Esercizio. Risolvere poi lo stesso quesito utilizzando la legge di Kirchhoff alle maglie.

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Evangelina Fabiani
6 anni fa
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1 Esercizio Classe ª Elettronici Materia Elettrotecnica Argomento Reti elettriche Nel circuito di figura, utilizzando il teorema di Thevenin attraverso riduzioni successive, determinare la tensione ai capi della resistenza R 8. Risolvere poi lo stesso quesito utilizzando la legge di Kirchhoff alle maglie. Innanzitutto è bene ricordare l enunciato del teorema di Thevenin: Una rete lineare compresa tra due nodi e composta da un qualsiasi numero di resistenze e generatori, equivale ad un unico generatore di tensione, di valore pari alla tensione a vuoto tra i due nodi, con un unica resistenza in serie, di valore pari alla resistenza presente tra i due nodi considerando nulli i generatori. Considerare nulli i generatori vuol dire cortocircuitare quelli di tensione e aprire quelli di corrente. 1-8

2 In altre parole, indipendentemente dalla complessità circuitale, una rete lineare è sempre rappresentabile come un generatore di tensione reale. Cominciamo a semplificare il circuito dato a partire dai punti E-G. Applicando il teorema di Thevenin al circuito formato dal generatore di corrente I 2 e dalla resistenza in parallelo R 2, si ha che il generatore equivalente di tensione vale: E = V = R I = = EG V La resistenza equivalente coincide con R 2 in quanto aprendo il generatore di corrente I 2 l unica resistenza presente fra i morsetti considerati è la R 2. Con questa prima semplificazione il circuito diventa: Consideriamo ora la rete compresa a sinistra dei morsetti E-F, includendo anche il ramo verticale contenente R. Utilizzando la legge di Kirchhoff alla maglia considerata, si ha: da cui R + R + R I= V + V

3 V1+ V I = = = 5mA R + R + R ( ) 1 2 La tensione equivalente risulta pertanto: E = V = R I = = EF V Cortocircuitando i generatori di tensione V 1 e V 2, possiamo determinare la resistenza equivalente data dalla serie di R 1 ed R 2 in parallelo alla R : R EF ( R R ) R = R9 = = = 2,4kΩ R + R + R ( ) 1 2 Il circuito assume quindi la forma seguente: Procediamo in maniera analoga a quanto fatto nel punto precedente e consideriamo ora la rete compresa a sinistra dei morsetti C-D, includendo anche il ramo verticale contenente R 6 e V 4. Si ha: R + R + R I= V V V

4 cioè V6 V7 V I = = = 1mA R + R + R ( 2,4+,6+ 12) La tensione equivalente risulta pertanto: E = V = R I+ V = + = CD V Cortocircuitando i generatori di tensione V 1 e V 2, possiamo determinare la resistenza equivalente: R CD ( R R ) R ,4+,6 12 = R10 = = = 4kΩ R + R + R ( 2,4+,6+ 12) Il circuito ulteriormente semplificato diventa. A questo punto si potrebbe risolvere facilmente con Kirchhoff in quanto trattasi di una sola maglia chiusa, ma procediamo ulteriormente considerando la parte sinistra ai punti A e B. Questa volta il circuito considerato non è chiuso pertanto la tensione a vuoto misurata fra i morsetti A e B è data da: EAB = V8= V7+ V5= 17+ 8= 25 V 4-8

5 mentre la resistenza equivalente vale: R AB = R11 = R7 + R10 + R5 = = 20 kω A questo punto il circuito assume la classica forma del partitore di tensione, quindi: V8 25 V = AB V = R R V R + R = ( 20+ 5) = 11 8 Per risolvere il circuito con la legge di Kirchhoff alle maglie consideriamo lo schema ricavato dopo la prima semplificazione e scegliamo i versi di percorrenza come indicato in figura. Ricordiamo che la legge o il principio di Kirchhoff alle maglie, afferma che: In un circuito a parametri concentrati, la somma algebrica delle tensioni lungo una linea chiusa è nulla. V R I= 0 Questa relazione può essere scritta anche così: V = R I 5-8

6 In un circuito quindi, fissato un percorso chiuso, la somma algebrica di tutti i generatori di tensione presi con il loro segno (positivo se concorde al verso di percorrenza e negativo nel caso opposto), è pari alla somma delle cadute di tensione sulle resistenze all interno del percorso. Nel nostro caso abbiamo indicato le correnti di maglia I 1, I 2 e I ; che solo in alcuni casi coincidono con le correnti effettive nelle resistenze; nei rami comuni ai vari percorsi invece va considerata la somma o la differenza a seconda che i versi di percorrenza siano concordi o discordi rispettivamente nel ramo considerato. Per risolvere il nostro esercizio è sufficiente determinare la I, ma noi calcoleremo ugualmente tutte le correnti nei vari rami. Scriviamo dunque le relazioni per le tre maglie considerate, mettendole a sistema: RI 1 1+ RI 2 1+ R I1 I2 = V1+ V2 R I I + R I + R I I = V V R6 I I2 + R5I+ R8I+ R7I= V4+ V Ordiniamo il sistema raggruppando le correnti incognite: R1+ R2+ R I1 RI2= V1+ V2 R I + R + R + R I R I = V V RI R6 + R5 + R7 + R8 I = V4 + V Sostituiamo i valori assegnati 10 I I2= I1+ 21,610 I I= I + 10 I = 1 2 Scriviamo il sistema in forma matriciale, considerando le correnti in ma, in modo da omettere il fattore moltiplicativo 10 delle resistenze e utilizziamo il metodo di minimizzazione di Gauss-Jordan 6-8

7 , Moltiplichiamo la prima riga per e la seconda per 5: , = Sostituiamo la seconda con la somma della prima con la seconda: = Semplifichiamo la prima e la seconda dividendo per 6 e 0 rispettivamente: : :0= Moltiplichiamo la seconda per 4: = Sostituiamo la terza con la somma della seconda con la terza: =

8 Semplifichiamo la seconda e la terza dividendo per 4 e 25 rispettivamente: :4 = : Il sistema di partenza si è ridotto in forma triangolare superiore ed è risolvibile a partire dalla terza equazione: 5I1 I2= 25 I2 2I= I = 1 Si ha quindi: I = 1 + 2I 5 I2 = = 25+ I 0 I = = = 6 Le tre correnti di maglia valgono quindi I = 6mA I 1,67mA I = 1mA 1 2 Pertanto la tensione ai capi della resistenza R 8 vale: V = R I = = AB V La soluzione con le correnti di maglia può sembrare più complessa, ma fornisce alla fine tutte le correnti nel circuito, quindi il secondo metodo è preferibile quando è richiesta un analisi completa del circuito e non la tensione ai capi di una sola resistenza, nel qual caso è preferibile il teorema di Thevenin. 8-8

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