LE DISEQUAZIONI LINEARI

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1 LE DISEQUAZIONI LINEARI Per ricordare H Una disequazione si rappresenta come una disuguaglianza fra due espressioni algebriche A e B ; essa assume dunque la forma A <---B. > Per risolvere una disequazione ci si avvale di due principi di equivalenza formalmente simili a quelli visti per le equazioni: Primo principio: se ai due membri di una disequazione si aggiunge o si toglie una stessa espressione, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Secondo principio: se si moltiplicano o si dividono i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo, si ottiene una disequazione equivalente che ha lo stesso verso di quella data; se si moltiplicano o si dividono i due membri per un numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data solo se si cambia il verso. Considerazione comune ai due principi eá che l'espressione che si aggiunge o si toglie, per cui si moltiplica o si divide, se contiene l'incognita, deve avere lo stesso dominio di quella data. Di conseguenza, in una disequazione si possono eseguire queste operazioni: trasportare i termini da un membro all'altro cambiandone il segno (come nelle equazioni): >! > cambiare i segni a tutti i termini cambiandone peroá anche il verso: 7 >! 7 < dividere tutti i termini per un fattore comune: se questo eá positivo il verso non cambia, se eá negativo occorre cambiare il verso: > 6 dividendo per > dividendo per < eliminare i denominatori dopo aver calcolato quello comune solo se questi sono numerici; non eá possibile in generale eliminare i denominatori letterali percheá di essi non si conosce il segno. H Una disequazione di primo grado, dopo aver svolto opportunamente i calcoli si presenta sempre nella forma a > b Per trovare l'intervallo delle soluzioni basta dividere entrambi i membri per a facendo attenzione al segno di a: se a eá un numero positivo la disequazione non cambia verso e l'intervallo delle soluzioni eá > b a se a eá un numero negativo la disequazione cambia verso e l'intervallo delle soluzioni eá < b a

2 70 - LE DISEQUAZIONI LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Prima di procedere alla risoluzione, conviene allora operare in modo che il coefficiente a sia positivo, eventualmente cambiando i segni ed il verso a tutta la disequazione: >! <! < H Le disequazioni frazionarie, cioeá quelle che hanno l'incognita al denominatore, calcolato il denominatore comune e svolti i calcoli, si possono tutte ricondurre alla forma A B <---0. > Ricordiamo nuovamente che i denominatori che contengono l'incognita non possono in generale essere eliminati percheá il loro segno eá variabile a seconda del valore assunto da. Per trovare l'insieme delle soluzioni si deve studiare il segno dei vari fattori che si trovano al numeratore e al denominatore, riportare questi segni in una tabella e dedurre poi da essa il segno della frazione e quindi gli intervalli della soluzione. Attenzione a quando il verso della disequazione comporta anche il simbolo di uguaglianza, eá cioeá oppure ; in questo caso sono solo i fattori al numeratore che devono essere posti 0, mentre quelli al denominatore non possono annullarsi. Esempio: 0 di dominio R f g Studio dei segni dei fattori al numeratore e al denominatore: (del numeratore eá richiesto anche che si annulli) 0! > 0! > Nella tabella dei segni si usa la seguente convenzione: si dispongono sulla retta dei numeri i valori che sono emersi dallo studio dei segni di ciascun fattore in corrispondenza di ciascuno di essi si traccia una linea verticale in modo da suddividere in zone la retta dei numeri; la linea diventa doppia in corrispondenza dei valori esclusi dal dominio della disequazione per ciascuna disequazione risolta si riporta la corrispondente riga dei segni evidenziando con un pallino dove eá richiesto che uno dei fattori si annulli si calcola in ciascuna zona il segno della frazione si scelgono gli intervalli che soddisfano la disequazione < _

3 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - LE DISEQUAZIONI LINEARI 7 H Le soluzioni di un sistema di disequazioni si determinano calcolando l'intersezione fra gli insiemi delle soluzioni di ciascuna disequazione. Per individuare tale intersezione si utilizza una tabella simile a quella dei segni nella quale peroá si indicano con una linea continua le soluzioni di ciascuna disequazione. L'intersezione eá rappresentata dagli intervalli in cui tutte le linee sono continue. > 0 Esempio: 6 Soluzione della prima disequazione: > Soluzione della seconda disequazione: Tabella delle soluzioni:! < ESERCIZI DI CONSOLIDAMENTO Risolvi le seguenti disequazioni. > Sviluppiamo i calcoli nei due membri: facciamo il denominatore comune: > > Eliminiamo i denominatori moltiplicando per (numero positivo): 0 > 9 Trasportiamo i termini con l'incognita a sinistra e i termini noti a destra: 0 > 9 da cui 7 > Dividiamo per 7 (numero positivo): > 7 Š

4 7 - LE DISEQUAZIONI LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA 6 > > Š 9 < < < < > 0 > 7 S ˆ Š S ˆ RŠ > < 9Š 6 < > Š 6 < 6 S ˆ RŠ 9 0 7

5 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - LE DISEQUAZIONI LINEARI 7 Risolvi le seguenti disequazioni per via grafica. > 0 Consideriamo la retta di equazione y ˆ e rappresentiamola nel piano cartesiano (figura a lato) y ˆ La disequazione eá equivalente al sistema y > 0 che graficamente eá rappresentato dalla parte di retta che si trova nel semipiano positivo delle ordinate; poicheâ il punto d'intersezione della retta con l'asse ha ascissa, possiamo concludere che la di- sequazione eá verificata se >. > 0 < > > < 0 Risolvi le seguenti disequazioni frazionarie. Il dominio della disequazione eá R f g: Trasportiamo tutti i termini al primo membro: Calcoliamo il denominatore comune: 0 6 Sviluppiamo i calcoli al numeratore e semplifichiamo: 0 Cambiamo i segni al numeratore (dobbiamo cambiare anche il verso della disequazione): 0 0

6 7 - LE DISEQUAZIONI LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Studiamo i segni dei fattori al numeratore e al denominatore, tenendo presente che vogliamo sapere anche quando la frazione si annulla 0! > 0! > Costruiamo la tabella dei segni: Poiche vogliamo che la frazione sia negativa, l'intervallo delle soluzioni eá <. 6 < < < 7 0 < < Š 9 > 0 < _ > 0 > _ > 0 > Š < _ > < < 6 7 < 9 > 6 _ > < _ > < 0 < 0 < 7 6 _ >

7 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - LE DISEQUAZIONI LINEARI 7 0 Risolvi le seguenti disequazioni di grado superiore al primo scomponendo in fattori. > Trasportiamo tutti i termini al primo membro e sviluppiamo i calcoli: > 0 > 0 Scomponiamo in fattori: > 0 Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto: > 0 > 0! > Costruiamo la tabella dei segni e calcoliamo il segno del prodotto: Poiche vogliamo sapere quando il polinomio eá maggiore di zero, scegliamo gli intervalli con il segno : < 0 _ > < 0 < < Š _ Š 6 > 0 S ˆ R 6 < S ˆ Š _ S ˆ 60 _ 6 Š

8 76 - LE DISEQUAZIONI LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA 6 Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. < < : > 0 Risolviamo separatamente le due disequazioni: a disequazione: <! < 9! < a disequazione: >! > Costruiamo la tabella delle soluzioni: Il sistema eá verificato nell'intervallo < < < : < : > < < < < 0 : > 0 < 6 : < < S ˆ Š > 9 < 7 6

9 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - LE DISEQUAZIONI LINEARI < > < < 0 < 0 < < S ˆ Š < > Š ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO Risolvi le seguenti disequazioni di vario tipo. 7 > > 6 6 p p p p > > p p p p > < p p p > p p p p > p p p p > 0 < p 6 _ >

10 7 - LE DISEQUAZIONI LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA 7 6 > 0 < < _ > 7 0 < _ < Š < < 9 0 < _ > 0 _ Š 0 _ Š 7 6 < 0 < _ < < 6Š 0 _ > 0 < _ 0 < < _ > < 0 < _ < < > 0 < < Š 9 < 0 < < _ < < 0 > < _ < < > < _ < < 0 0 < < Š > 0 < _ 0 < < Š 6 _ 0 < Š Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. < 0 < < Š

11 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - LE DISEQUAZIONI LINEARI < 6 < > 0 0 > 7 6 > < 0 < < _ < Š < 9 < _ > Š S ˆ Š < < > > 0 > > < < Š 6 < < Š 0 < <

12 0 - LE DISEQUAZIONI LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Risolvi le seguenti equazioni che contengono moduli. j j ˆ Per risolvere l'equazione dobbiamo togliere il modulo distinguendo il caso in cui il suo argomento eá positivo da quello in cui eá negativo. Sappiamo infatti che jjˆ a a se a 0 a se a < 0 S e 0 cioeá l'equazione diventa ˆ! ˆ 7 accettabile percheá maggiore di S e < 0 cioeá < l'equazione diventa ˆ! ˆ In definitiva, l'insieme delle soluzioni eá S ˆ ; 7. accettabile percheá minore di 6 j j ˆ S ˆ 6 ; 7 j j ˆ S ˆ ˆ j j S ˆ Š 9 j j ˆ S ˆ ; ˆ S ˆ 9 ˆ j j S ˆ 7; 7 jj j j ˆ Studiamo il segno di ciascuno dei due moduli e rappresentiamolo in tabella: Dalla sua osservazione vediamo che dobbiamo risolvere l'equazione considerando tre casi: 0 : entrambi gli argomenti dei moduli sono negativi: ˆ! ˆ accettabile

13 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - LE DISEQUAZIONI LINEARI 0 < : il primo argomento eá positivo, il secondo eá negativo: ˆ! ˆ non accettabile > : entrambi gli argomenti sono positivi: ˆ! equazione impossibile L'insieme delle soluzioni eá quindi S ˆ. j j j j ˆ S ˆ f; 0; 0gŠ jj j j ˆ S ˆ 7 ; 6 j j ˆ jj S ˆ Š 6 j j ˆ j j S ˆ ; 7 jj j j ˆ S ˆ ; 6 ˆ S ˆ 6 9 jj j j ˆ j j S ˆ fg Š 0 j j ˆ j j 6 S ˆ 6; 0; 7 j j j j ˆ 0 S ˆ Š (Suggerimento: il primo membro eá la somma di tre numeri positivi e non contemporaneamente nulli) j j j j ˆ S ˆ Š j j ˆj j S ˆ 0; Risolvi le seguenti disequazioni con i moduli. j j > 6 La disequazione eá equivalente ai due sistemi: 0 > 6 _ < _ < 0 > 6 < < : <

14 - LE DISEQUAZIONI LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Il primo ha per soluzione l'intervallo < Il secondo ha per soluzione l'intervallo < PoicheÁ dobbiamo considerare l'unione dei due intervalli la disequazione eá verificata se <. j j 0Š 6 j j 0 0 _ Š 7 j j _ j j _ 9 j j 60 j j 0 Š 6 j j > 0 > 0Š 6 j j > S ˆ RŠ 6 j j 7 6 j j S ˆ Š 6 j j > > Š 66 j j j j > < _ > 67 jj j j 0 S ˆ RŠ (Suggerimento: si tratta della somma di due numeri positivi o nulli) 6 j j j j > 0 S ˆ RŠ jj > < < 0Š > j j j j j j j j > jj > Š 0 9 _ < _ > Š 6 7 < < _ < < 6 7 jj > 0 < < Š

15 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - LE DISEQUAZIONI LINEARI Risultati di alcuni Esercizi di consolidamento