Equazioni di secondo grado

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1 Equazioni di secondo grado Un equazione di secondo grado può sempre essere ridotta nella forma: a + bx + c 0 forma normale con a 0. Le lettere a, b, c sono rappresentano i coefficienti. Solo b e c possono essere nulli. Vediamo alcuni esempi ed impariamo ad individuare il valore dei coefficienti x a 3 b 4 c x +1 0 a 2 b 1 c x a 7 b 2 c 3 4 4x 2 0 a 1 b 4 c 2 5 3x a 6 b 3 c x 0 a 1 b 4 c a 6 b 0 c a 8 b 0 c 0 NB: Adesso prova tu! 2) Non si usa scrivere 1x ma semplicemente x; il coefficiente dunque è 1 3) Il segno fa parte del coefficiente quindi b 2 5) Attenzione l equazione non è ordinata! Il coefficiente a è quello del termine di secondo grado che si trova in seconda posizione e vale quindi 6 6) Manca il coefficiente c; quindi il suo valore è nullo cioè c 0 7) Manca il termine di primo grado e questo significa che b 0 8) Entrambi i coefficienti b e c sono nulli + 5x a b c a b c x a b c 4 0 a b c 4 0 a b c 2 + x 0 a b c Scrivi due equazioni di secondo grado che abbiano le seguenti caratteristiche: il coefficiente b nullo il coefficiente c nullo il coefficiente a negativo

2 Equazioni di secondo grado incomplete Un equazione di secondo grado si dice incompleta se almeno uno dei coefficiente b o c è nullo. Si possono dunque verificare tre casi che riassumiamo nella seguente tabella. Coefficienti nulli Forma Nome c 0 a + bx 0 SPURIA b 0 a + c 0 PURA b 0 e c 0 a 0 MONOMIA Vediamo alcuni esempi Equazione Nome Valore dei coefficienti 3 +x0 Spuria a3 b1 c0 +20 Pura a1 b0 c Pura a 1 b0 c Monomia a 15 b0 c0 x 5 0 Spuria a 5 b1 c0 Adesso prova tu! Equazione Nome Valore dei coefficienti +2x0 a b c 3 0 a b c a b c 1+ 0 a b c x0 a b c Scrivi delle equazioni con le seguenti caratteristiche: Spuria con coefficienti concordi in segno 1 Pura con coefficienti concordi in segno Pura con coefficienti concordi in segno Monomia con coefficiente uguale a 1 1 coefficienti concordi in segno significa entrambi positivi o entrambi negativi

3 Risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete Cominciamo col ricordare che risolvere un equazione significa trovare quei valori (se ci sono) che sostituiti all incognita verificano l uguaglianza ottenuta. SPURIA Si presenta nella forma: a + bx 0. E sempre possibile svolgere i seguenti passaggi: 1) x ( ax + b) 0 raccoglimento a fattore comune di x Utilizzando la legge di annullamento del prodotto 2, otteniamo due soluzioni di cui una è sempre zero 0 x ( ax + b) 0 ax + b 0 ax b b a seconda soluzione: si ottiene annullando il binomio ottenuto nel raccoglimento Esempio: 3 12x 0 x ( 3x 12) 0 raccolgo x 0 3x x 12 3x annullo il binomio e risolvo l equazione di primo grado semplifico seconda soluzione Possiamo anche verificare le soluzioni trovate: Verifico per x 0 3 ( 0) 2 12 ( 0) verificata Verifico per x 4 3 ( 4) 2 12 ( 4) verificata 2 Legge di annullamento del prodotto: un prodotto è nullo se è nullo almeno uno dei fattori.

4 Adesso prova tu! 5 +10x 0 x ( ) 0 3x 0 x ( ) 0 5x + 0 5x 3 x 0 x seconda soluzione seconda soluzione x 0 3 4x 0 N.B. Un equazione di secondo grado SPURIA ammette sempre due soluzioni di cui una nulla. Individua le soluzioni corrette (conviene fare mentalmente la verifica) x 0 x 0 x 1 x 1 x x 0 x 1 2 x 0 x 2 x 1 2 3x 0 x 3 x x 2 x 1 2 x 0 x 3 x 0 x 2

5 PURA Si presenta nella forma: a + c 0 Si possono svolgere sempre i seguenti passaggi: a c trasporto dall altra parte del segno di uguale il coefficiente c a a c divido ambo i membri per a a c a se la quantità a destra del segno di uguale è positiva, cioè se a e c sono discordi in segno, avremo due soluzioni opposte,2 ± c a Viceversa, cioè se a e c sono concordi, l equazione non ha soluzione e si dice impossibile. Esempio ,2 ± 4,2 ±2 equazione pura avente coefficienti a 2 e c 8 quindi discordi trasporto c dall altra parte del segno di uguale divido per 2 e semplifico qual è il numero 3 che elevato alla seconda ritorna 4? Si tratta di 2 ma anche di - 2 Esempio equazione pura avente coefficienti a 3 e c 27 quindi concordi trasporto c dall altra parte del segno di uguale divido per 3 e semplifico l equazione non ha soluzioni in quanto nessun numero elevato al quadrato dà come risultato un numero negativo N.B. Un equazione pura ammette due soluzioni opposte se i coefficienti sono discordi; viceversa non ha soluzioni e si dice impossibile. 3 ( 2) 2 4 ma anche ( 2) 2 4

6 Adesso prova tu! osserva il segno dei coeff osserva il segno dei coeff. 5 10,2 ± attenzione! Individua le soluzioni corrette (conviene fare mentalmente la verifica) x 0 x 1 x 1 x x 0 x 1 x 0 x 1 x x 2 x x 4 x 1 2 x 2 x 4 x 0 x 4

7 MONOMIA Si presenta nella forma: a 0 e per la legge di annullamento del prodotto può avere come unica soluzione x 0 Esempi 3 0 sol.: x sol.: x sol.: x 0 QUADRO RIASSUNTIVO DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INCOMPLETE Coefficienti Forma Nome Soluzioni c 0 a + bx 0 Spuria Ha sempre due soluzioni di cui una è nulla b 0 a + c 0 Pura Ha due soluzioni opposte se i coefficienti sono discordi Non ha soluzioni se i coefficienti sono concordi b 0 e c 0 a 0 Monomia Sempre soluzione nulla