Da sapere. Come riconoscere le disequazioni intere di primo grado?

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Daniela Pugliese
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2 Da sapere Come riconoscere le disequazioni intere di primo grado? Una disequazione è di primo grado quando l esponente più grande con il quale compare l incognita (che normalmente, ma non necessariamente, è la x) è 1, che come sappiamo dallo studio delle potenze si sottintende. Esempi: 4x + 2 > 0 L incognita è la x. Essa compare con esponente 1. La disequazione è di primo grado; x 3 0 L incognita è la x. Essa compare con esponente 1. La disequazione è di primo grado; 2y + 3 < y + 1 L incognita è la y. Essa compare con esponente 1. La disequazione è di primo grado; 7x 2 + 2x > 3 L incognita è la x. Essa compare con esponente massimo 2. La disequazione non è di primo grado, ma di secondo grado. Una disequazione è intera quando l incognita non compare al denominatore di una frazione. Esempi: x + 1 > 0 La disequazione è intera perché, in essa, non compare nessuna frazione; x/3 < 0 La disequazione è intera perché, pur essendo presente una frazione, l incognita non compare a denominatore; 7/x 0 La disequazione non è intera perché l incognita compare a denominatore. In questo caso si parla di disequazioni fratte.

3 Come possono essere le disequazioni intere di primo grado? Le disequazioni intere di primo grado possono essere: numeriche - se contengono, oltre all incognita, solo numeri; letterali se, oltre all incognita, contengono anche lettere che sono considerate delle costanti e vengono trattate, nella risoluzione della disequazione, come dei numeri. Di esse non ci occuperemo in questo testo. Esempi: x + 2 > -5 La disequazione è numerica perché contiene solamente l incognita e i numeri; 6 + x/5 < 11 La disequazione è numerica perché contiene solamente l incognita e i numeri; ax La disequazione è letterale perché contiene l incognita, i numeri e la lettera a che va considerata come una costante; ax + bx 5 > a + b La disequazione è letterale perché contiene l incognita, i numeri e le lettere a e b che sono delle costanti. Come si risolvono le disequazioni intere numeriche di primo grado? Per risolvere una disequazione intera di primo grado dobbiamo seguire i seguenti passi: 1. liberare la disequazione da eventuali denominatori; 2. eseguire le operazioni indicate secondo il seguente ordine: o si eseguono dapprima le potenze; o poi le moltiplicazioni e le divisioni; o infine le somme e le sottrazioni; 3. portare a primo membro tutti i termini contenenti l incognita e a secondo membro tutti i termini noti; Ricordiamo che quando un termine viene portato da un membro all altro dobbiamo cambiargli di segno;

4 4. riduciamo i termini simili; 5. dividiamo entrambi i membri della disequazione per il coefficiente dell incognita. ATTENZIONE!!!!!! Se è necessario cambiare di segno al coefficiente della x moltiplicando entrambi i termini della disequazione per 1 dobbiamo cambiare il verso della disequazione.

5 Esercizio 1 x + 2 > 0. La disequazione è: di primo grado perché l esponente massimo dell incognita x è 1; intera perché non contiene segni di frazione; numerica, perché oltre all incognita sono presenti solamente numeri. Andiamo a risolverla. Non dobbiamo liberare la disequazione dai denominatori perché non sono presenti frazioni. Non ci sono operazioni da eseguire. Lasciamo a primo membro l incognita e portiamo a secondo membro il termine noto +2, cambiandogli di segno. Avremo: Non ci sono termini simili da ridurre. x > -2. Poiché il coefficiente della x è 1 non c è bisogno di dividere entrambi i termini della disequazione per il coefficiente dell incognita. La nostra disequazione, quindi, è risolta. Vediamo, ora, come possiamo rappresentare il risultato ottenuto. Esistono vari metodi: 1. Il primo è il seguente:

6 x > -2 che si legge x maggiore di meno Il secondo metodo consiste nel ricorrere ai simboli usati negli insiemi. In questo caso, il nostro risultato può essere scritto come segue: {x R : x > -2} che si legge l insieme delle x appartenenti ad R 1 tali che x è maggiore di meno 2. Avremmo potuto scrivere il nostro risultato anche in uno dei modi seguenti: {x R \ x > -2} oppure {x R x > -2} entrambi si leggono come sopra l insieme delle x appartenenti ad R tali che x è maggiore di meno E anche possibile indicare il risultato con i simboli usati negli intervalli, ovvero: [ ] Per indicare un intervallo chiuso ] [ Per indicare un intervallo aperto oppure ( ) Nel nostro caso avremmo potuto scrivere il risultato in uno dei seguenti modi: 1 R è l insieme dei numeri reali.

7 ] 2; + [ ( 2; + ) entrambi si leggono intervallo aperto meno 2, più infinito. 4. L ultimo modo possibile di indicare il risultato della nostra disequazione è quello di rappresentarlo graficamente. In questo caso disegniamo una retta orientata, ovvero una retta nella quale indichiamo con una freccia il verso di percorrenza: Riportiamo sulla retta l origine 0: Quindi indichiamo ai due estremi della retta i simboli meno infinito e più infinito. Tali simboli non indicano dei punti particolari della retta, ma solamente che la retta è illimitata tanto a sinistra che a destra. A volte l indicazione di questi due simboli viene omessa. Ora riportiamo sulla retta la soluzione trovata. Per fare ciò usiamo una serie di convenzioni, ovvero: indichiamo con una linea continua i valori che soddisfano la disequazione; indichiamo con una linea tratteggiata i valori che non soddisfano la disequazione;

8 indichiamo con un cerchietto pieno che il valore è compreso nelle soluzioni della disequazione; indichiamo con un cerchietto vuoto che il valore non è compreso nelle soluzioni della disequazione. Torniamo al nostro esercizio. La soluzione andrebbe rappresentata graficamente nel modo seguente: La linea continua va da -2 a + e indica i valori che soddisfano la disequazione. La linea discontinua va da - a -2 e indica i valori che non soddisfano la disequazione. Sul valore 2 abbiamo messo un cerchietto vuoto perché questo valore non soddisfa la disequazione. Se il risultato della disequazione fosse stato, non x > - 2, ma x - 2 allora, in corrispondenza di 2, avremmo dovuto indicare un cerchietto pieno essendo 2 compreso tra le soluzioni della disequazione.

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