1 Disquazioni di primo grado

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1 1 Disquazioni di primo grado 1 1 Disquazioni di primo grado Si assumono assodate le regole per la risoluzione delle equazioni lineari Ricordando che una disuguaglianza è una scrittura tra due espressioni numeriche tra le quali è posto uno dei simboli <, >,,, si definisce disequazione ogni disuguaglianza che contiene una o più lettere, chiamate incognite, di cui si cercano i valori, se esistenti, che rendono vera la disuguaglianza Per trovare le soluzioni, si seguono gli stessi due principi di equivalenza validi per le equazioni, con il seguente accorgimento riguardante il secondo principio: se il numero per cui stiamo moltiplicando o dividendo (tale numero deve essere diverso da zero) è positivo si mantiene lo stesso verso, mentre se il numero è negativo bisogna invertire il verso Esempio 1 (x 1) (1 + x) > (x + 1) (x ) x 1 > x + x + 1 x + 0 > 6 che è banalmente falso, per cui la disequazione non ha soluzione, ossia non esiste alcun numero che la soddisfa Si dice quindi che l insieme delle soluzioni è vuoto Esempio + (x + 1) (1 + x) > + x + 1 x > x > 8 Esempio Risolvere x > 1 Dalla definizione di modulo sappiamo che x per x x = x per x < Quindi: x > 1 per x x < 1 per x < x > per x x > 1 per x < Ricordando però dove è definito ciascun ramo, concludiamo dicendo che le soluzioni sono: { } {x > } < x < 1 1

2 Equazioni di secondo grado In generale, quando dobbiamo risolvere una disequazione con il valore assoluto bisogna seguire i seguenti passi: 1 si studia il segno della funzione all interno del valore assoluto si disegna la tabella dei segni per definire i vari intervalli su cui dovremo studiare la disequazione per ciascun intervallo si studia la disequazione associata a quell intervallo di definizione la soluzione della disequazione è data dall unione delle soluzioni trovate nel punto precedente Equazioni di secondo grado Un equazione di secondo grado in una incognita è un equazione che può essere sempre ridotta nella forma: ax + bx + c = 0, a, b, c R, a 0 Se a = 0 l equazione diventa di primo grado Risolvere un equazione vuol dire trovare l insieme dei numeri reali che la soddisfano Se l equazione di secondo grado è scritta in forma normale ed è completa, le soluzioni sono date dalla formula: x 1, = b ± b ac a La quantità sotto radice viene chiamata discriminante e si indica con la lettera greca Il discriminante è fondamentale perchè distingue i tre possibili casi che si possono incontrare risolvendo l equazione scritta sopra > 0: l equazione ammette due soluzioni reali e distinte Esempio x + x 1 = 0 ha discriminante positivo: = = 17 quindi le due soluzioni reali e distinte sono: x 1 = + 17, x = 17 = 0: l equazione ammette due soluzioni reali coincidenti Esempio 5 x x + 1 = 0: abbiamo = = 0 e le soluzioni sono: x 1, = ± 0 = 1 < 0: l equazione non ha soluzioni reali Esempio 6 x (x 6) = x 7 Scriviamola in forma normale: x (x 6) = (x 7) = x 5x + 7 = 0, il cui discriminante è = < 0 e siccome non ha senso estrarre, nei reali, la radice quadrata di un numero negativo segue che l equazione non ammette soluzioni Il numero massimo di soluzioni di un equazione di secondo grado è : in generale, esso è dato esattamente dal grado del polinomio scritto in forma normale, ossia dal massimo grado dei monomi che costituiscono il polinomio

3 Disequazioni di secondo grado Disequazioni di secondo grado Data la disequazione di secondo grado ax + bx + c 0, a 0 (equivalentemente, >, <), per determinarne l insieme delle soluzioni occorre studiare il segno del trinomio, ossia studiare in corrispondenza di quali valori di x il trinomio è positivo, negativo o nullo (in base al segno della disequazione) Se a > 0 (a < 0) e il trinomio è 0 (leq0), allora la disequazione ammette soluzioni esterne all intervallo individuato dalle radici Se a > 0 (a < 0) e il trinomio è 0 ( 0), allora la disequazione ammette soluzioni interne all intervallo delle radici Vediamo alcuni esempi Esempio 7 Risolviamo la disequazione x x 0 Ricaviamo prima le radici dell equazione associata, ossia di x x = 0 Come si può verificare, le radici sono: x 1 = 1 e x = Notiamo che il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, quindi le soluzioni della disequazione sono: x < 1 x > Esempio 8 Data la disequazione x + 6x 0, notiamo subito che a < 0 Quindi moltiplichiamo entrambi i membri per 1 in modo da avere a > 0 ricordandoci di cambiare il verso della disequazione Otteniamo: x 6x 0 Le radici dell equazione associata sono x 1 = 0 e x = 6 e la disequazione è verificata per 0 x 6 Esempio 9 Risolvere la disequazione x x + 0 Notiamo subito che = 7 quindi l equazione associata non ammette soluzioni reali Ciò vuol dire che il trinomio è sempre positivo, quindi la disequazione è soddisfatta per ogni numero reale x Esempio 10 Risolvere la disequazione x x + 1 < 0 L equazione associata non ammette soluzioni reali Il trinomio è quindi sempre positivo e, siccome il verso della disuguaglianza è < vuol dire che la disequazione è impossibile (proprio perchè il polinomio è positivo e non può essere mai negativo) Sistemi di disequazioni Come per le equazioni, risolvere un sistema di disequazioni vuol dire determinare le soluzioni che soddisfano tutte le disequazioni contemporaneamente Una volta trovate le soluzioni, queste vanno riportate su un grafico e si individuano gli intervalli in cui i grafici di ciascuna disequazione si sovrappongono Osservazione 1 Il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi di ciascuna equazione/disequazione del sistema

4 Sistemi di disequazioni Esempio 11 Risolvere il sistema { (5 x) 1 (x 1) > (x + ) (x ) Dalla prima disequazione otteniamo x, mentre dalla seconda 1 1 < x < 1+ 1 Facendo il grafico si vede ( che le soluzioni comuni a entrambe le disequazioni 1 stanno nell intervallo ) 1, 1+ 1

5 5 Esercizi 5 5 Esercizi 1 Risolvere le seguenti equazioni: x x + = 0 x 5x + 6 = 0 x 16 = 0 x + 1 = 0 x 1 = 0 (x 1) ( x 1 ) + x = 1 + (x + ) = 5x + ( x) (x + ) (5x + ) (x + 1) (x 1) (x + 1) ( x) = + (x + 1) (x 1) ( x) + = (x 1) (x + 1) x Tutti i valori di k per i quali l equazione x + kx + (k + 1) = 0 ammette x = 0 come radice verificano una delle seguenti condizioni Quale? A < k < 0 B k > C 1 < k < D 1 < k < E k < 1 Stabilire per quali valori di k le seguenti equazioni ammettono soluzione e, nel caso, calcolarle: x x + k + = 0 (k ) x x + k = 0 x kx + 1 k 1 = 0 Quante soluzioni ammette l equazione (x ) ( x 1 ) = 0? Motivare la risposta 5 Data l equazione x x + = 0, rappresentare su una retta le soluzioni trovate 5

6 5 Esercizi 6 6 Risolvere le seguenti disequazioni: 8 (5 x) + (x 5) > 0 1 x 1 < 5 x x 1 > (x + 1) (x 1) < x 9x 1x + > 0 x + x x 10 (1 + 6x) (x ) (x ) > 0 (x + 1) (x ) > x x > x + 1 (x + ) x 6