Appunti tratti dal videocorso di Elettrotecnica 1 del prof. Graglia By ALeXio

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1 Appunti tratti dal videocorso di Elettrotecnica 1 del prof. Graglia By ALeXio Parte f Variabili di stato In un dato istante di tempo, l energia immagazzinata nell elemento reattivo (condensatore od induttore) dipende dal valore istantaneo della tensione o della corrente sull elemento reattivo stesso: condensatore ideale: induttore ideale: L energia complessivamente immagazzinata in una rete in un dato istante di tempo è la somma delle energie immagazzinate nei suoi elementi reattivi. Le tensioni sui condensatori e le correnti negli induttori definiscono dunque lo stato della rete. Le tensioni sui condensatori vc(t), e le correnti negli induttori il(t) sono le variabili di stato di una rete. Se la rete modella il problema reale che si vuole studiare in modo adeguato, la tensione sui condensatori e la corrente negli induttori non può bruscamente variare Improvvise variazioni dell energia immagazzinata in un dato elemento reattivo presuppongono infatti l esistenza di elementi in grado di fornire potenza istantanea infinita. Le variabili di stato di una rete sono le tensioni sui condensatori vc(t), e le correnti negli induttori il(t). Per reti nondegeneri le variabili di stato sono funzioni continue del tempo.

2 Rete degenere con un solo condensatore. Modello inadeguato di un circuito fisicamente realizzabile

3 Rete degenere con un solo induttore. Modello inadeguato di un circuito fisicamente realizzabile

4 Data una rete (non degenere) con un solo elemento reattivo, se la variabile di stato è nota per tutti i tempi t, allora tutte le possibili uscite sono ricavate studiando una rete puramente resistiva, rete ottenuta invocando il principio di sostituzione La precedente osservazione riconduce il problema dell analisi di transitorio a quello di determinare l andamento nel tempo della sola variabile di stato vc(t), oppure il(t). Questo problema viene risolto una volta per tutte considerando l equivalente Thevenin o Norton visto dall elemento reattivo ai suoi due morsetti, equivalente relativo al bipolo resistivo (privo di dinamica) così come si presenta nell intervallo di tempo considerato (t>t* interruttori attivati)

5 Equazione di stato Rete (non degenere) con un condensatore. Supponendo che l istante di attivazione sia t*= 0 Rete (non degenere) con un induttore. Supponendo che l istante di attivazione sia t*= 0 Formula del transitorio valida per la variabile di stato:

6 Occorre conoscere tre quantità: 1. la costante di tempo - 2. la soluzione a regime - 3. la condizione iniziale La costante di tempo È una proprietà della rete resa passiva La soluzione a regime Tutti gli ingressi (generatori) presenti nella rete sono in continua; quindi tutte le tensioni e tutte le correnti a regime sono costanti. Le equazioni costitutive degli elementi reattivi mostrano che in regime stazionario permanente (in continua) il condensatore si comporta come un circuito aperto e l induttore come un cortocircuito Anche la soluzione a regime si ricava dunque analizzando una rete puramente resistiva

7 La condizione iniziale La tensione sul condensatore al tempo t=0 oppure la corrente nell induttore al tempo t=0 sono: assegnate e note; oppure debbono essere dedotte supponendo la rete in condizioni di regime al tempo t=0-, prima di attivare gli interruttori in questo caso occorre aver già studiato (o studiare) la rete per t<0 Equazione di uscita Si supponga, per esempio, di voler calcolare l uscita ir(t) per t =0+. E0 ed A0 sono costanti nel tempo L uscita ir(t)=y(t) è data dalla seguente formula del transitorio sovrapposizione degli effetti Occorre conoscere tre quantità: 1. la costante di tempo - 2. la soluzione a regime - 3. la condizione iniziale y(t=0+) La costante di tempo È una proprietà della rete resa passiva

8 La soluzione a regime Si ricava analizzando una rete puramente resistiva La condizione iniziale Si ricava imponendo la continuità dello stato La formula del transitorio in questo caso porge: notare che

9 Analisi di transitori: esempio 1 Un alimentatore con tensione V0 e resistenza R carica un condensatore C, inizialmente scarico. Quanto vale l energia erogata dal generatore? L energia erogata dal generatore non dipende dal valore di R, ed il processo di carica del condensatore ha rendimento ½

10 Esempio 2 Calcolare e diagrammare v(t) ed il(t) per t =0+ Condizioni iniziali Calcolo la corrente il nell induttore (variabile di stato) prima dell apertura dell interruttore, al tempo t =0 Supponendo la rete in condizioni di regime stazionario permanente (=in continua) al tempo t =0 Si osserva v(0 -) = -3/2 V. Non è però necessario conoscere questo valore per esprimere la soluzione per t>0 (occorre solo ricavare la variabile di stato al tempo t=0) Condizioni iniziali Al tempo t =0+, appena attivato l interruttore, la corrente nell induttore rimane la stessa di quella al tempo t =0 -. Calcolo la tensione v al tempo t =0+ Appena attivato l interruttore, al tempo t =0+: Corrente il (0+)=-0,5 A Tensione v (0+)=+1 V

11 Condizioni di regime In condizioni di regime stazionario permanente (=in continua), per t, l induttore si comporta come un corto circuito Costante di tempo È comunque una proprietà della rete resa passiva (generatori indipendenti spenti), anche se nel nostro caso la rete in analisi non contiene nessun generatore. La resistenza vista dall induttore ai suoi due morsetti (con interruttore aperto) vale Req=2+3=5 ohm. La costante di tempo t vale t=l/req=6/5 s Soluzione Le condizioni iniziali e di regime trovate, e la costante di tempo porgono, per t = 0+

12 Esempio Noto l andamento temporale di e(t) fornire un espressione analitica per la corrente i(t). Nota: Si debbono studiare due transitori. La costante di tempo dei due transitori è però la stessa Costante di tempo La costante di tempo è una proprietà della rete resa passiva. La resistenza vista dal condensatore vale Req=2//2+2=3 ohm, che porge t=req C=6s Condizione iniziale Per tutti i tempi t<0, il generatore di tensione è spento e quindi il condensatore, in t=0-, si può supporre scarico, si ha cioè vc(0)=0. Al tempo t=0+ si misura una corrente i(0+)=5/3 A Primo transitorio: per 0<t<1 Condizione di regime La rete va a regime come se la tensione del generatore rimanesse sempre costante ed uguale a +10V

13 La tensione sul condensatore Condizione iniziale del secondo transitorio Secondo transitorio: per t>1 (dove si ha e(t)=-10v per ogni t>1s) Condizione iniziale Al tempo t=0+ la tensione sul condensatore vale risultato che porge corrente

14 Condizione di regime La rete va a regime per tensione del generatore costante ed uguale a -10V Soluzione per t>1 per t>1 si ottiene con Soluzione dove

15 Esempio Noto l andamento temporale di e(t) fornire un espressione analitica per la tensione v(t) Equazione KVL: v(t)=e(t)-r ix(t). Posso calcolare ix(t). Conviene utilizzare l equivalente Thevenin ai morsetti AB. Equivalente Thevenin - Prova a vuoto. Si ottiene subito vab(t)=e(t) (a vuoto) Equivalente Thevenin - Prova in cortocircuito. Si ottiene subito icc_ab=3 e(t)/4r. Da cui si ottiene Req=VAB/icc_AB=4R/3 equazione pilota

16 Abbiamo ricondotto il problema originale (figura a sinistra) al calcolo della corrente ix(t) nel circuito di destra, con equazione (KVL) che porge: v(t)=e(t)-r ix(t) Costante di tempo: t =ReqC =8 s. Condizione iniziale: 3 ix(0+) = e(t=0+)/req =3 A da cui ix(t=0+) = 1 A. Soluzione a regime ix8 =0, A con equazione finale (KVL): v(t)=e(t)-r ix(t) Soluzione: cond. iniziale v(0+)=6v, soluz. a regime v8 =8 V

17 Esempio Sapendo che la tensione iniziale sul condensatore è nulla, calcolare la tensione vab(t), e le correnti i(t), ic(t) ed i*(t) La tensione ai capi del condensatore tende esponenzialmente, con costante di tempo 100 microsecondi, alla tensione di 100 V, ma non li raggiunge perchè il diodo inizia a condurre quando questa tensione prova a superare i 50 V