Def. Un equazione è un uguaglianza tra due espressioni algebriche che contengono una o più incognite dette variabili.

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2 Def. Un equazione è un uguaglianza tra due espressioni algebriche che contengono una o più incognite dette variabili. Noi ci occuperemo delle equazioni di primo grado a una sola variabile Guarda nell esempio la struttura e gli elementi che le caratterizzano Coefficienti dell incognita 35x 4x 5 x 3 4 x Primo membro Secondo membro Termine noto Incognita o variabile L incognita è quella lettera che compare nell equazione, il cui valore numerico non è noto. Per indicare le incognite si utilizzano di solito le lettere dell alfabeto x, y, z.

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4 Classificazione Equazioni 5x 3 x 4 x 2x 3 12 Numeriche Oltre alle incognite non compaiono altre lettere 5x 3 x 4 Letterali Oltre alle incognite compaiono altre lettere (parametri)* ax 2 x a Intere le incognite non compaiono al denominatore 3 x 2 x x 1 Fratte 3 x 2 3 Le incognite x 2 2a x compaiono anche nei x a 3 2x a denominatori 2 3 x x * I parametri sono altre lettere dell alfabeto che rappresentano numeri noti, il cui valore, però, non è specificato.

5 In base alle soluzioni un equazione del tipo ax =b può essere : Equazione impossibile Nessuna soluzione Equazione indeterminata Infinite soluzioni Equazione determinata Una soluzione x = b/a

6 Permettono di trasformare le equazioni in altre più semplici equivalenti e quindi più facilmente risolvibili 1. Addizionando o sottraendo ai due membri di un equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica, si ottiene un equazione equivalente alla data 2. Moltiplicando o dividendo i due membri di un equazione per uno stesso numero diversa da zero, o una stessa espressione algebrica, si ottiene un equazione equivalente alla data Due equazioni si dicono equivalenti quando hanno le stesse soluzioni

7 Immagina l equazione come una bilancia Primo membro = Secondo membro Perché stia in equilibrio è necessario che il contenuto del primo piatto abbia lo stesso peso del secondo piatto Primo membro = Secondo membro Se aggiungi un elemento nel primo piatto, lo devi aggiungere anche nel secondo per mantenere l equilibrio Primo membro = Secondo membro Se togli un elemento dal primo piatto, lo devi togliere anche dal secondo per mantenere l equilibrio

8 Primo membro = Secondo membro 2x 3 1 x Guarda l esempio numerico Sottraiamo x ad entrambi i membri 2x 3 x x 1 x Al secondo membro le due x si possono eliminare perché hanno segno opposto x 3 1 Aggiungiamo 3 ad entrambi i membri x Al primo membro i tre si possono eliminare perché hanno segno opposto x 2 Abbiamo ottenuto un equazione che è equivalente a quella di partenza, ma di struttura più semplice

9 In un equazione si può spostare un termine da un membro all altro, cambiandolo di segno ( principio del trasporto) 5x 3x 2 Applichiamo il 1 principio di uguaglianza 5x x 3 5x 3x 3x 2 3x 3x 23x Eliminiamo le quantità uguali al secondo membro 5x 3x 2 Equazione risultante Confrontando l equazione iniziale e quella finale, si nota che l applicazione del principio ha avuto l effetto di spostare il termine 3x dal secondo membro al primo membro, cambiandogli il segno.

10 Se in entrambi i membri di un equazione compare un termine uguale, possiamo eliminarli senza alterare l uguaglianza 5x 4 3x 2 4 Applichiamo il 1 principio di uguaglianza 5x 4 5x x 2 4 3x Eliminiamo le quantità uguali al primo e al secondo membro 5x 3x 2 Equazione risultante Confrontando l equazione iniziale con quella finale, si nota che l applicazione del principio ha avuto l effetto di eliminare il termine 4 dal primo e dal secondo membro

11 Se in un equazione si spostano tutti i termini da un membro all altro, cambiandoli di segno, si ottiene un espressione algebrica uguagliata a zero 4x 3 3x 1 Spostiamo i termine dal 2 membro al primo membro cambiandoli di segno 4x 33x 1 0 Sommiamo i monomi simili x 4 0 Equazione risultante Si ottiene un equazione uguagliata a zero ed equivalente alla prima

12 Primo membro = Secondo membro Guarda l esempio numerico 2 3 x Moltiplichiamo entrambi i membri per x Al primo membro i 3 si possono semplificare 2x 12 Dividiamo entrambi i membri per x 2 2 Al primo e al secondo membro i 2 si possono semplificare x 6 Abbiamo ottenuto un equazione che è equivalente a quella di partenza, ma di struttura più semplice

13 Se tutti i termini di un equazione hanno un fattore numerico comune, diverso da zero, possiamo dividerli per tale numero senza alterare l uguaglianza 4x 6 2x x x x x x 3 x 4 Applichiamo il 2 principio di uguaglianza dividendo tutti i termini per 2 Semplifichiamo tutti i coefficienti Equazione risultante Abbiamo ottenuto un equazione che è equivalente a quella di partenza

14 Cambiando il segno a tutti i termini di un equazione se ne ottiene un altra equivalente a quella data 2x 3 x 4 Applichiamo il 2 principio di uguaglianza moltiplicando tutti i termini per x 3 x 4 1 2x 3 x 4 Equazione risultante Confrontando l equazione iniziale e quella finale, si nota che l applicazione del principio ha avuto come effetto il cambiamento di tutti i segni

15 Un equazione contenente frazioni o termini con coefficienti frazionari, può essere trasformata in un equazione a coefficienti interi dopo aver espresso i due membri come frazioni aventi lo stesso denominatore x Il denominatore comune tra quelli che compaiono nell equazione è il m.c.m. = x 2 x 2 x Svolgiamo i prodotti indicati 4x 8 6x x 8 6x Applichiamo il 2 principio di uguaglianza moltiplicando i due membri 12 e poi semplifichiamo 4x 86x 9 Equazione risultante a coefficienti interi L applicazione del 2 principio ha come effetto l eliminazione del denominatore dal primo e dal secondo membro

16 Conclusioni: Grazie al primo e al secondo principio di equivalenza possiamo modificare le equazioni per renderle più semplici e risolvere così tanti problemi!!!

17 Risolvere un equazione o trovare le sue soluzioni, significa cercare quei numeri che sostituiti al posto dell incognita, trasformano l equazione in una uguaglianza vera es. Ricordando i principi di equivalenza, un'equazione di primo grado in una incognita si risolve secondo i seguenti 5 passi ( segui l esempio ) x 2 x 2 3 si eseguono gli eventuali prodotti tra parentesi x 2x x 9 12x si libera l'equazione dai denominatori, utilizzando un unico m.c.m. per il primo e per il secondo membro. In questo caso il m.c.m. = 6. Si eliminano i denominatori, poi si trasportano i termini con l'incognita al primo membro e quelli senza incognita al secondo membro 3 18x 12x 4 9 si sommano i termini simili 4 6x 13 si dividono entrambi i membri per il coefficiente dell'incognita 5 13 x 6 soluzione

18 Nell esempio precedente, al passo n 4, abbiamo ottenuto l espressione 6x 13 Un monomio contenente l incognita Una costante o termine noto L espressione si chiama equazione ridotta in forma normale e si indica con ax b a Al variare dei valori di e l equazione può essere: b Equazione determinata Equazione indeterminata Equazione impossibile

19 Equazione determinata ax b Si ha a 0 a a x b a Dividiamo entrambi i membri dell equazione per e semplifichiamo a x b a Si ottiene la soluzione dell equazione che è unica

20 Esempi equazioni determinate 1 es. 2x x x 2 x 2 5 Dividiamo entrambi i membri dell equazione per 2 Semplifichiamo Soluzione dell equazione Spostiamo 2 al secondo membro 2 es. x 52 Eseguiamo la somme algebriche x 3 Soluzione dell equazione

21 Equazione indeterminata Nell equazione ax b Si ha 0 a e b 0 a b 0 Se mettiamo al posto di e il valore l equazione assume la forma 0x 0 L equazione ha infinite soluzioni, perché tutti i valore assunti dall incognita moltiplicati per zero dà come risultato zero ( x ) Ricorda, questa equazione non ha significato

22 Esempi equazioni indeterminate 3x 2 3x 2 Spostiamo i termini con l incognita al 1 membri e i termini noti al 2 membro 1 es. 3x 3x 2 2 Eseguiamo le somme algebriche 0x 0 Equazione con infinite soluzioni 2x 3 x 3x 21 Spostiamo - 3 al secondo membro e 3x al primo membro 2 es. 2x x 3x x 0 Eseguiamo le somme algebriche Equazione con infinite soluzioni

23 Equazioni impossibili Nell equazione ax b Si ha 0 a e b 0 Se mettiamo al posto di a 0 il valore 0x b l equazione assume la forma L equazione non ha soluzioni, perché non esiste un numero che moltiplicato per zero dia come risultato un numero diverso da zero

24 Esempi equazioni impossibili 3x 2 3x Spostiamo i termini con l incognita al 1 membri e i termini noti al 2 membro 1 es. 3x 3x 2 Eseguiamo le somme algebriche 0x 2 Equazione non ha soluzioni 3x 3 x 4x 2 Spostiamo - 3 al secondo membro e 4x al primo membro 2 es. 3x x 4x 2 3 0x 1 Eseguiamo le somme algebriche Equazione non ha soluzioni

25 Mappa di sintesi Equazione in forma normale ax b a 0 x b a Equazione determinata, soluzione unica b 0 0x 0 Equazione indeterminata, infinite soluzioni a 0 b 0 0x b Equazione impossibile, nessuna soluzione

26 Verificare un equazione significa sostituire all incognita il valore trovato, eseguire le operazioni indicate e controllare che il valore assunto dal primo membro sia uguale al valore assunto dal secondo membro 24x 3x x 2 Guarda l esempio numerico applichiamo le dovute operazioni e i principi di equivalenza si ottiene la soluzione Eseguiamo la verifica 24x 3x Riprendiamo l equazione e mettiamo al posto della x il valore trovato -2 Eseguiamo le operazioni indicate separatamente nel 1 e nel 2 membro Completiamo le operazioni con le somme algebriche I due membri assumono lo stesso valore per cui l equazione è verificata

27 Segui l esercizio 2x 1 3x 2 2 4x 2 3x 6 4x 3x 6 2 x 4 Eseguiamo le moltiplicazioni Portiamo i termini con l incognita al 1 membro e i termini noti al 2 membro Sommiamo i termini simili Soluzione dell equazione verifica 2x 1 3x riprendiamo l equazione di partenza sostituendo alla x il valore trovato +4 si eseguono le operazioni indicate nel primo membro e nel secondo membro i calcoli vengono eseguiti separatamente nel 1 e nel 2 membro i due membri assumono lo stesso valore, quindi l equazione è verificata per x=4

28 Con la verifica si può sempre controllare di non aver commesso errori nella determinazione della soluzione di un equazione 24x 3x 4x 3x 2 x 2 Riprendiamo l esempio numerico precedente Supponiamo di sbagliare nell applicazione dei principi di equivalenza, lasciando il termine noto col segno + quando lo si sposta al 2 membro Eseguiamo le somme algebriche Soluzione ( errata ) dell equazione Eseguiamo la verifica Mettiamo al posto della 24x 3x x il valore errato Eseguiamo le operazioni indicate Completiamo le operazioni con le somme algebriche I due membri non assumono lo stesso valore per cui l equazione non è verificata La non verifica suggerisce di controllare tutti i passaggi matematici per scoprire dove abbiamo sbagliato