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1 A. Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES.. Esprimere la corrente i(t) in termini di fasore nei seguenti tre casi: a) i(t) = 4sin(ωt.4) b) i(t) = 0sin(ωt π) c) i(t) = 8sin(ωt π / ) isultato: a) I = 4exp( j.4) ; b) I = 0 ; c) I = 8 j. ES..4 - Si consideri il circuito in figura, determinando tale che la parte immaginaria dell impedenza vista ai capi dei morsetti risulti Im { Z & } = 00 Ω. = 0 µ F f = khz ES.. Valutare (in forma cartesiana e polare) le impedenze viste ai capi dei morsetti: ( a ) = 0 Ω = mh 4 ω = 0 rad / s isultato: a) Z & = 0 0 j = 0 exp( jπ / 4) Ω ; b) Z & = 8.54 j = 4 exp( j0.965) Ω ; c) Z & = 8 0 j =.5exp( j.9) Ω ; = 8 Ω, ( b ) = 0.4 mf, = 5 mh f = 50 Hz = 00 Ω, ( c ) = 0 µ F, ω =.5 0 = 6 mh 3 rad / s ES..3 e seguenti coppie di fasori esprimono tensione e corrente relative ad un dato bipolo. Dire, nei tre casi, se si tratta di un resistore, un condensatore o un induttore e valutare il valore dei parametri corrispondenti, o a) v(t) = 5cos(400t.), i(t) = 3sin(400t.) ; b) v(t) = 8cos(900t π / 3), i(t) = sin(900t π / 3) ; c) v(t) = 0cos(50t π / 3), i(t) = 5sin(50t 5π / 6) ; j. j(. π / ) a) V = 5e, I = 3e. Posto V = ZI & si ha che: V arg(z & ) = arg(v ) arg(i ) = π Z & = jω = =.5 mh. I ω jπ / 3 j(π / 3 π / ) jπ / 6 b) V = 8e, I = e = e. Posto V = Z & I si ha che: I arg(z & ) = arg(v ) arg(i ) = π Z & = j = = 0.8 mf. ω V ω jπ /3 j(5π / 6 π / ) jπ /3 c) V = 0e, I = 5e = 5e. Posto V = Z & I si ha che: V arg(z & ) = arg(v ) arg(i ) = 0 Z & = = = 4 Ω. I 'impedenza totale vista ai capi dei morsetti è ( jω) /( jω) ω &Z = = j, j(ω / ω) ω quindi basta imporre & ω Im{Z}= = 00 =.9 mh. ω ES..5 - A quale di queste impedenze corrisponde la fase ϕ = π / 4? : - serie : - serie 3: - parallelo 4: - serie = 0 Ω = 0 Ω = 0. 5 Ω = F = 0 mh = 0 mf = 0. F = H ω = 00 rad / s ω = 00 rad / s ω = 0 rad / s ω = rad / s & π aso 3: Z = = = = 0.5( j) ϕ = tg ( ) =. Y & / jω j 4 ES..6 - Dati i seguenti fasori V = 0 exp( jπ / 6), V = 0 exp( jπ / 6), V = 5exp( jπ / 3) : 3 a) rappresentare nel piano complesso i fasori V, V, V ; 3 b) calcolare i fasori: V V, V V, V V, V V ; 3 3 c) rappresentare nel piano complesso i fasori valutati al punto b) d) rappresentare nel tempo le tensioni corrispondenti ai fasori dei punti a) e b), definito la trasformazione fasoriale come segue: v(t) =V M sin(ωt α) V =V M exp( jα)

2 A. Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver A. Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver Equivalenza, sovrapposizione degli effetti, potenza. ES..3 - Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dall induttore. a ES.. - on riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza generatore e la potenza complessa S & erogata dal generatore. j ( t) = 0sin = Ω = H = 0.5 F Z & ( t) i ( t ) = 0 sin(00t 0.35) A = 4 Ω, = 3 mf, = mh, = 5 mh b Trasformiamo preliminarmente la rete in una rete di impedenze: j0.35 J = 0e, Z = 3.33 j, Z & = 0. j, Z& = 4, Z& = 0.5 j 'impedenza uivalente nel circuito di Thévenin si valuta risolvendo la rete seguente: &Z Z & = Z & //(Z & Z & ) =.7 j.985 Ω. J = 0, Z & = j /(ω) = j, Z & = jω = j, Z & = =. a tensione a vuoto, invece, si può calcolare a partire dalla Z & Z & V I corrente che circola in Z & c, a sua volta ottenuta con un partitore 'impedenza di ingresso vista dal generatore è data da: di corrente: Z& & & & & = Z //[ Z // Z Z ] = 0.8 j0.4 Ω. Z & & Z E = Z & I = Z & 0 J = j.4 Ω. a potenza complessa erogata da si valuta facilmente una volta nota Z & : Z& & & Z Z ( ( J & & & (0.8 j0.4)00 A isolvendo la rete uivalente ottenuta, si ha che J V J J = Z JJ = Z J = = 40 j0. E 0 j.76 I = = j0.570 = 0.577e A. Z & Z& ES.. - on riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza Z& vista ai capi del andamento della corrente nel tempo è allora dato da: generatore e le correnti i (t) e i (t) i (t) = sin(00t.76) A i (t) i (t) e(t) = 0cos(000t) V vista ai capi del A a potenza complessa assorbita da sarà puramente reattiva: e(t) = 0 Ω = 0 mh A & = jx I = 0.67 j VAr. = 0. mf Z & Z & E 0 isultato: Z & = 5 j 5 Ω ; i ( t) = 0.45cos( 000t.) A, i (t) = sin(000t) A. a potenza istantanea si può valutare, in generale, dalla conoscenza di corrente e tensione: p (t) = v (t)i (t), ma in questo caso particolare (elemento dinamico) basta la sola conoscenza della i (t) : di (t) di (t) p (t) = v (t)i (t) = i (t) = = 0.67sin(00t.60)W. dt dt 3 4

3 A. Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver A. Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES..4 - on riferimento al seguente circuito valutare la corrente i (t). ES..6 riferimento al seguente circuito valutare la reattanza da inserire in - on parallelo al generatore in modo che l'impedenza complessiva vista dal generatore stesso assorba la stessa potenza media di prima ma abbia una fase j (t) = 0cos(000t) A ϕ tale che cos ϕ = 0.9 ( rifasamento) e la corrente assorbita sia in ritardo j (t) = 0sin(000t) A rispetto alla tensione. j = Ω ( t ) j ( t ) = mh e(t) e(t) = 00sin(ωt) V i (t) = mf 4 ω = 0 rad/s, = 50 Ω = 0 µf, =. mh J = j0 A, J = 0 A, Z & = j Ω, Z & = jω = j Ω, Z & = = Ω,. E = 00V, Z & = 0 j Ω, Z & = j Ω, Z & = 50 Ω. Questa rete può essere risolta con la sovrapposizione degli effetti. Il contributo del solo generatore J si ottiene dalla rete in cui J è stato sostituito con un circuito aperto: 'impedenza uivalente vista dal generatore è Z & Z& Z & Z & Z & I = J = 3.33 A, av endo posto Z & = = 0.4-j0.8 Ω Z & = Z& =.9 j.38 Ω, Z & Z& Z & Z& Z & Z& Il contributo del solo generatore J quindi la potenza complessa erogata dallo stesso sarà si ottiene dalla rete in cui J è stato sostituit o con un circuito aperto: ( ( EE E & A & = P jq = EI = ( = ( =.0 kw j.7 kvar. Z I = J = j3.33 A & &. Z Z Z & Z& Il fattore di potenza è pari a Si ha, quindi I = I I = 3.33( j) = 4.7exp( 0.78 j) A cosϕ = cos[tg (Q / P)] = 0.63 quindi occorre inserire un'opportuna Z & tra l'impedenza Z & x ed il generatore in modo che a cui corrisponde, nel tempo la corrente l'impedenza complessiva Z & TOT verifichi tale richiesta. Affinché tale inserzione non alteri la i (t) = 4.7sin(000t 0.78) A tensione, Z & x deve essere posta in parallelo al generatore. Per lasciare invariata anche la potenza media l impedenza deve essere puramente reattiva: Z & x = jx.per stabilire il valore di tale reattanza si può ES..5 - Applicando il teorema di Norton, valutare la potenza complessa e la potenza applicare il principio di conservazione delle potenze, che E Z & Z & x istantanea assorbita dal parallelo - in figura. impone, dopo l'inserzione di Z & x : P = P, Q = Q Q des des x. e(t) = 5 sin(000t π / 3)V a potenza reattiva Q x si può quindi valutare come segue: e(t) = 0. Ω, =. mh Q des = P des tgϕ des = Ptg[cos (0.9)] Q x = Ptg[cos (0.9)] Q = 0.77 kvar =.3 mf. Imponendo la condizione desiderata su ϕ si ottiene una Q negativa, il che significa che Z & x x è un'impedenza capacitiva. icordando l'espressione della potenza reattiva assorbita da un condensatore ai capi del quale sia nota la tensione si può valutare il valore di capacità isultato: A & = 9.7 W j7.68 VAr; p(t) = cos(000t.7)] W. necessario: E Q x Q x = ω = ωe = 3.87 µf. 5 6

4 A. Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver A. Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES..7 - on riferimento al seguente circuito, calcolare la potenza attiva P e la potenza reattiva Q assorbita dalla serie. j ( t ) j ( t ) ES..9 - Valutare la corrente che circola nel condensatore e la potenza complessa da ess o assorbita. j (t) = 4cos(4t) A j i(t (t) = cos(4t π / 3) A ) = sin(πft 0.) A, = = Ω e(t) e(t) = 0 cos(πft) V, f = 50 Hz = = H = Ω, = mf, = 3 mh = F isultato: i(t) = 3.5sin(πft 0.3) A; A & = -j5.80 VAr. jπ / 3 J = 4, J = e, Z & = j / 8 Ω, Z & = Z & = 4 j Ω. Applicando la sovrapposizione degli effetti, valutiamo il contributi dovuti a J ed a J Pertanto si ha &Z I = J =.03 j0.0 A, Z & Z & Z& Z & Z& I = J = 0.50 j0.85 A. Z & Z & Z & I = I I =.53 j0.84 =.75exp( j0.50) A, quindi la potenza complessa assorbita da Z & sa rà ES..0 - Valutare la potenza istantanea e complessa assorbita da. j (t) j (t) isultato: p(t) = 4.74[ sin(4πft 6.0) W; A & = 4.74 W. j (t) = sin(πft) A, j (t) = sin(πft π/ 4) A, f = 50 Hz =.3 Ω, =.0 mf, =. mh ( 4 j A & = P jq = V I = Z & I =.75 = 3.06 W j7. VAr. Nota: si svolga l esercizio utilizzando l uivalente di Thévenin ai capi della serie considerata. ES.. - on riferimento alla seguente rete in regime sinusoidale, valutare: a) il circ uito uivalente di Thévenin ai capi di ES..8 - Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dal condensatore. b) la corrente circolante in c) la potenza istantanea e complessa assorbita da. = cos(0t 0.3) A = Ω = Ω = 0. H = 0. F e(t) i a e(t) = 0 sin(ωt π/ 3) V, = sin(ωt π/ 4) A, ω = 0 rad / s =. Ω, = 3.3 Ω, b = 4. mf, = 3. mh 3 isultato: A & = j0.49 VAr; p(t) = cos(000t 3.)] W. is ultato: a) Z & = 0.05 j.97ω; E =.09 i0.76 V 0 b) i(t) = 0.7sin(000t.08) A c) A & = 0.8 W; p(t) = 0.8[ sin(000t.5)] W 7 8

5 A. Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver A. Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver Doppi-bipoli, generatori pilotati, regime periodico. Z & I = J = 0 3 e j3.3 i (t) = cos(00t 3.3) ma. Z & Z & Z & ES on riferimento al seguente circuito, valutare: Z & I = J = e j3. i (t) = sin(00t 3.) A. a) la matrice delle ammettenze Y & del doppio-bipolo visto ai capi dei generatori; Z& & & Z Z b) la potenza complessa A & erogata dai generatori; Quindi la corrente che circola in sarà i (t) e ( ) t i (t) 3 i(t) = i (t) i (t) = 0 cos(00t 3.3) sin(00t 3.) A. e (t) = 0cos(000t) V Nota la corrente si può calcolare la potenza istantanea assorbita da e quindi la potenza media: T T T T T e (t) e (t) = 0sin(000t) V π π P = p(t)dt = i (t)dt = i (t)dt i (t)dt i (t)i (t)dt T = max, = Ω = mh = mf T T T T T ω ω I primi due contributi rappresentano le potenze medie dissipate nei circuiti I e II, quindi sono: isultato: a) Y & = 0.5 Ω, Y & m = 0.5 j Ω, Y & = 0.5 j Ω ; T T 6 i (t)dt = I = W, er er i (t)dt = I = 0.5 W b) A & = 75W, A & = 50W j00var. T T 0 0. ES. 3. -on riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal T resistore e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie. j (t) 'ultimo contributo è nullo perché per ω ω si ha: cos(ωt α)sin(ω t β)dt = 0 α,β i 0. j (t) j (t) = cos(00t) A In definitiva se ω ω è possibile sovrapporre le potenze medie: P 0.5 W. j (t) = sin(00t) A = Ω = mh ES on riferimento al seguente circuito, valutare la corrente i(t). = 0. mf i(t) = J m cosωt Poiché i generatori non sono isofruenziali, cioè ω ω, il circuito non ammette un regime 6 J m = A, ω = 0 rad / s sinusoidale ma un regime periodico e quindi non è possibile trasformare la rete in una rete di E E = V impedenze. Tuttavia, essendo la rete lineare, si può applicare la sovrapposizione degli effetti e ricavare la corrente che circola in come i = i i, dove i si ricava dal circuito ausiliario I e = Ω, = mh, = mf i dal circuito ausiliario II. i a corrente i(t) si può calcolare con la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo: I iascuna di queste due reti può essere rappresentata da una rete di impedenze: j ( ) t i(t) = i i (t). Il contributo i è dovuto al solo generatore di tensione e si ottiene tenendo conto che, in regime stazionario, l'induttore si riduce ad un corto-circuito ed il condensatore ad un circuito aperto: i = E / =/ A. Il contributo i (t) è dovuto al solo generatore e si ottiene risolvendo la rete in regime sinusoidale: rete I: J =, Z & = 00 j, Z & = 0. j, Z & =. J =, Z& & & =, Z = j0 3, Z = j0 3. rete II: J =, Z & = 50 j, Z & = 0. j, Z & =. Posto Z & = Z & // Z & Z & a, la corrente I si ottiene con un semplice partitore di corrente: Applicando i partitori di corrente: &Z jπ / 3 & & Z Z a I = J 0 j0 j0 =0 e i (t) = 0 sin(ωt) A. 9 0

6 A. Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver A. Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES on riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal ES Il circu ito seguente riproduce lo schema uivalente di un amplificatore a resistore e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie. transistor per alta fruenza. Determinare la tensione ai capi del resistore U. = 4 A e(t) = 0cos(0t) V = Ω = Ω e(t) = 0. H = 0 mf v S (t) S v in i o gv in (t) U v (t) = 0 cos(ωt) V S 8 ω = 0 rad / s v U S = o = Ω, i = 5 Ω = ph = nf g = 00 Ω isultato: P = 0.4 kw. isultato: v U (t) = 95.9cos(ωt 3.06). ES Valutare l'uivalente di Thévenin ai capi dei morsetti -'. i(t) e(t) = sin(ωt π / 6) V = Ω r = 3 Ω e(t) ri(t) X = 4 Ω X = Ω Passando alla rete di impedenze si avrà: jπ / 6 E = e, Z & = j, Z & = 4 j, Z & =. ES kv on riferimento al seguente circuito valutare la corrente i (t) nel circuito primario. i (t) e(t) = 0 sin(000t) V = Ω = 00 Ω e(t) = 3 mh = 00 mh M = 0 mh Per calcolare V 0 basta applicare la KT alla maglia di sinistra della rete Poiché M l' accoppiamento non è perfetto. E = Z & E I ri I = Z & r = j0.57 Posto =, possiamo scegliere in modo che l'aliquota verifichi le condizioni di. accoppiamento perfetto = M : Applicando un partitore di tensione si ha, quindi: Z & = M = M / = mh. j0.06 V 0 = ri =.070 j0.064 =.07e V. Z & Z & A questo punto il circuito uivalente sarà il seguente Per calcolare Z & occorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè E. Applicando ancora la la KT alla maglia di sinistra della rete: 0 = Z & I ri I = 0 e(t) a = = 0. quindi nella rete per il calcolo di Z & risulta spento anche il generatore controllato, visto che la M sua variabile di controllo è nulla, per cui in definitiva: Z& Z& Z & = = 0.4( j) Ω & & Per la formula del trasporto dell'impedenza in un trasformatore ideale, il circuito è anche Z Z uivalente al seguente: i ( ) t a

7 A. Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver i (t) e(t) a Trasformato il circuito in una rete di impedenze, nella quale si è introdotto il fasore E = 0 V, l'impedenza uivalente vista dal generatore è: da cui & a jω Z = jω = j Ω a jω E 5 5 jπ / 4 I = = ( j) = e A i (t) = 5sin(000t π / 4) A. Z & ES on riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa assorbita dal condensatore. = 0 cos(00t) A = = 5 Ω = mh, = 4 mh M = mh, =.5 mf isultato: A & = j5. VAr 3