Esercizi sui Circuiti RC

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1 Esercizi sui Circuiti RC

2 Problema 1 Due condensatori di capacità C = 6 µf, due resistenze R = 2.2 kω ed una batteria da 12 V sono collegati in serie come in Figura 1a. I condensatori sono inizialmente scarichi. Calcolare: la corrente iniziale nel circuito (cioè non appena il circuito viene chiuso) il tempo necessario perché la corrente scenda al valore I = 1.2 ma Soluzione È immediato osservare che il circuito proposto è equivalente ad un circuito con resistenza, capacità e generatore di tensione in serie. Le due resistenze sono infatti equivalenti alla resistenza: R eq = R + R = 2R = 4.4 kω, (1) mentre le due capacità in serie sono equivalenti alla capacità: C eq = C 2 = 3 µf. (2) Il circuito equivalente è mostrato in Figura 1b. Alla chiusura dell interruttore, il condensatore C eq inizia a sentire la differenza di potenziale fornita dal generatore, e dunque inizia ad accumularsi carica sulle sue armature, permettendo il passaggio di corrente lungo il circuito. Per t, fra le armature del condensatore vi sarà una d.d.p. pari alla tensione fornita dal generatore: a quel punto, nel circuito non scorrerà più corrente. La presenza della resistenza ha l effetto di distribuire nel tempo il caricamento del condensatore: se i collegamenti fra il generatore e il condensatore non prresentassero resistenza, la carica del condensatore avverrebbe idealmente in un tempo istantaneo. L accumulo della carica sulle armature del condensatore, l aumento della d.d.p. fra le armature stesse, e infine l andamento dell intensità di corrente nel circuito sono tutti governati da andamenti di tipo esponenziale. In particolare, risulta rilevante ai fini del problema l andamento dell intensità di corrente I(t): si può dimostrare che dove V è la tensione fornita dal generatore, I(t) = I 0 e t/τ, (3) τ = R eq C eq = s e I 0 = V R eq (4) Il parametro τ è noto come costante di tempo del circuito RC. Ponendo t = 0 nell Eq. 3 si trova immediatamente che I(0) = I 0, cioè l intensità di corrente presente nel circuito all istante in cui inizia la carica del condensatore è pari a I(0) = V R eq = 12 V 4.4 kω 2.7 ma. (5) 2

3 (a) Circuito originale (b) Circuito equivalente Figura 1: Problema 1 Per valutare a quale istante t la corrente scenda al valore di I(t ) = 1.2 ma, è sufficiente imporre che: I(t ) = I 0 e t /τ 1.2 ma = (2.7 ma) e t / (6) da cui si trova facilmente che t s. È interessante notare come, all istante in cui il condensatore inizia a caricarsi, il circuito percepisca il condensatore come un elemento circuitale privo di resistenza. In realtà, all interno del condensatore non scorre mai alcuna corrente di cariche, ma questo per il resto del circuito è del tutto ininfluente: a tutti gli effetti, l accumulo della carica sulle armature del condensatore produce nel resto del circuito un movimento di carica equivalente a quello che offrirebbe un elemento circuitale chiuso. All istante iniziale, peraltro, il condensatore è del tutto scarico, e dunque massimamente disponibile ad accogliere carica sulle sue armature: è questa estrema disponibilità a far sì che il tasso di accumulo della carica sulle armature possa sostenere (all inizioe della carica, e nel caso ideale!) qualunque corrente sia determinata dagli altri elementi circuitali. Con il tempo, l accumulo della cariche sulle armature inizia ad inibire l arrivo di ulteriore carica: questo frena il movimento delle cariche nell intero circuito, ovvero determina una diminuzione della corrente. A tempi molto grandi, il condensatore ha esaurito la sua disponibilità di accumulo della carica, e dunque inibisce del tutto lo scorrimento di cariche lungo il circuito: la corrente è pari a zero. 3

4 Problema 2 Nel circuito in Figura 2 si hanno R 1 = 850 Ω, R 2 = 250 Ω, R 3 = 750 Ω, C = 150 µf, V = 12 V. Inizialmente, l interruttore è chiuso ed il condensatore è carico. All istante t = 0 si apre l interruttore ed il condensatore comincia a scaricarsi. Determinare: quanto vale la costante di tempo τ per la scarica quanto vale la tensione ai capi del condensatore dopo che è trascorso un tempo pari ad una volta la costante di tempo (cioè dopo un tempo t = τ) Soluzione Nella situazione iniziale, nel ramo di circuito contenente il condensatore non scorre alcuna corrente. Il condensatore è infatti completamente carico: le sue armature non attraggono più alcuna carica, impedendo di fatto la circolazione di corrente nel ramo. La scarica non avviene perché il generatore di tensione mantiene una certa d.d.p. fra le armature. Essendo sullo stesso ramo del condensatore, neppure attraverso la resistenza R 3 scorre alcuna corrente, ed è dunque nulla la d.d.p. ai suoi capi. L apertura dell interruttore produce due effetti: (i) nel ramo circuitale contenente l interruttore stesso non scorrerà alcuna corrente; (ii) il condensatore non sentirà più la d.d.p. imposta dal generatore di tensione. Complessivamente, quindi, l analisi del circuito si riduce a quella della sola maglia di destra: il ramo contenente l interruttore aperto, nel quale non scorre alcuna corrente, non produce alcun effetto sul comportamento di tale maglia. È immediato notare come la maglia di destra sia un circuito RC privo di generatore di tensione, con resistenza equivalente R eq = R 2 + R 3 = 1000 Ω. La costante di tempo che governa la scarica del condensatore lungo questo circuito è τ = CR eq = 150 µf 1000 Ω = 0.15 s. La d.d.p. V C ai capi del condensatore diminuirà nel tempo tendendo ad annullarsi, per effetto del riequilibrio delle cariche che scorreranno da un armatura all altra attraverso la resistenza. La legge temporale è esponenziale: V C (t) = V C (0)e t/τ (7) dove V C (0) è naturalmente la d.d.p. presente fra le armature del condesatore all istante iniziale, quando viene aperto l interruttore e la scarica può avere luogo. Dopo un tempo pari a t = τ la d.d.p. fra le armature del condensatore varrà V C (τ) = V C (0)/e. Per determinare il valore di V C (0), notiamo che all istante in cui inizia la scarica del condensatore, fra le armature è presente la stessa d.d.p. esistente ai capi della resistenza R 2 : questo perché come già notato fino a quando il condensatore è carico, nel suo ramo circuitale non scorre alcuna corrente, e dunque nessuna caduta di potenziale si osserva attraverso la resistenza R 3. Il problema si sposta dunque sulla determinazione della d.d.p. fra i capi della resistenza R 2 nella condizione in cui l interruttore è chiuso. In questa situazione, l analisi del circuito si riduce a quella della sola maglia di sinistra, contenente le resistenze R 1 e R 2 in serie con il generatore di tensione. Il problema è quello classico del partitore di tensione: si vuole determinare come si ripartisce la d.d.p. fornita dal generatore ai capi di ciascuna 4

5 Figura 2: Problema 2 delle due resistenze. La soluzione si trova facilmente considerando che la corrente che scorre nel crcuito è pari a V I =, (8) R 1 + R 2 il che comporta che ai capi di ciascuna delle due resistenze (attraverso le quali, essendo collegate in serie, scorre la medesima corrente I) siano presenti le d.d.p. V 1 e V 2 rispettivamente pari a: V 1 = IR 1 = R 1 R 1 + R 2 V V 2 = IR 2 = R 2 R 1 + R 2 V (9) È importante notare che la d.d.p. fornita dal generatore si distribuisce ai capi delle resistenze in misura proporzionale al loro valore. La d.d.p. ai capi della resistenza R 2, e dunque presente sulle armature del condensatore, è allora pari a: V 2 = V C (0) = R 2 V = 250 Ω 12 V 2.73 V (10) R 1 + R Ω Dopo un tempo pari a t = τ dall inizio della scarica del condensatore, fra le sue armature sarà dunque presenta una d.d.p. pari a V C (τ) = V C (0)/e 1 V (11) 5

6 Problema 3 La Figura 3 mostra il circuito di alimentazione di una lampadina a intermittenza. La lampadina fluorescente L è collegata in parallelo al condensatore C di un circuito RC. La corrente scorre soltanto quando il potenziale raggiunge il valore di innesco V L : quando ciò avviene, il condensatore si scarica sulla lampada e produce un lampo molto breve. Si supponga che sia necessario avere due lampi al secondo. Utilizzando una lampada con una tensione d innesco V L = 72 V, una batteria da 95 V e un condensatore da 0.5 µf, quale dev essere la resistenza R del resistore? Figura 3: Circuito di alimentazione di una lampadina ad intermittenza Soluzione Risulta conveniente considerare il comportamento del circuito nel momento appena successivo ad uno dei lampi della lampadina L, quando il condensatore è completamente scarico e il ramo di destra del circuito è aperto (perché nella lampadina non passa corrente): in queste condizioni, il ramo contenente la lampadina non influisce sul comportamento del resto del circuito, che si comporta come un circuito RC con generatore di tensione. Il condensatore, completamente scarico, inizia a caricarsi con costante di tempo τ = RC. Durante la fase di carica, la d.d.p. V C presente fra le armature del condesatore (inizialmente nulla) aumenta nel tempo con legge esponenziale, tendendo per t al valore limite V 0 corrispondente alla d.d.p. fornita dal generatore: V C (t) = V 0 ( 1 e t/τ ) (12) La d.d.p. fra le armature del condensatore è la medesima che viene percepita ai capi della lampadina L: per questo motivo, nel momento in cui V C raggiunge il valore d innesco di 72 V, la lampadina diventa conduttrice e il condensatore si scarica su di essa producendo un lampo. Dopo il lampo, V C torna istantaneamente a zero. L instantaneità del processo di scarica fa in modo che il condensatore possa riportare a zero la d.d.p. fra le sue armature prima che il generatore di tensione possa far sentire nuovamente il suo effetto. Immediatamente dopo il lampo, ricomincia il processo di carica del condensatore (il ciclo si ripete periodicamente: provare a rappresentare graficamente l andamento della tensione V C in funzione del tempo). Secondo quanto richiesto dal problema, occorre chiedere che la tensione d innesco = 72 V venga raggiunta fra le armature del condensatore dopo un tempo pari a V L 6

7 t = 0.5 s dal lampo precedente (cioè dall inizio della carica del condensatore). Dunque si ha: ( V C (0.5) = 72 V ) 1 e 0.5/τ 95 V = 72 V, (13) da cui si trova facilmente che: τ = 1 [ ( ln 1 72 ) 1 ] s (14) 2 95 Dal momento che τ = RC, si trova immediatamente che R 2.33 MΩ. 7

8 Problema 4 Nel circuito di Figura 4 si hanno i seguenti dati: V 1 = 4 V, V 2 = 2 V, R 1 = 1.4 Ω, R 2 = 1 Ω, R 3 = 1.5 Ω, C 1 = 6 µf, C 2 = 3 µf. Si determini l energia immagazzinata nel condensatore C 2. Figura 4: Problema 4 Soluzione L energia E immagazzinata in un condensatore di capacità C, fra le cui armature sia presente una d.d.p. pari a V, è data dalle relazione: E = 1 2 CV 2 (15) Il problema si riconduce dunque alla determinazione della d.d.p. V C2 esistente fra le armature del condensatore C 2. Per determinare il valore di V C2 conviene prima calcolare la d.d.p. V C = V C1 + V C2 presente ai capi del sistema dei due condensatori in serie. Per calcolare V C, iniziamo a semplificare il circuito sostituendo alle due resistente R 2 e R 3 la loro combinazione in parallelo R 23 R 2 R 3 : R 23 = R 2R 3 R 2 + R 3 = 0.6 Ω (16) Ai capi della resistenza equivalente R 23 sarà presente una d.d.p. che indichiamo con V R23. A questo punto, la d.d.p. V C ai capi del sistema dei due condensatori in serie potrà essere trovata equilibrando le d.d.p. lungo la maglia circuitale di destra: V C = V 2 V R23 (17) Occorre adesso trovare il valore di V R23. In questo caso è conveniente notare come la maglia contenente V 1, R 1 e R 23 possa essere studiata indipendentemente dal ramo circuitale contenente i condensatori, perché in quest ultimo non scorre alcuna corrente (nella condizione in cui i condensatori siano carichi). La tensione V 1 si distribuirà dunque ai capi delle resistenze R 1 e R 23 in misura a loro proporzionale (problema del partitore di tensione): la corrente che scorre nella maglia è infatti pari a I = V 1 R 1 + R 23, (18) 8

9 e dunque ai capi delle resistenze si formeranno due d.d.p. pari rispettivamente a: V R1 = IR 1 = V 1R 1 R 1 + R 23 = 2.8 V e V R23 = IR 23 = V 1R 23 R 1 + R 23 = 1.2 V (19) La d.d.p. presenta ai capi del sistema dei due condensatori in serie è allora uguale a: V C = V 2 V R23 = 2 V 1.2 V = 0.8 V (20) Per determinare come questa d.d.p. si distribuisca fra i due capacitori in serie, conviene notare che: il sistema dei due condensatori in serie è equivalente ad un unico condensatore C eq di capacità C eq = C 1C 2 C 1 + C 2 ; (21) la carica Q presente sulle armature di C 1 è esattamente la stessa presente sulle armature del condensatore C 2. Per convincersene basta osservare la Figura 4: se sull armatura superiore di C 1 è accumulata una carica Q, sull armatura inferiore dello stesso condensatore si presenterà una carica opposta +Q. Ma siccome il pezzo di circuito conduttore che collega i due condensatori è del tutto isolato dal resto del circuito, la sua carica complessiva deve annullarsi: questo comporta che sull armatura superiore di C 2 sia presente una carica Q, il che a sua volta determina la presenza di una carica +Q sull armatura inferiore; se il resto del circuito non deve poter distinguere fra la combinazione dei due condensatori in serie e il condensatore equivalente C eq, allora la carica accumulata sulle armature del condensatore equivalente C eq dev essere uguale alla carica Q accumulata sulle armature esterne del sistema dei due condensatori in serie. In base a queste considerazioni possiamo scrivere che: Questo comporta che: V C2 = Q C 2 = Q = C 1 V C1 = C 2 V C2 = C eq V C = C 1C 2 C 1 + C 2 V C (22) C 1 C 1 + C 2 V C = 6 µf 0.8 V 0.53 V (23) 6 µf + 3 µf Come si può notare, in un collegamento in serie fra due capacitori la d.d.p. totale si distribuisce in maniera del tutto opposta al caso delle resistenze. Una volta trovato il valore di V C2, si trova immeditamente l energia immagazzinata nel condensatore C 2 : E = 1 2 CV 2 = J (24) 9

10 Problema 5 (dei due condensatori) Un condensatore di capacità C viene caricato con una carica Q 0, e poi collegato ad un condensatore identico, scarico, come in Figura 5a. Ad un certo istante l interruttore viene chiuso, come in Figura 5b. Si determini l energia immagazzinata dal sistema dei due condensatori prima e dopo la chiusura dell interruttore, e si discuta il risultato. Soluzione Prima della chiusura dell interruttore, sul condensatore di destra non è presente alcuna carica. Si noti che le armature inferiori dei due condensatori sono collegate da un conduttore, e la carica Q tenderebbe dunque a distribuirsi in maniera simmetrica fra i due condensatori uguali; tuttavia, le armature superiori sono scollegate fra di loro e del tutto isolate: questo comporta che la loro carica determini forzatamente quella delle armature inferiori, che non hanno così modo di equilibrarsi. Ad interruttore aperto, dunque, l energia del sistema sarà immagazzinata all interno del solo condensatore carico: E i = 1 Q 2 0 (25) 2 C D altra parte, quando l interruttore viene chiuso e le cariche hanno modo di equilibrarsi fra le armature dei due condensatori, la situazione è tale che in entrambi i condensatori sarà accumulata una carica pari a Q/2. Questo comporta che l energia totale sia ora: Q 2 0 Q 2 0 E f = 1 2 4C C = 1 4 Q 2 0 C = E i 2 L energia immagazzinata nei due condensatori nello stato finale è dunque pari alla metà dell energia iniziale. Dov è finita l altra metà? (26) (a) Stato inziale (b) Stato finale Figura 5: Problema dei due condensatori L unica possibilità è che una parte dell energia presente nello stato iniziale sia stata dissipata in qualche modo, nel passaggio allo stato finale. Il problema ideale presentato in Figura 5 non offre meccanismi di dissipazione, ma nella realtà sappiamo ad esempio che le connessioni fra i due condensatori presenteranno sempre una certa resistenza R: il passaggio della carica dal primo al secondo condensatore, tra lo stato iniziale e quello finale, determina la dissipazione di energia sotto forma di calore all interno dei collegamenti. 10

11 Figura 6: Problema dei due condensatori con resistenza dissipativa Per studiare questa ipotesi, inseriamo nel circuito una resistenza R rappresentativa della resistenza complessiva dei circuiti di collegamento fra i condensatori, come in Figura 6. A questo punto, indichiamo con Q(t) la carica istantanea (assunta positiva) presente sull armatura superiore del primo condensatore (quello inizialmente carico), ed equilibriamo istante per istante le cadute di potenziale lungo il circuito: Q C Q 0 Q + R dq C dt = 0. (27) I segni relativi sono determinati dalle seguenti considerazioni: la d.d.p. fra le armature del condensatore inizialmente scarico (secondo termine nell Eq. 27) è certamente diretta in senso opposto a quella presente fra le armature del condensatore inizialmente carico, perché le armature a contatto accumulano cariche di segno uguale la corrente che scorre fra i due condensatori produce ai capi della resistenza una d.d.p. che va nel verso opposto di quella presente fra le armature del condensatore che si sta scaricando, come è facile notare valutando il verso della corrente in Figura 6. Dunque il terzo termine dell Eq. 27 dovrà avere un segno opposto a quello del primo termine. Ma d altra parte, il differenziale dq che compare nella derivata al terzo termine è negativo, perché stiamo considerando il caso in cui Q sia positiva, e nel tempo il suo valore tende a diminuire per via della scarica del condensatore. Dunque per far sì che il terzo termine dell Eq. 27 sia negativo rispetto al primo termine, occorre considerarlo rispetto a quest ultimo con un segno + relativo. Dall Eq. 27 si ha: 2Q Q 0 RC = dq dt dq Q Q 0 /2 = 2 dt RC (28) Indicando le variabili di integrazione come t = t e Q = Q, è allora possibile scrivere: Q(t) Q 0 dq Q Q 0 /2 = 2 RC t 0 ( dt ln Q(t) Q 0 2 ) ( ln Q 0 Q 0 2 ) = 2t RC (29) da cui: ln ( ) 2Q(t) 1 = 2t Q 0 RC Q(t) = Q 0 2 ( 1 + e 2t/RC ). (30) 11

12 Da qui si trova anche il valore istantaneo della corrente. Ricordando che dq è negativo, si ha: I(t) = dq dt = Q 0 RC e 2t/RC (31) L energia dissipata per effetto Joule all interno della resistenza R vale allora: E J = 0 I 2 (t)r dt = Q2 0 e 4t/RC dt = Q2 0 RC RC 2 0 RC 2 4 = Q2 0 4C = E i 2 Come si può notare, ora il bilancio energetico è corretto: (32) E i = E f + E J. (33) 12