodo più opportuno. Essendo un trinomio qualsiasi, uso la regola risolutiva della equazione associata: con x 1, = b ± x 1, = 5 ± 5 3 = 5 ± 5 = 5 ± 1 = 5 ± 1 = x 1 = x = 5 1 = 3 = 1 allora x 5x + 3 = (x 3 )(x 1) e l equazione diventa (x 3 )(x 1) = 0 si possono dividere ambo i membri della equazione per (x 3 )(x 1) = 0 I due termini che si moltiplicano sono (x 3 ) e (x 1). x 3 = 0 x = 3 x 1 = 0 x = 1 Osserviamo che le soluzioni erano già note con la formula risolutiva x 1, = b ±. Allora perché svolgere il passaggio aggiuntivo della scomposizione in fattori primi? Perché scomporre in fattori primi è un passaggio che mi serve per le equazioni di grado superiore al secondo e per le disequazioni di grado superiore al primo e frazionarie. Quindi, voglio che ci si abitui ad usare la scomposizione con ogni metodo.

3 Es) 3x + 6x = 0 Si cambia di segno: 3x 6x = 0 Si scompone il polinomio in fattori primi col metodo più opportuno. Qui si può raccogliere in fattori primi: 3x 6x = 3x(x ) La disequazione diventa 3x(x ) = 0 si possono dividere ambo i membri della disequazione per 3 x(x ) < 0 I due termini che si moltiplicano sono x e (x ). x = 0 x = 0 x = Es3) x 3 5x + x + 6 = 0 Si cambia di segno: x 3 + 5x x 6 = 0 Si scompone il polinomio in fattori primi col metodo più opportuno. Qui si deve usare il metodo di Ruffini: P(x) = x 3 + 5x x 6 Regola del resto: D(6) = {±1, ±, ± 3, ± 6} P(1) = (1) 3 + 5(1) (1) 6 = 0 x 0 = 1 Ruffini P(x) = (x 1)(x + 7x + 6) La trinomio di secondo grado è probabilmente ancora scomponibile: provo con la scomposizione del trinomio qualsiasi.

4 x 1, = 7 ± 9 6 = 7 ± 9 8 = 7 ± 1 = 7 ± 1 = x 1 = x = 7 1 = 6 = 3 = 8 = P(x) = (x 1)(x + 7x + 6) = (x 1)(x + 3 )(x + ) L equazione diventa (x 1)(x + 3 )(x + ) = 0 si possono dividere ambo i membri della disequazione per (x 1)(x + 3 )(x + ) 0 I 3 termini che si moltiplicano sono (x 1), (x + 3 ) e (x + ). x 1 = 0 x = 1 x + 3 = 0 x = 3 x + = x =

5 b) Fratte N(x) D(x) = 0 dove N(x) e D(x) sono il numeratore e il denominatore della frazione e sono due polinomi di qualsiasi grado nella variabile x. Se il coefficiente della x di grado massimo del numeratore o del denominatore sono negativi moltiplico ambo i membri per 1 (ricordando di cambiare il verso della disequazione). Si scompongono separatamente il numeratore e il denominatore in fattori primi col metodo più opportuno: la disequazione diventa tipo a(x n 1 )... (x n l ) b(x d 1 )... (x d k ) = 0 dove a > 0,b > 0 (abbiamo provveduto a cambiare segno). Dividiamo ambo i membri per i numeri positivi che moltiplicano tutto il primo membro: (x n 1 )... (x n l ) (x d 1 )... (x d k ) = 0 Una frazione non esiste se il denominatore è uguale a zero: N NON ESISTE 0 Quindi, bisogna porre il denominatore diverso da zero. Si dice che si cercano le condizioni di esistenza (C.E.) della frazione: (x d 1 )... (x d k ) 0 x d 1,..., x d k I valore che annullano il denominatori devono essere scartati. Dopo aver fatto il C.E. si può togliere il denominatore (ovvero si moltiplicano ambi i membri per il denominatore, che è sicuramente un numero diverso da zero - secondo principio di equivalenza). A questo punto si provvede alla risoluzione della equazione (numeratore = 0) Se l equazione avrà una o più soluzioni coincidenti a uno o più valori che annullano il denominatore, queste verranno scartate. Aiutiamoci sempre con un esempio.

6 x + x Es) 9x + 1 = 0 Si cambia di segno al denominatore: x + x (9x 1) = 0 x + x 9x 1 = 0 Si scompongono il numeratore e il denominatore con i metodi più opportuni. N: si può raccogliere in fattori primi: x + x = x(x + ) D: differenza di due quadrati 9x 1 = (3x + 1)(3x 1) la disequazione diventa x(x + ) (3x + 1)(3x 1) = 0 C.E. (3x + 1)(3x 1) 0 3x x 1 3 3x 1 0 x 1 3 Quindi (3x + 1)(3x 1) x(x + ) (3x + 1)(3x 1) = 0 (3x + 1)(3x 1) questo passaggio potrà essere saltato ovvero x(x + ) = 0 per la regola dell annullamento del prodotto x = 0 x + = 0 x =

7 Alcuni esempi particolari Es5) x + 5x + = 0 Scomponiamo in fattori primi: qui usiamo la regola di risoluzione dell equazione associata con x 1, = b ± x 1, = 5 ± 5 = 5 ± 5 3 = 5 ± 3 cioè non ha soluzione, allora il polinomio non è scomponibile. = impossibile Es6) x + x + = 0 Scomponiamo in fattori primi: qui usiamo il quadrato del binomio (e dopo anche la regola di risoluzione dell equazione, per chi non riconosce il quadrato e sottolineare che DEVE venire lo stesso risultato): x + x + = (x + ) = (x + )(x + ) con x 1, = b ± due soluzione coincidenti. In entrambi i casi la disequazione diventa: Attenzione un equazione di secondo grado non ha mai una sola soluzione Un equazione di secondo grado ammette soluzioni diverse, due soluzioni uguali o nessuna soluzioni. x 1, = ± 16 1 (x + ) = 0 x + = 0 x = x + = 0 x = = ± = ± 0 = =

8 Es7) x 9 = 0 Scomponiamo in fattori primi: qui usiamo differenza di due quadrati (e dopo anche la regola di risoluzione dell equazione, per chi non riconosce il quadrato e sottolineare che DEVE venire lo stesso risultato): x 9 = (x + 3)(x 3) con x 1, = b ± x 1, = 0 ± 0 1 ( 9) = ± 36 = ± 6 = ± 3 due soluzione coincidenti. In entrambi i casi la disequazione diventa: (x + 3)(x 3) = 0 x + 3 = 0 x = 3 x 3 = 0 x = 3

9 Errori comuni Es8) x + x + = 0 si risolve con con x 1, = b ± e si da come risposta una sola soluzione. Si veda l Es6 per la soluzione corretta. Attenzione un equazione di secondo grado non ha mai una sola soluzione Un equazione di secondo grado ammette soluzioni diverse, due soluzioni uguali o nessuna soluzioni. x 1, = ± 16 1 = ± = ± 0 = = Es9) x 9 = 0 si risolve con la scorciatoia (metodo che io proibisco di usare) x 9 = 0 x = 9 x = ± 3 prendendo la radice di ambo i membri purtroppo però spesso, troppo spesso, si scrive x 9 = 0 x = 9 x = 3 perdendo di fatto una soluzione. si veda l Es7 per la soluzione corretta.