Passività e relazioni costitutive

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1 1 Cosa c è nell unità 1/3 Passività e relazioni costitutive Potenza entrante Passività Relazioni costitutive Bipoli ideali Resistore ideale Generatori di tensione Generatori ideali di corrente Principio di equivalenza Induttore ideale Condensatore ideale 2

2 Cosa c è nell unità 2/3 Multipoli e Multiporta Multipoli Multiporta Principio di sostituzione ed applicazioni Principio di sostituzione Circuiti elementari Resistore costituito da una rete di resistori Connessioni serie - parallelo Connessione in serie di resistori Connessione in parallelo di resistori 3 Cosa c è nell unità 3/3 Esempi per connessione serie-parallelo Altri tipi di connessione Reti a scala e non a scala Serie-parallelo e reti a scala Reti non a scala Trasformazione triangolo-stella Trasformazione stella-triangolo Esempio stella-triangolo 4

3 Bipoli, multipoli e circuiti elementari 5 Passività e relazioni costitutive 6

4 Bipoli elettrici - potenza entrante Tensione e corrente su di un bipolo si possono misurare secondo la convenzione 1.degli utilizzatori 2.dei generatori 7 Bipoli elettrici - potenza entrante Tensione e corrente su di un bipolo si possono misurare secondo la convenzione 1.degli utilizzatori 2.dei generatori Convenzione degli utilizzatori vi = potenza entrante Convenzione dei generatori vi = potenza uscente 8

5 Passività e relazioni costitutive 9 Bipoli elettrici passività L energia w(t) fornita ad un bipolo è l integrale della potenza entrante; secondo la convenzione degli utilizzatori si ha: t wt () = vt (') it (')d t' 10

6 Bipoli elettrici passività L energia w(t) fornita ad un bipolo è l integrale della potenza entrante; secondo la convenzione degli utilizzatori si ha: t wt () = vt (') it (')d t' Il bipolo viene definito passivo se, qualunque sia la tensione o la corrente su di esso, per qualsiasi istante di tempo t l energia fornita al bipolo non è mai negativa wt () 0 11 Passività e relazioni costitutive 12

7 Bipoli elettrici relazioni costitutive Esiste un legame tra tensione e corrente relazione costitutiva, che classifichiamo con 4 proprietà: 13 Bipoli elettrici relazioni costitutive Esiste un legame tra tensione e corrente relazione costitutiva, che classifichiamo con 4 proprietà: 1. tipo di comando 14

8 Bipoli elettrici relazioni costitutive Esiste un legame tra tensione e corrente relazione costitutiva, che classifichiamo con 4 proprietà: 1. tipo di comando 2. linearità o meno del dispositivo 15 Bipoli elettrici relazioni costitutive Esiste un legame tra tensione e corrente relazione costitutiva, che classifichiamo con 4 proprietà: 1. tipo di comando 2. linearità o meno del dispositivo 3. memoria od assenza di memoria 16

9 Bipoli elettrici relazioni costitutive Esiste un legame tra tensione e corrente relazione costitutiva, che classifichiamo con 4 proprietà: 1. tipo di comando 2. linearità o meno del dispositivo 3. memoria od assenza di memoria 4. tempo invarianza (dispositivo autonomo oppure no) 17 Bipoli elettrici tipo di comando a, b, c funzioni note del tempo: 3 2 dv () = () sin () [ ] it av t b c vt dt di = [ ] 3 vt () ai () t bcos it () c dt 3 2 di i t a = bvt c vt 3 [ ] () () sin () dt comandointensione comandoincorrente comandoibrido 18

10 a, b, c funzioni note del tempo: Bipoli elettrici linearità di it () a = bvt () c vt (') d' t dt t bipololineare 3 vt () = ai ( t) bipolo non liear n e 19 Bipoli elettrici memoria Il bipolo è privo di memoria quando la relazione costitutiva esprime un legame solo fra la tensione e la corrente allo stesso istante di tempo 20

11 Bipoli elettrici memoria Il bipolo è privo di memoria quando la relazione costitutiva esprime un legame solo fra la tensione e la corrente allo stesso istante di tempo Il bipolo ha memoria quando la relazione costitutiva riguarda anche valori di tensione o di corrente relativi ad istanti di tempo diversi da t 21 Bipoli elettrici memoria Il bipolo è privo di memoria quando la relazione costitutiva esprime un legame solo fra la tensione e la corrente allo stesso istante di tempo Il bipolo ha memoria quando la relazione costitutiva riguarda anche valori di tensione o di corrente relativi ad istanti di tempo diversi da t t di it () a = bvt () c vt (') d' t dt bipoloconmemoria 3 vt () = ai ( t) bipolo privo di memoria 22

12 Bipoli elettrici invarianza temporale Bipolo autonomo o tempo invariante quando la relazione costitutiva non dipende daltempo 23 Bipoli elettrici invarianza temporale Bipolo autonomo o tempo invariante quando la relazione costitutiva non dipende daltempo Bipolo variabile nel tempo quando la relazione costitutiva è funzione del tempo 24

13 Bipoli elettrici invarianza temporale Bipolo autonomo o tempo invariante quando la relazione costitutiva non dipende daltempo Bipolo variabile nel tempo quando la relazione costitutiva è funzione del tempo di it () a = bvt () c vt (') d' t dt t abc,, tuttecostantineltempo bipolo autonomo, altrimenti bipolo non autonomo - variabile nel tempo. 25 Bipoli, multipoli e circuiti elementari 26

14 Bipoli ideali 27 Resistore ideale Relazione costitutiva (convenzione degli utilizzatori): v(t)=r i(t) Relazione costitutiva (convenzione dei generatori): v(t)=-r i(t) 28

15 Resistore ideale Relazione costitutiva (convenzione degli utilizzatori): v(t)=r i(t) Relazione costitutiva (convenzione dei generatori): v(t)=-r i(t) Bipolo passivo se la resistenza R > 0 t t 2 () = (') (')d ' = (')d ' 0 wt vt it t R i t t 29 Resistore ideale La resistenza R ha dimensioni di Volt/Ampere La resistenza si misura in Ohm [O] 30

16 Corto circuito Bipolo corto circuito quando la resistenza vale 0 ohm R = 0 31 Circuito aperto Se la resistenza è non nulla la relazione costitutiva può essere scritta con comando in tensione (convenzione dei generatori): i(t)=g v(t) dove G è la conduttanza (dimensioni Siemens) Il caso G =0 definisce il bipolo circuito aperto 32

17 Interruttore ideale Il cortocircuito ed il circuito aperto consentono di definire il bipolo (tempo-variante) interruttore a sinistra: interruttore che si apre al tempo t a destra: interruttore che si chiude al tempo t 33 Bipoli ideali 34

18 Generatore ideale di tensione È il bipolo con tensione tra i suoi morsetti nota, qualunque sia la corrente che lo attraversa Relazione costitutiva: v(t)=e(t), " i(t) di solito siapplica la convenzione dei generatori, come indicato in figura a destra 35 Generatore ideale di tensione Un generatore ideale di tensione nulla, cioè un generatore ideale di tensione SPENTO, è equivalente ad un cortocircuito Relazione costitutiva: v(t)=0, " i(t) 36

19 Bipoli ideali 37 Generatore ideale di corrente È il bipolo con corrente che lo attraversa nota, qualunque sia la tensione tra i suoi morsetti Relazione costitutiva: i(t)=a(t), " v(t) di solito siapplica la convenzione dei generatori, come indicato in figura a destra 38

20 Generatore ideale di corrente Un generatore ideale di corrente nulla, cioè un generatore ideale di corrente SPENTO, è equivalente ad un circuito aperto Relazione costitutiva: i(t)=0, " v(t) 39 Bipoli ideali 40

21 Principio di Equivalenza In base al principio di sostituzione il bipolo A può essere sostituito da un generatore ideale di tensione 41 Principio di Equivalenza In base al principio di sostituzione il bipolo A può essere sostituito da un generatore ideale di corrente 42

22 Bipoli ideali 43 Induttore ideale Relazione costitutiva: di vt () = L d t L è l induttanza, si misura in H [Henry] con convenzione utilizzatori L>0 Questo dispositivo ha memoria: vt () = L lim it it t t 0 () ( ) t 44

23 Induttore ideale L induttore ideale è un dispositivo reattivo di d 1 2 pt () = vtit ()() = L it () = Li () t dt dt 2 1 w t Li t 2 2 () = () h 45 Induttore ideale A volte conviene introdurre una nuova grandezza: il flusso Il flusso viene comandato in corrente E la relazione flusso corrente è priva di memoria Quest ultima relazione si ottiene integrando nel tempo la relazione tensione corrente t ϕ () t = vt ( ) dt ϕ () t = Li() t di vt () = L d t 46

24 Bipoli ideali 47 d Relazione costitutiva: it v () = C d t C è la capacità, si misura in F [Farad] con convenzione utilizzatori C>0 Condensatore ideale Questo dispositivo ha memoria: vt () vt ( t) it () = C lim t 0 t 48

25 Il condensatore ideale è un dispositivo reattivo Condensatore ideale dv d 1 2 pt () = vtit ()() = Cv() t = Cv () t dt dt 2 w t 1 2 e() = Cv () t 2 49 Condensatore ideale A volte si introduce una nuova grandezza: la carica La carica viene comandata in tensione E la relazione carica-tensione è priva di memoria Quest ultima relazione si ottiene integrando neltempo la relazione corrente tensione t q( t) = it ( ) dt q( t) = Cv() t dv it () = C d t 50

26 Bipoli, multipoli e circuiti elementari 51 Multipoli e multiporta Un multipolo è un dispositivo elettromagnetico accessibile dall esterno da più morsetti n1 morsetti (n1)-polo 52

27 Multipoli e multiporta di solito si sceglie un morsetto di riferimento (morsetto zero in figura) e si definiscono le n tensionirispetto al riferimento 53 Multipoli e multiporta Misurando positive le correnti entranti neimorsetti, KCL porge i 0 i 1 i n =0 54

28 Multipoli e Multiporta 55 Multipoli La corrente del multipolo è il vettore i ad n componenti i i1 i = 2 i n La tensione del v1 multipolo è il vettore v2 v ad n componenti v = con v jl =v j -v l vn 56

29 Multipoli La potenza elettromagnetica p entrante in un multipolo vale pt = vi vi vi = () n n i1 i 2 = [ v1 v2 vn] = v i i n 57 Multipoli L energia w(t) fornita al multipolo da -8 all istante t vale: t wt () = v ( t) it ( ) dt wt () 0 ' ' ' Un multipolo si dice passivo quando qualunque sia la tensione (o la corrente) su di esso, per qualsiasivalore del tempo t, l energia a lui fornita (quindi assorbita dal multipolo) non è mai negativa. Cioè si ha sempre: 58

30 59 Multipoli Nel caso di multipoli lineari e privi di memoria la relazione costitutiva assume forma vettoriale: 0 c Bi Av = = c i b i b v a v a v a n n n n = c i b i b v a v a v a n n n n = n n nn n n nn n n c i b i b v a v a v a 60 Multipoli

31 ESEMPIO 1 Multipoli Per la rete di figura, calcolare la potenza che transita attraverso la sezione S-S 61 ESEMPIO 1 Multipoli Risposta: la potenza è quella entrante nel tripolo di morsetti 0, 1, e 2 che in figura si trova a destra della sezione S-S. Si ha p=v 1 i 1 v 2 i 2 con v 1 = e 1, v 2 = e 2, da cui p = e 1 i 1 e 2 i 2 KCL i 1 =i a i c, i 2 =i b -i c ; KVL v c =e 1 -e 2 costitutive i a =e 1 /R 1, i b =e 2 /R 2, i c =(e 1 -e 2 )/R 3 62

32 ESEMPIO 1 Multipoli Da cui p = e 2 1 (1/R 1 1/R 3 ) e2 2 (1/R 2 1/R 3 ) -2e 1 e 2 /R 3 la potenza p è conservativa in quanto p uguaglia la potenza assorbita daitre resistori p = e 2 1 /R 1 e2 2 /R 2 (e 1 -e 2 )2 /R 3 63 Multipoli e Multiporta 64

33 Multiporta Un multiporta è un multipolo con un numero PARI di morsetti tutti organizzati a coppie Coppia la corrente entrante in un morsetto è uguale a quella uscente dall altro morsetto della coppia 65 Multiporta Si dice PORTA ogni coppia di morsetti per cui vale la proprietà detta sopra Un n -porte è anche un multipolo con 2n morsetti Su ogni porta si definisce una corrente ed una tensione di porta, con KCL implicitamente soddisfatta 66

34 Multiporta La corrente i e la tensione v dell n-porte sono vettori ad n componenti i i 1 i = 2 i n v v 1 v = 2 v n Le tensioni di porta non consentono di valutare la tensione fra un morsetto di una porta ed un morsetto di una porta diversa 67 Multiporta La potenza elettromagnetica p entrante in un multiporta vale pt = vi vi vi = () n n i1 i2 = [ v1 v2 vn] = v i i n 68

35 L energia w(t) fornita al multiporta da -8 all istante t vale: t wt () = v ( t) it ( ) dt ' ' ' Multiporta Un multiporta si dice passivo quando qualunque sia la tensione (o la corrente) su di esso, per qualsiasi valore del tempo t, l energia a lui fornita (quindi assorbita dal multiporta) non è mai negativa. Cioè si ha sempre: wt () 0 69 Una rete si dice passiva se, a prescindere dai generatori di tensione e di corrente in essa presenti, tutti gli altri elementi della rete sono passivi Passività 70

36 71 Multiporta Anche per i multiporta, se lineari e privi di memoria, vale la seguente forma vettoriale della relazione costitutiva: 0 c Bi Av = = c i b i b v a v a v a n n n n = c i b i b v a v a v a n n n n = n n nn n n nn n n c i b i b v a v a v a 72 Multiporta Conviene inoltre distinguere fra

37 Multiporta Conviene inoltre distinguere fra Multiporta NON Intrinseci i 2n morsetti del dispositivo risultano organizzati in n porte in conseguenza dei collegamenti esterni 73 Multiporta Conviene inoltre distinguere fra Multiporta NON Intrinseci i 2n morsetti del dispositivo risultano organizzati in n porte in conseguenza dei collegamenti esterni Multiporta Intrinseci le porte del multiporta sono a priori fisse e non variano anche se i collegamenti esterni variano conseguenza quando un multiporta intrinseco viene collegato ad altri dispositivi occorre prestare molta attenzione a non contrastare (violare) la KCL di porta 74

38 Multiporta esempi Il multiporta topologicamente più semplice è l uni-porta, cioè il bipolo Bipolo 75 Multiporta esempi Un due-porte viene comunemente detto doppiobipolo (in figura si utilizza, porta per porta, la convenzione degli utilizzatori) Il doppio bipolo ha un numero di equazioni costitutive pari a quello del tripolo, cioè 2 equazioni scalari che legano tra loro le due tensioni di porta alle due correnti di porta 76

39 Multiporta Esempio 1 Nella stragrande maggioranza dei casi il doppio bipolo viene realizzato da quadripoli con morsetti chiusia coppie su bipoli (questi doppibipoli sono, in generale, non intrinseci) Doppio-bipolo intrinseco Collegamento esterno non lecito 77 Multiporta Esempio 2 Nella stragrande maggioranza dei casi il doppio bipolo viene realizzato da quadripoli con morsetti chiusia coppie su bipoli (questi doppibipoli sono, in generale, non intrinseci) Quadripolo Collegamento esterno lecito 78

40 Bipoli, multipoli e circuiti elementari 79 Principio di sostituzione ed applicazioni 80

41 Principio di sostituzione Se in una determinata rete si sostituisce ad un elemento un secondo elemento avente le stesse relazioni costitutive del primo, tutte le grandezze elettriche definite sui vari morsetti dei multipoli della rete non cambiano PRECISAZIONE: il secondo elemento si collega alla rete con lo stesso numero di morsetti del primo e le relazioni costitutive dei due elementi così considerati sono identiche rispetto alle stesse convenzioni di misura 81 Principio di sostituzione In base al principio di sostituzione il bipolo A può essere sostituito da un generatore ideale di tensione 82

42 Principio di sostituzione In base al principio di sostituzione il bipolo A può essere sostituito da un generatore ideale di corrente 83 Principio di sostituzione ed applicazioni 84

43 Circuiti elementari Calcolare una rete significa calcolare tutte le tensioni e tutte le correnti che possono interessare i terminali dei singoli elementi Il caso più semplice è quello dei due circuiti elementari di figura 85 Circuiti elementari 2 equazioni Kirchhoff 2 equazioni costitutive Determino le 4 incognite: v 1, v 2, i 1, i 2 KCL, KVL 86

44 Circuiti elementari 2 equazioni Kirchhoff 2 equazioni costitutive Determino le 4 incognite: v 1, v 2, i 1, i 2 87 Principio di sostituzione ed applicazioni 88

45 Rete indeterminata e rete impossibile Rete indeterminata: quando non è possibile calcolare tutte le tensioni e tutte le correnti che possono interessare i terminali dei singoli elementi 89 Rete indeterminata e rete impossibile Rete indeterminata: quando non è possibile calcolare tutte le tensioni e tutte le correnti che possono interessare i terminali dei singoli elementi Si ottiene una rete indeterminata applicando in modo inappropriato il principio di sostituzione oppure per semplificazione eccessiva del modello circuitale 90

46 Rete indeterminata e rete impossibile Rete impossibile: quando una delle leggi di Kirchhoff viene violata 91 Si iniziano a considerare metodi per trattare reti contenenti un solo generatore Resistenza equivalente supponiamo di voler calcolare la potenza erogata dal generatore nella rete in figura 92

47 Resistenza equivalente Il problema viene ricondotto al problema elementare in basso, in quanto il bipolo su cui è chiuso il generatore è in tutti e due i casi un bipolo RESISTIVO = lineare, privo di memoria, tempo invariante e comandato in tensione Il problema è qui ricondotto a quello di calcolare la cosidetta resistenza equivalente, R e misurabile tra i due morsetti a cui viene collegato il generatore 93 Bipoli, multipoli e circuiti elementari 94

48 Connessioni serie-parallelo 95 Connessione in serie di resistori Due (o più) resistori sono collegati in serie quando: 1.hanno a coppie un morsetto in comune 2. sono tutti attraversati dalla stessa corrente 96

49 Connessione in serie di resistori Tipicamente resistori in serie si presentano collegati come indicato in figura a sinistra In serie R 1, R 2 non sono In serie i 1 = i 2 = i 3 = i da KCL 97 Connessione in serie di resistori Utilizzando KVL, KCL e le equazioni costitutive dei resistori con comando in corrente si ricava che: la resistenzaequivalente della serie di più resistori è la somma delle resistenze dei singoli resistori In serie i 1 = i 2 = i 3 = i da KCL m R = R ; nell'esempio: R = R R R eq i= 1 i eq

50 Serie: casi particolari La serie di un resistore ed un circuito aperto è un circuito aperto infatti la conduttanza (G 2 ) del circuito aperto è nulla = ; = eq G GG 1 2 Geq G1 G2 G 1 G2 99 Serie: casi particolari La serie del resistore R con un corto-circuito è equivalente al resistore di resistenza R infatti la resistenza del corto-circuito è nulla R = eq R 0 100

51 Serie: casi particolari La resistenza equivalente alla serie di n resistori uguali di resistenza R vale R eq =n R 101 Connessioni serie-parallelo 102

52 Connessione in parallelo di resistori Due (o più) resistori sono collegati in parallelo quando: 103 Connessione in parallelo di resistori Due (o più) resistori sono collegati in parallelo quando: 1. tutti hanno uno stesso morsetto in comune 2. sono tutti sottoposti alla stessa tensione 104

53 Connessione in parallelo di resistori Tipicamente, più resistori in parallelo si presentano collegati come indicato in figura 105 Connessione in parallelo di resistori Utilizzando KVL, KCL e le equazioni costitutive dei resistori con comando in tensione si ricava che: la conduttanza equivalente del parallelo di più resistori è la somma delle conduttanze deisingoli resistori m G = G ; nell'esempio: G = G G G eq i= 1 i eq

54 Connessione in parallelo di resistori A volte si preferisce esprimere il risultato del parallelo di più resistori in termini di resistenze Nel caso di due resistori in parallelo si ottiene: RR ; e R R R R R e 1 2 = R = = R R Connessione in parallelo di resistori Il simbolo // introdotto per indicare l operazione di parallelo tra due grandezze scalari gode delle seguenti proprietà: commutativa R R = R R associativa ( R R ) R = R ( R R ) = R R R non vale la distributiva ( R R ) R ( R R ) ( R R )

55 Parallelo: casi particolari Il parallelo di un resistore R con un circuito aperto è equivalente al resistore di resistenza R infatti la conduttanza del circuito aperto è nulla G = G 0 eq 109 Parallelo: casi particolari Il parallelo di un resistore con un corto-circuito è equivalente ad un corto-circuito infatti la resistenza R 2 del corto-circuito è nulla RR 1 2 R = e R R

56 Parallelo: casi particolari La resistenza equivalente al parallelo di n resistori uguali di resistenza R vale R eq = R/n 111 Bipoli, multipoli e circuiti elementari 112

57 ESEMPIO 1 Serie-parallelo Valutare la resistenza equivalente ai morsetti A-B 113 ESEMPIO 1 Serie-parallelo Conviene per prima cosa dare un nome a tutti i nodi - punti in comune a DUE o più dispositivi (bipoli/multipoli) Evitando di etichettare il medesimo nodo con nomi diversi Seguendo i cortocircuiti si riconosce che vi sono due punti che corrispondono al nodo A e due che corrispondono al nodo B 114

58 ESEMPIO 1 Serie-parallelo Il circuito che rappresenta il bipolo di morsetti A-B può quindi essere ridisegnato come indicato in figura E quindi si vede subito che R AB =R/3 115 ESEMPIO 2 Serie-parallelo Per acquisire dimestichezza, almeno nei primi esercizi, si consiglia anche di disegnare il generatore di prova Ad esempio, per calcolare la resistenza R AB del bipolo di figura a sinistra conviene ragionare sul circuito come riportato in figura a destra, dove si è chiamato C il terzo nodo presente nella rete 116

59 ESEMPIO 2 Serie-parallelo R AB = (12 64) 8 = = (44) 8 = 8 8 = 4 W La resistenza del bipolo assegnato di morsetti A-B è quella osservata dal generatore di prova nello schema di destra. Tale resistenza vale 4 ohm 117 ESEMPIO 3 Serie-parallelo Ancora considerando il bipolo dell esempio precedente, cambiamo i morsetti di osservazione del bipolo da A-B A-C E valutiamo la resistenza equivalente aimorsetti A-C R AC = 4 (812 6) = 3 W 118

60 ESEMPIO 3 Serie-parallelo R AC = 4 (812 6) = 3 W Nell esempio precedente si aveva Si noti come, rispetto all esempio precedente, si ottenga un valore di resistenza equivalente differente 119 ESEMPIO 3 Serie-parallelo R AC = 4 (812 6) = 3 W Nell esempio precedente si aveva Si noti anche come convenga (a volte) disegnare il generatore di misura per comprendere quali resistori lavorano in serie e quali lavorano in parallelo 120

61 Bipoli, multipoli e circuiti elementari 121 Altri tipi di connessione 122

62 Serie-parallelo e reti a scala Le connessioni serie e parallelo sono le più comuni Se un bipolo è costituito da una rete di bipoli in cui le connessioni sono serie e parallelo, si dice che il bipolo è costituito da una rete a scala Viceversa, una rete è a scala se le connessioni tra i bipoli sono di tipo serie e parallelo Le reti con un solo generatore ed a scala sono tra le reti più semplici 123 Reti non a scala Supponiamo che in una rete sia presente il tripolo costituito daltriangolo di resistori con poli A, B, C È possibile dimostrare che si ha l equivalenza con il tripolo a stella purchè i resistoridel lati della stella abbiano resistenze di valore opportuno 124

63 Trasformazione triangolo stella Le formule di trasformazione sono: RR b c ra = R RR a c r = con R = R R R R b a b c RR a b rc = R 125 Trasformazione stella triangolo Supponiamo che in una rete sia presente il tripolo costituito dalla stella di resistori r a, r b, r c È possibile dimostrare che si ha l equivalenza con il tripolo a triangolo purchè i resistori del lati del triangolo abbiano resistenze di valore opportuno 126

64 Trasformazione stella triangolo Le formule di trasformazione sono: rr b Ra = r s c rr a c Rb = con rs = ra rb rc r s r r a R = c r s b 127 Trasformazione D : caso particolare Un triangolo di resistenze uguali con resitenza di lato di valore R equivale ad una stella di resistenze uguali, con resistenza di ramo di valore r=r/3 128

65 Altri tipi di connessione 129 Esempio Calcolare i(t) per e(t)=300 cos(t ) V Soluzione: i(t) =e(t)/30=10 cos(t ) A Ma come trovo R AB =10 O? 130

66 Esempio 1 a Possibilità: Triangolo ACD in stella, con R = = 100Ω 131 Esempio 2 a Possibilità: Triangolo BCD in stella, con R = = 81Ω 132

67 Esempio 3 a Possibilità: Stella di centro C in triangolo, con 315 r s = = Ω Esempio 4 a Possibilità: Stella di centro D in triangolo, con 140 r s = = Ω