Equazioni lineari con due o più incognite

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1 Equazioni lineari con due o più incognite Siano date le uguaglianze: k 0; x + y = 6; 3a + b c = 8. La prima ha un termine incognito rappresentato dal simbolo letterale k; la seconda ha due termini incogniti rappresentati dai simboli letterali x e y; la terza ha tre termini incogniti indicati con i simboli letterali a, b, c. Generalmente i termini incogniti di una espressione sono indicati con le ultime lettere dell alfabeto: x, y, z, La prima uguaglianza risulta vera assegnando al simbolo k soltanto il valore 5. Si dice: l uguaglianza k 0 risulta: vera per k = 5, falsa per k 5. La seconda uguaglianza, invece, risulta vera per diverse coppie di valori come, ad esempio: x e y = 5; x = e y = ; x = 3 e y = 3; e così via. La terza uguaglianza risulta vera per diverse terne di valori come, ad esempio: a, b = 0, c = 5; a =, b =, c = 6; e così via. Le uguaglianze considerate rappresentano equazioni algebriche di primo grado con una, due e tre incognite rispettivamente. Un equazione di primo grado con una incognita può essere: determinata, indeterminata o impossibile. E determinata se è verificata da un singolo valore; indeterminata se è verificata da infiniti valori; impossibile se non è verificata da alcun valore. Quindi, un equazione di primo grado con una incognita può essere verificata da un singolo valore (equazione determinata), da infiniti valori (equazione indeterminata), da nessun valore (equazione impossibile). La seconda equazione è indeterminata perché verificata da infinite coppie di valori. Così pure la terza equazione è indeterminata perché verificata da infinite terne di valori. ESEMPI 1. Determinare tre coppie di valori che verificano l equazione: 3x + 8y = 30 Poiché il numero delle incognite (due) supera il numero delle equazioni (una), per determinare una coppia di valori che verifica l equazione basta attribuire a una delle incognite un valore arbitrario Ad esempio, scelto x =, l equazione assume la forma: 6 + 8y = 30 Risolvendo, si ha: y = 3. Equazioni di primo grado con due o più incognite 1

2 Una delle coppie che verifica l equazione è la seguente: x =, y = 3. Come si vede, scegliendo arbitrariamente un valore per una delle incognite, l equazione diviene di primo grado con una incognita. Per trovare le altre due coppie, si procede in modo analogo: y = 0, 3x + 0 = 30, x 0. x 0, y = x = 5, y = 30, y =. x = 5, y = Determinare una terna di valori che verificano l equazione: x + 8y z 0. Poiché si ha un equazione con tre incognite, si può determinare una soluzione dell equazione scegliendo arbitrariamente una coppia di valori. 1 y = 3, z ; x + 0, x =. La seguente terna di valori rappresenta una delle soluzioni dell equazione data: 3. 1 x =, y = 3, z. Date le due equazioni: x + y 9 e 3x y = 8, determinare una coppia di numeri che verifichi simultaneamente le due equazioni. Per quanto visto prima, ciascuna delle due equazioni è verificata da infinite coppie di numeri reali. Si pone il problema ora di stabilire se fra le infinite coppie di numeri reali che verificano la prima equazione esista almeno qualcuna che verifichi anche la seconda. Quando due equazioni vengono considerate insieme, allo scopo di trovare le loro eventuali soluzioni comuni, si dice che esse costituiscono un sistema di equazioni. Per indicare che le due equazioni formano un sistema, si usa scriverle nel modo seguente: x+ y 9 3x y = 8 Dunque, con la denominazione sistema si vuole esprimere il concetto di simultaneità delle due equazioni, cioè il fatto che le due equazioni debbano essere considerate insieme e non separatamente, allo scopo di esaminare se le condizioni che esse esprimono sono compatibili oppure sono contraddittorie. Nel primo caso si tratta di trovare i valori delle incognite che soddisfanno entrambe le condizioni date. Una eventuale soluzione comune alle due equazioni rappresenta una soluzione del sistema. Risolvere un sistema significa trovarne le soluzioni, qualora esse esistano. Il sistema dato ha per soluzione la coppia di numeri: x = 5 e y =. Poiché ogni equazione a due incognite rappresenta un insieme di coppie di numeri reali, la soluzione del sistema delle due equazioni consiste nel determinare l'intersezione tra i due insiemi di coppie. Se l'intersezione è l'insieme vuoto, il sistema è impossibile; se l'intersezione coincide con uno dei due insiemi, il sistema è indeterminato. Ad esempio, il sistema: x+ y 0 x+ y è chiaramente impossibile perché la somma di due numeri non può valere contemporaneamente 10 e 1. In Equazioni di primo grado con due o più incognite

3 questo caso, l'intersezione fra i due insiemi di coppie che verificano rispettivamente le due equazioni è l'insieme vuoto. Invece, il sistema: x+ y = 8 x+ y 6 è indeterminato perché tutte le infinite coppie che verificano la prima equazione verificano anche la seconda. Difatti, le due equazioni del sistema sono equivalenti perché, ad esempio, la seconda equazione si ottiene dalla prima moltiplicando entrambi i membri per. Il sistema, cioè, soltanto in apparenza è formato da due equazioni. In realtà, esso è costituito da una medesima equazione contata due volte. Il concetto di sistema può essere esteso a un numero qualunque di equazioni con un numero qualunque di incognite. Come per le equazioni, così anche per i sistemi si introduce la nozione di grado. Si dice grado di un sistema il prodotto dei gradi delle equazioni che lo DEFINIZIONE compongono. Il sistema 3x y = 8 x + y 3 equazioni, si ha: 1 1. è di primo grado perché, essendo di primo grado entrambe le 5. x+ y = 6 I sistemi, 3x sono di secondo grado perché, x + y = 6 xy 3x + 8y = essendo di primo grado la prima equazione di ciascuno di essi e di secondo l altra, si ha: 1 =. 6. x + 6y = 6 xy I sistemi, x 5xy = 3x y x+ y = 8 essendo formati entrambi da equazioni di secondo grado, si ha: =. Il grado di un sistema determinato indica il numero massimo di soluzioni che esso può ammettere.. Risolvere il sistema: x = 8 5x + y. sono di quarto grado perché, Il sistema è di primo grado perché entrambe le equazioni sono di primo grado. Se il sistema è determinato ammette, al massimo, una soluzione, che consiste in una coppia di numeri reali. Per determinare questa coppia è necessario separare le due variabili. Un procedimento per raggiungere questo obiettivo consiste nel risolvere una delle due equazioni rispetto a una delle incognite e il risultato sostituirlo nell altra equazione. Risolvendo la prima equazione rispetto a x, si ha: x = y Sostituendo nella seconda equazione, si ha: 3y y Abbiamo ottenuto così una equazione di primo grado con una incognita. Eseguendo i calcoli, risulta: Equazioni di primo grado con due o più incognite 3

4 38 3 Sostituendo in una delle due equazioni, si trova il valore dell altra incognita x. Risulta: 35 x = 3 La soluzione del sistema è rappresentato dalla coppia: 35 = 3 x, Risolvere il sistema: x = 8 5x + 3y Osservando attentamente i primi membri delle due equazioni, si nota che i coefficienti della y sono opposti. In questo caso, la separazione delle incognite si realizza facilmente, tenuto conto di una delle proprietà delle uguaglianze: sommando membro a membro i termini di una uguaglianza, si ottiene una nuova uguaglianza. Si ha: x = 9. Da cui: 9 x = Sostituendo in una delle due equazioni, si trova il valore dell altra incognita. 9 Si ha: = 8; 38 La soluzione del sistema è rappresentato dalla coppia: 9. 9 = x, 38 6x x + 5y In questo esercizio non conviene procedere come nei due precedenti perché sommando o sottraendo membro a membro non si riesce a separare le incognite. Applicando però la proprietà III) delle uguaglianze, moltiplicando ad esempio la prima equazione per e la seconda per 3, il sistema sarà trasformato in un altro equivalente adatto per procedere come nei due esempi precedenti. Si ha: 1x 6y = 1x = 3 Sommando membro a membro, si ha: 1 1 ; y =. Moltiplicando la prima equazione per 5 e la seconda per 3, si ottiene il sistema:. Equazioni di primo grado con due o più incognite

5 30x = 5 1x + 15y = 3 Sommando membro a membro, si ha: x = 8 ; x = ; x =. La soluzione del sistema è rappresentata dalla seguente coppia di valori: x =, y = 1. Questo procedimento è noto come metodo di riduzione. NOTA 10. Per determinare i numeri per i quali moltiplicare le due equazioni del sistema, si determina il minimo comune multiplo dei coefficienti di una delle due incognite e lo si divide per ciascuno di essi. Nell esempio considerato, il minimo comune multiplo dei coefficienti 6 e dell incognita x è 1. Poiché 1 6 = e 1 = 3, la prima equazione deve essere moltiplicata per e la seconda per 3. Poiché, inoltre, i coefficienti considerati sono concordi, conviene fare in modo che i due moltiplicatori siano discordi. Ciò perché è più semplice sommare piuttosto che sottrarre membro a membro. Per tale motivo si è deciso di moltiplicare la prima per e la seconda per 3. Il minimo comune multiplo dei coefficienti della y è 15. Poiché 15 3 = 5 e 15 5 = 3, la prima equazione deve essere moltiplicata per 5 e la seconda per 3. Essendo discordi i coefficienti considerati, i due moltiplicatori, è bene che siano concordi. Il procedimento può essere espresso nel modo seguente: 6x 5 x + 5y 3 3 Moltiplicando le due equazioni rispettivamente per le due coppie di numeri scritte a destra del sistema, si ottengono i due sistemi seguenti: 1x 6y = 1x = 3 Sommando membro a membro, si ha, rispettivamente: 30x = 5 1x + 15y = 3 1 ; x = 8 1 y =. x =. x y = 3 3 6x+ 3y = Le due coppie di numeri disposte a destra del sistema sono state trovate applicando il procedimento espresso nella nota precedente. Utilizzando la prima coppia di numeri, 3 e, il sistema assumerà una certa forma; utilizzando la seconda coppia di numeri, 3 e, il sistema assumerà una forma diversa. I due sistemi che si otterranno vengono disposti nel modo seguente: 1x y = 9 1x 6y = Sommando membro a membro, si ha rispettivamente: 3 1x y = 9 x+ y = 1 Equazioni di primo grado con due o più incognite 5

6 y 3 5x = 5 Ossia: y = 13 x = Quindi: x =, (soluzione del sistema) L applicazione del metodo descritto è molto interessante perché con semplici passaggi algebrici si riesce a pervenire alla soluzione del sistema. In un corso serale frequentato da studenti lavoratori io l ho proposto come unico metodo di risoluzione di un sistema di due equazioni con due incognite. In genere, i docenti ricorrono alla rappresentazione grafica dell equazione di una retta per far emergere anche un aspetto geometrico del problema. A tal fine presentano in modo molto sbrigativo le nozioni di coordinate cartesiane e di equazione di una retta. L idea è buona e interessante, il modo di operare, invece, è deleterio perché si banalizza in modo piuttosto semplicistico un argomento come quello riguardante l introduzione della geometria analitica. L alunno, insomma, si vede buttate addosso delle nozioni che, invece, andrebbero trattate con più senso di responsabilità. Da ciò si può dedurre che gli effetti prodotti da interventi del genere sono abbastanza deludenti e pericolosi perché lo studente viene seriamente disorientato. In genere, io tratto l argomento nel modo seguente. Dirò: Un giorno vedrete come ad ogni coppia di numeri reali si può far corrispondere un punto di un piano e come ad ogni equazione di primo grado con due incognite si può associare una retta di un piano. Quindi ciascuna equazione di un sistema di primo grado è rappresentativa di una retta di un piano. Risolvere un sistema di due equazioni di primo grado con due incognite significa determinare le coppie di numeri che rappresentano i punti comuni a tali rette. Tenuto conto che due rette di un piano possono essere incidenti, parallele o coincidenti, si può dire che: nel primo caso le due rette hanno soltanto un punto in comune; nel secondo caso non hanno alcun punto in comune; nel terzo caso tutti i punti di una delle due rette sono anche punti dell altra retta. Quindi, un sistema di due equazioni di primo grado con due incognite può essere determinato (rette incidenti, soltanto una singola coppia di numeri verifica il sistema); impossibile (rette parallele, nessuna coppia di numeri verifica il sistema); 6 Equazioni di primo grado con due o più incognite

7 indeterminato (rette coincidenti, qualunque coppia che verifica una delle due equazioni verifica anche l altra). 3x y = x 1y Come si può vedere, la seconda equazione si ottiene moltiplicando la prima equazione per. Entrambe le equazioni rappresentano la stessa retta. Il sistema allora è indeterminato. Il risultato è rappresentato da tutte le infinite coppie di numeri che verificano la prima equazione. 5x 8y = 1. 10x 16y 1 Come si vede soltanto i coefficienti delle incognite sono proporzionali. In questo caso le due rette sono parallele e il sistema sarà impossibile. Nessuna coppia di numeri verifica il sistema. In generale, dato il sistema: ax + by = c 13. a' x + b' y = c' Se: a b il sistema è determinato. Le rette sono incidenti e hanno in comune a' b' soltanto un punto. Una unica coppia di numeri verifica il sistema; a b c = il sistema è impossibile. Le rette sono parallele. Nessuna coppia di a' b' c' numeri verifica il sistema; a b c = = il sistema è indeterminato. Le rette sono coincidenti. Le infinite a' b' c' coppie di numeri che verificano una delle due equazioni, verifica anche l altra. Equazioni di primo grado con due o più incognite