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1 1 ontenuti dell unità Questa unità considera problemi di transitorio in reti: 1) contenenti un solo elemento reattivo (1 condensatore oppure 1 induttore) a) alimentate da generatori costanti in presenza di interruttori che commutano b) oppure alimentate da generatori costanti a tratti E 0 A0 A1 E 1

2 ontenuti dell unità Variabili ed equazione di stato Variabili di stato Equazione di stato Equazione di uscita Esempi di analisidi transitori Esempi per ingressi costanti Esempio per ingressi costanti a tratti Esempio per rete con generatori pilotati Esempio per rete con diodo ideale 3 Transitori in reti con un elemento reattivo Variabili ed equazioni di stato 4

3 Variabili ed equazione di stato Variabili di stato 5 Variabili di stato In un dato istante di tempo, l energia immagazzinata nell elemento reattivo (condensatore od induttore) dipende dal valore istantaneo della tensione o della corrente sull elemento reattivo stesso: condensatore ideale induttore ideale w t 1 v t 1 e() = () w t h () = i () t v( t ) i( t ) 6

4 Variabili di stato energia complessivamente immagazzinata in una rete in un dato istante di tempo è la somma delle energie immagazzinate nei suoi elementi reattivi e tensioni sui condensatori e le correnti negli induttori definiscono dunque lo stato della rete e tensioni sui condensatori v (t), e le correnti negli induttori i (t) sono le variabili di stato di una rete 7 Variabili di stato Se la rete modella il problema reale che si vuole studiare in modo adeguato, la tensione sui condensatori e la corrente negli induttori non può bruscamente variare 1 w= wt ( * ) wt ( * ) = v ( t* ) v ( t* ) w t = t* t* = 0 p = = se w 0 t v( t ) v( t) t t 8

5 Variabili di stato Improvvise variazioni dell energia immagazzinata in un dato elemento reattivo presuppongono infatti l esistenza di elementi in grado di fornire potenza istantanea infinita 1 w= wt ( * ) wt ( * ) = v ( t* ) v ( t* ) w t = t* t* = 0 p = = se w 0 t v( t ) v( t) t t 9 Variabili di stato e variabili di stato di una rete sono le tensioni sui condensatori v (t), e le correnti negli induttori i (t) Per reti non-degeneri le variabili di stato sono funzioni continue del tempo e reti non-degeneri e le reti degeneri saranno correttamente definite nel modulo di Elettrotecnica II 10

6 Variabili di stato Rete degenere con un solo condensatore. Modello inadeguato di un circuito fisicamente realizzabile E 1 E t v i = dv dt i( t) = 0 t t i(t) non è definita per t = t *!!! t 11 Variabili di stato Rete degenere con un solo condensatore. Modello inadeguato di un circuito fisicamente realizzabile ( t) = 0 i w c ( t ) > w ( t ) * 1 E t c * 1 > E 1 w = = t t * * * t * t t v p( t) dt e( t) i( t) dt i = dv dt i(t) non è definita per t = t *!!! 1

7 Variabili di stato Rete degenere con un solo induttore. Modello inadeguato di un circuito fisicamente realizzabile a( t) t A t a( t) v t ( ) di ( t = dt v da( t ( t) = dt ) ) v A 1 ( t ) = 0 t t v(t) non è definita per t = t *!!! 13 Variabili di stato Rete degenere con un solo induttore. Modello inadeguato di un circuito fisicamente realizzabile v ( t ) = 0 t a( t) v t ( ) di ( t = dt v da( t ( t) = dt ) ) w ( t ) > w ( t ) * 1 A t * 1 > A 1 w = t* t* v( t) a( t) dt v(t) non è definita per t = t *!!! 14

8 Variabili di stato Data una rete (non degenere) con un solo elemento reattivo, se la variabile di stato è nota per tutti i tempi t, allora tutte le possibili uscite sono ricavabili studiando una rete puramente resistiva, rete ottenuta invocando il principio di sostituzione t = t * E 0 v A0 15 Variabili di stato Data una rete (non degenere) con un solo elemento reattivo, se la variabile di stato è nota per tutti i tempi t, allora tutte le possibili uscite sono ricavabili studiando una rete puramente resistiva, rete ottenuta invocando il principio di sostituzione E 0 t = t * v A0 E 0 ( t) v 0 nota per t > t * A 16

9 Variabili di stato Data una rete (non degenere) con un solo elemento reattivo, se la variabile di stato è nota per tutti i tempi t, allora tutte le possibili uscite sono ricavabili studiando una rete puramente resistiva, rete ottenuta invocando il principio di sostituzione E 0 t = t * v A0 E 0 ( ) A v t 0 nota ( t ) E 0 v A0 nota per t > t * principio di sostituzione per t > t * 17 Variabili di stato Data una rete (non degenere) con un solo elemento reattivo, se la variabile di stato è nota per tutti i tempi t, allora tutte le possibili uscite sono ricavate studiando una rete puramente resistiva, rete ottenuta invocando il principio di sostituzione t = t * A1 i E 1 18

10 Variabili di stato Data una rete (non degenere) con un solo elemento reattivo, se la variabile di stato è nota per tutti i tempi t, allora tutte le possibili uscite sono ricavate studiando una rete puramente resistiva, rete ottenuta invocando il principio di sostituzione t = t * A1 i E 1 A ( t ) 1 i nota 1 per t > t * E 19 Variabili di stato Data una rete (non degenere) con un solo elemento reattivo, se la variabile di stato è nota per tutti i tempi t, allora tutte le possibili uscite sono ricavate studiando una rete puramente resistiva, rete ottenuta invocando il principio di sostituzione t = t * A1 A ( t ) 1 i E 1 i nota A 1 E 1 ( ) i t E 1 nota per t > t * per t > t * principio di sostituzione 0

11 Variabili di stato a precedente osservazione riconduce il problema dell analisi di transitorio a quello di determinare l andamento nel tempo della sola variabile di stato v (t), oppure i (t) 1 Variabili di stato Questo problema viene risolto una volta per tutte considerando l equivalente Thevenin o Norton visto dall elemento reattivo ai suoi due morsetti, equivalente relativo al bipolo resistivo (privo di dinamica) così come si presenta nell intervallo di tempo considerato (t>t * interruttori attivati) Req e eq v a eq Req i

12 Variabili ed equazione di stato Equazione di stato 3 Equazione di stato Rete (non degenere) con un condensatore. Supponendo che l istante di attivazione sia t * = 0 E eq R eq i v Equazione costitutiva: KV: E = R i v eq eq i = c dv dt c porge eqz. differenziale: dv dt c E eq = Req v c 4

13 Equazione di stato Rete (non degenere) con un condensatore. Supponendo che l istante di attivazione sia t * = 0 E eq Equazione costitutiva: KV: E = R i v eq R eq eq i porge eqz. differenziale: dv dt c E eq = Req c v c v dv i = dt c con Soluzione per t >= 0: c con R eq = τ = costante di tempo v ( t) t / τ = Ke vc soluzione a regime K ) costante di tempo = vc ( t = 0 vc condizione iniziale 5 Equazione di stato Rete (non degenere) con un induttore. Supponendo che l istante di attivazione sia t * = 0 i A eq R eq v Equazione costitutiva: K: v A eq = Req porge eqz. differenziale: v di = A eq = Req dt i di dt i 6

14 Equazione di stato Rete (non degenere) con un induttore. Supponendo che l istante di attivazione sia t * = 0 A eq R eq Equazione costitutiva: K: v A eq = Req porge eqz. differenziale: v di A eq = Req dt i i con = di dt i v R eq = τ = Soluzione per t >= 0: costante di tempo i ( t) soluzione a regime con K ) costante di tempo t / τ = Ke i = i ( t = 0 i condizione iniziale 7 Equazione di stato Formula del transitorio valida per la variabile di stato: t v() t = [ v( t = 0) v ] exp - v t t i () t = [ i ( t= 0) i ] exp - i t 8

15 Equazione di stato Formula del transitorio valida per la variabile di stato: t v() t = [ v( t = 0) v ] exp - v t t i () t = [ i ( t= 0) i ] exp - i t Occorre conoscere tre quantità: 1. la costante di tempo. la soluzione a regime 3. la condizione iniziale 9 a costante di tempo È una proprietà della rete resa passiva Equazione di stato Req e eq v a eq Req i τ = Req τ = / Req 30

16 Equazione di stato a soluzione a regime Tutti gli ingressi (generatori) presenti nella rete sono in continua; quindi tutte le tensioni e tutte le correnti a regime sono costanti dv i = = 0 dt di v = dt = 0 in continua in continua 31 Equazione di stato e equazioni costitutive degli elementi reattivi mostrano che in regime stazionario permanente (in continua) il condensatore si comporta come un circuito aperto e l induttore come un cortocircuito dv i = = 0 dt di v = dt = 0 in continua in continua 3

17 Equazione di stato a soluzione a regime Anche la soluzione a regime si ricava dunque analizzando una rete puramente resistiva R eq R eq E eq v E eq in regime stazionario permanente v 33 Equazione di stato a soluzione a regime Anche la soluzione a regime si ricava dunque analizzando una rete puramente resistiva A eq Req i A eq Req in regime stazionario permanente i 34

18 Equazione di stato a condizione iniziale a tensione sul condensatore al tempo t=0 oppure la corrente nell induttore al tempo t=0 sono: assegnate e note oppure debbono essere dedotte supponendo la rete in condizioni di regime al tempo t=0 -, prima di attivare gli interruttori in questo caso occorre aver già studiato (o studiare) la rete per t<0 35 Variabili ed equazione di stato Equazione di uscita 36

19 Equazione di uscita Si supponga, per esempio, di voler calcolare l uscita i R (t) per t =0 t = 0 E 0 i R ( t) R1 R 1 R A 0 A0 E 0 v ( t ) R E 0 ed A 0 sono costanti nel tempo ( ) t i R t v () t = [ v ( t = 0) v ] exp - v t t 0 37 Equazione di uscita uscita i R (t)=y(t) è data dalla seguente formula del transitorio E 0 t yt () = [ yt ( = 0 ) y ] exp - y t t = 0 ( t) sovrapposizione degli effetti i R R1 R 1 R A 0 A0 E 0 v ( t ) R ( ) t i R t 0 38

20 Occorre conoscere tre quantità: 1. la costante di tempo. la soluzione a regime 3. la condizione iniziale y(t=0 ) Equazione di uscita t = 0 ( t) E 0 i R R1 R 1 R A 0 A0 E 0 v ( t ) R ( ) t i R t 0 39 a costante di tempo È una proprietà della rete resa passiva t = 0 E 0 i R ( t) R1 Equazione di uscita R A 0 t 0 R 1 R τ = R eq = R // R ) ( 1 40

21 Equazione di uscita a soluzione a regime Si ricava analizzando una rete puramente resistiva t = 0 ( t) R E 0 t E 0 i R 1 R 1 i R E RA0 R 0 i R = R1 R R A 0 A 0 41 Equazione di uscita a condizione iniziale Si ricava imponendo la continuità dello stato t = 0 t = 0 v ( t = 0 ) = v ( t = 0 ) v E 0 v ( t = 0 ) R 1 R ( t = 0 ) = A R 0 A 0 i ( t R i R ( t = 0 ) R 1 E 0 v E 0 ) = = ( t = 0 ) R v( t = 0) R E0 RA0 = R A 0 = 4

22 Equazione di uscita a formula del transitorio t yt () = [ yt ( = 0 ) y ] exp - y t in questo caso porge: i t E RA R t R () = exp 1 R1 R R1 t notare che i (0 ) i (0 ) R R 43 Transitori in reti con un elemento reattivo Esempi di analisi di transitori 44

23 Esempi di analisi di transitori Esempi per ingressi costanti 45 Un alimentatore con tensione V 0 e resistenza R carica un condensatore, inizialmente scarico. Quanto vale l energia erogata dal generatore? Esempio 1 46

24 Un alimentatore con tensione V 0 e resistenza R carica un condensatore, inizialmente scarico. Quanto vale l energia erogata dal generatore? Esempio 1 V 0 con R ( 0 ) = [ V ] v 0 i( t) v ( t) 47 per t 0 V t = R t 0 it () exp - ( ) V0 i 0 = R τ = R i = 0 V 0 R i( 0 ) R R Esempio 1 i v ( 0 ) = 0 R eq = R = 0 V 0 a regime circuito aperto 48

25 Esempio 1 W = pt ()d t = V it ()dt = erogata t V0 V = τ exp - = τ = V0 = W( t ) R t R 0 V 0 con R i( t) ( 0 ) = [ V ] v 0 v ( t) 49 Esempio 1 energia erogata dal generatore non dipende dal valore di R, ed il processo di carica del condensatore ha rendimento ½ W = pt ()d t = V it ()dt = erogata t V0 V = τ exp - = τ = V0 = W( t ) R t R 0 R V 0 con i( t) ( 0 ) = [ V ] v 0 v ( t) 50

26 Esempio alcolare e diagrammare v(t) ed i (t) per t =0 t = 0 A 3Ω v( t) 6H i ( t) 51 Esempio ondizioni iniziali alcolo la corrente i nell induttore (variabile di stato) prima dell apertura dell interruttore, al tempo t =0 - t = 0 A 3Ω v( t) 6 i Ht ( ) 3Ω A t=0 1 i (0 ) = A partitore di corrente 5

27 Esempio supponendo la rete in condizioni di regime stazionario permanente (=in continua) al tempo t =0 - t = 0 A 3Ω v( t) A 6 i Ht ( ) 3Ω t=0 1 i (0 ) = A partitore di corrente 53 Esempio Si osserva v(0 - ) = -3/ V. Non è però necessario conoscere questo valore per esprimere la soluzione per t>0 (occorre solo ricavare la variabile di stato al tempo t=0) t = 0 A 3Ω v( t) 6 i Ht ( ) 3Ω A t =0 1 i (0 ) = A partitore di corrente 54

28 Esempio ondizioni iniziali Al tempo t =0, appena attivato l interruttore, la corrente nell induttore rimane la stessa di quella al tempo t =0 - alcolo la tensione v al tempo t =0 A v t = 0 (0 ) 1[ V] = = = Ω i (0 ) 3Ω v( t) 6 i Ht ( ) A Ω t = 0 3Ω v( 0 ) i (0 ) = 1 = A 55 ondizioni iniziali Appena attivato l interruttore, al tempo t =0 : orrente i (0)=-0,5 A Tensione v (0)=1 V Esempio t = 0 A 3Ω v( t ) 6H i ( t ) 56

29 Esempio ondizioni di regime In condizioni di regime stazionario permanente (=in continua), per t 8, l induttore si comporta come un corto circuito t = 0 A 3Ω v( t) 6 i Ht ( ) t 3Ω = 0 v i = 0 57 Esempio ostante di tempo È comunque una proprietà della rete resa passiva (generatori indipendenti spenti), anche se nel nostro caso la rete in analisi non contiene nessun generatore t = 0 A 3Ω v( t) 6H i ( t) 58

30 a resistenza vista dall induttore ai suoi due morsetti (con interruttore aperto) vale R eq =3=5 ohm. a costante di tempo t vale t=/r eq =6/5 s Esempio t = 0 A 3Ω v( t) 6H i ( t) 59 Soluzione e condizioni iniziali e di regime trovate, e la costante di tempo porgono, per t = 0 it () = 0,5exp( t / τ)a v(t) = 1exp( t / τ)v con τ = 6/5s Esempio v( t) 3 V 5t 6 e t 1 i (t) A 1 5t 6 e t 60

31 Esempi di analisi di transitori Esempio per ingressi costanti a tratti 61 Esempio Noto l andamento temporale di e(t) fornire un espressione analitica per la corrente i(t) 10V 10V 1 t(s) i(t) F Nota: Si debbono studiare due transitori. a costante di tempo dei due transitori è però la stessa 6

32 Esempio ostante di tempo a costante di tempo è una proprietà della rete resa passiva. a resistenza vista dal condensatore vale R eq =//=3 ohm, che porge t=r eq =6s 10V 10V 1 t(s) i(t) F 63 ondizione iniziale Per tutti i tempi t<0, il generatore di tensione è spento e quindi il condensatore, in t=0 -, si può supporre scarico, si ha cioè v (0)=0 Al tempo t=0 si misura una corrente i(0)=5/3 A i ( g 0 ) 10V i(t) t = 0 i( 0 ) Esempio F ig (0 ) = = A // 3 i(0 ) = i (0 ) / g v ( 0) = 0 64

33 Esempio Primo transitorio: per 0<t<1 ondizione di regime a rete va a regime come se la tensione del generatore rimanesse sempre costante ed uguale a 10V i(t) F 10V i F e 5 i = = A, 5A 1 = 65 Esempio Primo transitorio: per 0<t<1 per 0<t<1 si ottiene 5 5 it () = exp ( t/ τ ) 5 3 con t = 6 s 66

34 Primo transitorio: per 0<t<1 a tensione sul condensatore v () t = 51 exp ( t/ τ ), con t = 6s porge: ( ) v( t = 1) = v( t = 1 ) = 5 1 exp 1/6 condizione iniziale del secondo transitorio Esempio i(t) F v ( t) 10V v = 5V 67 Esempio Secondo transitorio: per t>1 (dove si ha e(t)=-10v "t>1s) ondizione iniziale i(t) F A v ( t =1 ) t = 1 e = 10V B v AB e v = 3 68

35 Esempio ondizione iniziale Al tempo t=0 la tensione sul condensatore vale v =5[1-exp(-1/t)], 51 exp( 1/ τ ) risultato che porge corrente it ( == 1 ) 6 i(t) F t = 1 A v ( t =1 ) e = 10V B v AB e v = 3 69 Esempio Secondo transitorio: per t>1 (dove si ha e(t)=-10v "t>1s) ondizione di regime i(t) F 10 5 i = = =, 5A 10V i 70

36 ondizione di regime a rete va a regime per tensione del generatore costante ed uguale a -10V Esempio i(t) F 10 5 i = = =, 5A 10V i 71 Esempio Soluzione per t>1 per t>1 si ottiene ( t 1) it () = 1 exp( 1/ τ ) exp 6 τ con t = 6 s 7

37 Soluzione [ ] ( ) ( ) dove Esempio ( t 1) it () = ut () ut ( 1) exp t/6 ut ( 1) exp 1/6 exp i(t) 1per x> 0 u(x) = 0per x< 0 10V F ( t) 1 t( s) v 1 1 i e V i = 6 e i = 6 [ A] [ A] t 10V 73 Esempi di analisi di transitori Esempio per rete con generatori pilotati 74

38 Noto l andamento temporale di e(t) fornire un espressione analitica per la tensione v(t) Esempio 0V 8V t R = ix i A 1 = F B 3 R = K nodo A: i = 3 i x i x v( t) 75 Esempio 0V 8V t R = ix i A 1 = F B 3 R = K nodo A : i = 3 i x i x v( t) Equazione KV: v(t)=e(t)-r i x (t) Posso calcolare i x (t) onviene utilizzare l equivalente Thevenin ai morsetti AB 76

39 Esempio Equivalente Thevenin - Prova a vuoto. Si ottiene subito v AB (t)=e(t) (a vuoto) R ix A B VAB i x 3i x ix = 0 equazione pilota 77 Equivalente Thevenin - Prova in cortocircuito. Si ottiene subito i cc_ab =3 e(t)/4r Da cui si ottiene R eq =V AB /i cc_ab =4R/3 Esempio R i x R A i = 3 B cc i x i x x ( 3 x) ( ) KV: e = Ri R i et ix = 4R equazione pilota 78

40 Abbiamo ricondotto il problema originale (figura a sinistra) al calcolo della corrente i x (t) nel circuito di destra, con equazione (KV) che porge: v(t)=e(t)-r i x (t) R = ix i A K nodo A: 1 = F 3 B R = i = 3i x i x v( t) 4 8 R = Ω 3 3 v v e( t) ( t) = v ( t) ( 0 ) = 0V AB Esempio 3i x A 1 = F B 3 condizione iniziale 79 Esempio ostante di tempo: t =R eq =8 s ondizione iniziale: 3 i x (0) = e(t=0)/r eq =3 A da cui i x (t=0) = 1 A Soluzione a regime i x8 =0 A on equazione finale (KV): v(t)=e(t)-r i x (t) 0V 8V t 4 8 R = Ω 3 3 v v e( t ) ( t) v ( t) ( 0 ) = 0 V AB 3i x A 1 = F 3 B = condizione iniziale 80

41 Esempio Soluzione: ond. iniziale v(0)=6v, soluz. a regime v 8 =8 V 0V 0 per t < 0 vt () = [ 8 exp( t/8) ] per t > 0 8V t R = ix K nodo A: i A 1 = F B 3 R = i = 3i x i x v( t) 81 Esempi di analisi di transitori Esempio per rete con diodo ideale 8

42 Esempio Sapendo che la tensione iniziale sul condensatore è nulla, calcolare la tensione v AB (t), e le correnti i(t), i (t) ed i*(t) t = 0 100V 10Ω A 10µF i( t) i ( t) i ( t) 50V B 83 Esempio a tensione ai capi del condensatore tende esponenzialmente, con costante di tempo 100 microsecondi, alla tensione di 100 V, ma non li raggiunge perchè il diodo inizia a condurre quando questa tensione prova a superare i 50 V t = 0 100V 10Ω A 10µF i( t) i ( t) i ( t) 50V B 84

43 t = 0 100V 100V 50V ( ) t v AB 10Ω A 10µF i ( t ) i ( t ) i ( t ) B V 50 ( ) i t 10A 5A i ( t ) 10A 5A i ( t) Esempio 5A 85