Geometria BAER PRIMO CANALE Foglio esercizi 1

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1 Geometria BAER PRIMO CANALE Foglio esercizi 1 Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni lineari nelle variabili indicate trovando una parametrizzazione dell insieme delle soluzioni. a) x + 5y = nelle incognite x, y. b) x + 5y = nelle incognite x, y, z. c) x 1 + x + x 4 = nelle incognite x 1, x, x, x 4. Soluzione: a) Ponendo y = t otteniamo x = 5t dunque abbiamo 1 soluzioni date da ( 5t t ) con t R. b) Ponendo y = t e z = s abbiamo soluzioni: 5t t con t, s R. s c) L equazione ammette soluzioni. Poniamo x = t, x = s, x 4 = u e quindi x 1 = ( t + u)/. Insieme ( t u)/ delle soluzioni: t s con t, s, u R. u Esercizio. Se Diego avesse gli stessi soldi di Sergio, insieme avrebbero euro. Invece Diego ha 5 euro di meno. Quanti soldi ha Diego? E Sergio? Soluzione: Se D, S sono i soldi di Diego e Sergio rispettivamente, si risolve il sistema S = o, piú semplicemente, D = S 5 D + S + 5 = D = S 5 Esercizio. Si consideri il seguente sistema S : x + y z = 1 y z = a) Stabilire se i vettori, 4 di R sono soluzioni di S. Soluzione: 4 è una soluzione, mentre no (non soddisfa né la prima né la seconda equazione). k b) Per quali valori di k R il vettore k + 11 è soluzione di S?

2 k + 16 = 1 Soluzione: Sostituendo x = k, y = k +11, z = nel sistema, si ottiene, dunque l unico valore k + 7 = è k = 5 Esercizio 4. Per ciascuna delle seguenti matrici, stabilire se è a scalini oppure no: A 1 =, A 1 = 7 1, A = Soluzione: Solo A 1 non è a scalini Esercizio 5. Risolvere i seguenti sistemi lineari a scalini: x + y + z = x 1 + x + x + x 4 = S 1 : y z = 5, S : x + x 4 = z = x 4 = In ciascun caso, determinare l insieme delle soluzioni e stabilire da quanti parametri dipende. 7 Soluzione: S 1 ammette l unica soluzione 4. Scrivendo la matrice completa del sistema S, vediamo che ci sono pivot e che la variabile nella cui colonna non cadono pivot è x. Ci sono dunque 1 soluzioni. Ponendo x = t e risolvendo otteniamo t Sol(S ) = : t R t Esercizio 6. Si considerino le seguenti matrici: A 1 =, A = 1 7, A = Usando l algoritmo di Gauss, ridurre ciascuna delle matrici A i ad una matrice a scalini à i. 1 1 Soluzione: Matrice A 1 : con l operazione R R R 1 si riduce a Ã1 = Matrice A : con le operazioni R R + R 1, R R 5R 1 si riduce a Applicando R R + R abbiamo à =

3 Matrice A : con le operazioni R R R 1, R R R 1, R R + 8R la matrice si riduce a à = Nota: la forma a scalini di una matrice non è unica e risposte diverse dalle precedenti, ma ugualmente corrette, sono possibili. Il numero dei pivot, pero, deve essere sempre lo stesso: per la matrice Ã1 e per le matrici Ã, Ã. Esercizio 7. Si considerino le seguenti matrici: A 1 = 1, A = Usando l algoritmo di Gauss, ridurre ciascuna delle matrici A i a una matrice a scalini à i. Soluzione: La matrice A 1 con le operazioni R R R 1, R R R 1, R R R si riduce alla matrice Le operazioni R R R 1, R R R 1, R R +R riducono la matrice A a 1 1. Esercizio 8. Risolvere i seguenti sistemi lineari nelle incognite x, y: x + y = 1 x y = 1 S 1 : S : x y = x + 6y = S : x y = 1 x + 6y = In ciascun caso, stabilire se il sistema è compatibile; se lo è, determinare l insieme delle soluzioni e stabilire da quanti parametri dipende. Soluzione: S 1 è compatibile ed ammette l unica soluzione x = 1/7, y = /7. S è incompatibile, mentre S è equivalente al sistema costituito dall unica equazione x y = 1 che ha infinite soluzioni x = 1 + t, y = t dipendenti da un parametro t R. Esercizio 9. Risolvere i seguenti sistemi lineari nelle incognite x, y, z: x + y z = 1 x + y z = 1 S 1 : x + 5y 8z = 4, S : x + y z = 7 5x + y 4z = x + y 4z = 4 S : x + 5y 9z = 1 x y + z = 11 In ciascun caso, stabilire se il sistema è compatibile; se lo è, determinare l insieme delle soluzioni e stabilire da quanti parametri dipende. (Parte del lavoro è già stato fatto nell esercizio 6). Soluzione: Usando 6) x + y z = 1 S 1 è equivalente al sistema, quindi ponendo z = t, si ricava y z = y = + t, x = t. S è incompatibile. S ammette l unica soluzione z = 1, y = 1, x =.

4 Esercizio 1. Risolvere i seguenti sistemi lineari nelle incognite x 1, x, x, x 4 : x 1 + x x + 4x 4 = 5 x 1 + x x + 5x 4 = 4 S 1 : x 1 + x x + x 4 =, S : x 1 + 8x x + 9x 4 = 9 x 1 + x 4x x 4 = 1 x 1 + 5x 1x + 17x 4 = 7 In ciascun caso, stabilire se il sistema è compatibile; se lo è, determinare l insieme delle soluzioni e stabilire da quanti parametri dipende. (Parte del lavoro è già stato fatto nell esercizio 7). x1 + x x + 4x 4 = 5 Soluzione: Utilizzando 7) S 1 è equivalente al sistema. Le variabili che non x 7x 4 = 7 corrispondono a pivot sono x e x 4. Poniamo quindi x = t, x 4 = s e ricaviamo x 1 = 9 t + 1s x = 7 + 7s. Sempre utilizzando 7), S è incompatibile. Esercizio 11. x Si consideri l insieme M costituito dalle terne y R tali che x y z = e x + y z =. z a) Dimostrare che M è un insieme infinito, dipendente da un parametro reale. Soluzione: Sottraendo la prima equazione dalla seconda si ha y =. Ponendo z = t si ha + t M = : t R t x b) Trovare le terne y M per la quali x + y + z = 16. z Soluzione: t + 4t + 4 = 16 ha come soluzioni t = 1 ± 7 x c) Trovare la terna y M per la quale x + y + z assume il valore minimo. z Soluzione: t +4t+4 è una parabola il cui minimo è il vertice ( 1, ), alternativamente t +4t+4 = (t + t + ) = ((t + 1) + 1) con il secondo fattore somma di due termini sempre non negativi. Il minimo si ottiene per (t + 1) =. Esercizio 1. Si consideri il sistema dipendente dai parametri a, b R: x + y + z = ay + 5z = 1 x + 7y + az = b a) Trovare i valori di a per i quali il sistema è incompatibile. b) Trovare i valori di b per i quali il sistema ammette infinite soluzioni.

5 Soluzione: Scrivendo la matrice completa del sistema, applicando l algoritmo di Gauss con le operazioni R R R 1, R ar, R R R, si ottiene la matrice completa del sistema a scalini x + y + z = [ ay + 5z = 1 (a a 15)z = ab 6a equivalente al sistema di partenza. Per la parte a) Il sistema ammette un unica soluzione se il coefficiente di z nell ultima equazione è diverso da zero, quindi per a 5 a. Per la parte b) Per avere infinite soluzioni, l ultima equazione deve essere =, e questo avviene solo per a = 5 oppure a =. Nel primo caso il secondo membro della terza equazione si annulla solo per b = 1, nel secondo caso solo per b = 4. Esercizio 1. Assumendo che la proprietà 1 A = A per ogni matrice A (in effetti questa proprietà si verifica direttamente lavorando sui coefficienti) si dimostri che se A è una matrice A = Soluzione: A = 1 A = (1 + ) A = A + A. Quindi siccome esiste l opposto vale la legge di cancellazione dunque A = A + A implica A = sommando A ad ambo i membri del equazione precedente. 1 A = A (con A si intende l opposto di A). Soluzione: A+( 1 A) = (1 1)A utilizzando la distributività, e il risultato segue dalla parte precedente per l unicità dell opposto. In effetti assumendo una di queste tre proprietà (che possono essere tutte verificate facilmente lavorando con i coefficienti delle matrici) si dimostrano le altre due, ma assumerne una (o dimostrarla lavorando sui coefficienti) è necessario. Esercizio 14. Dimostrare che se una riga di una matrice è combinazione lineare delle altre, allora con una successione finita di operazioni di riga possiamo arrivare ad una matrice la cui riga corrispondente é nulla Soluzione: Siano R 1,..., R m i vettori riga della matrice. Possiamo assumere, per semplificare la notazione, che si abbia R 1 = α R + + α n R n. Allora basterà effettuare le operazioni di riga R 1 R 1 αr, R 1 R1 α R,..., R1 R 1 α n R n Esercizio 15. Dimostrare che ogni vettore a R b si scrive come combinazione lineare dei vettori Soluzione: Bisogna mostrare che esistono x, y R t.c. ( ( ( a 1 1 = x + y b) 1) 1) 1 1, 1 1 ossia che il sistema x + y = a x y = b ammette sempre almeno una soluzione. Con una operazione di riga, si trova un sistema a scalini equivalente con unica soluzione y = 1 (a b), x = 1 (a + b)

6 Esercizio 16. Eseguire i seguenti prodotti di matrici (a) (b) (c) (d) (e) ( a b ) c d e f 1 4 (1, 1, 1, 1) Soluzione: ( d e ) f a b c (, 8, 8, 8) Esercizio Data la matrice A =, determinare tutte le matrici X Mat( ) tali che AX = e 1 1 tutte le matrici Y Mat( ) tali che Y A =. 1 1 x y x + z y + w Soluzione: a) Moltiplicando =. Ponendo z = t, w = s, le matrici 1 1 z w x + z y + w t s cercate sono della forma con t, s R. t s x + y x + y b) Come prima, facendo la moltiplicazione per una matrice di incognite si ottiene la matrice. z + w z + w t t Ponendo y = t, w = s otteniamo. s s Esercizio 18. Per ognuna delle seguenti matrici determinare, quando esiste, la sua inversa: A 1 = 1, A 1 =, A 1 =. a 1

7 Soluzione: La matrice A non è invertibile, A 1 1 = A 1 = 1 - a 1 Esercizio 19. Date le matrici (a) (b) A = ( ) 1 B = 1 1 determinare (se esistono) tutte le matrici X che soddisfino l equazione matriciale AX = B. A = ( 1 ) 1 B = 1 1 determinare (se esistono) tutte le matrici X che soddisfino l equazione matriciale AX = B. Soluzione: Nel primo caso infinite, dipendenti da due parametri, della forma s t. Nel secondo caso 1 A è invertibile e l unica soluzione è A 1 B. Esercizio. Date le matrici : verificare (a) AB BA A = 1 1, B = 1 1, 1 1 (b) (A + B) = (A + B)(A + B) A + AB + B. Qual è la formula corretta per il quadrato di un binomio? 1 5 Soluzione: AB =, BA = (A + B) = A 4 + B + AB = A + AB + BA + B. ( ). Siccome le matrici non commutano (A + B) =