Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani

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1 Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani

2 Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa ad ogni coppia di numeri interi (i, j), con i = 1 m e j = 1 n, un numero reale a ij. I numeri a ij si dicono elementi della matrice. Fissato i e j, si dice che a ij é l elemento della riga i-esima e della colonna j-esima. Elenchiamo alcune definizioni: 1. Indicheremo con M m,n l insieme delle matrici di tipo m n. 2. Se m = n la matrice si dice quadrata Appunti Mat.Gen M-Z - Villani Giovanni 1

3 3. Gli elementi con indice di riga uguale all indice di colonna formano la diagonale principale. 4. Una matrice quadrata si dice diagonale se tutti gli elementi che non appartengono alla diagonale principale sono nulli. 5. Una matrice quadrata si dice triangolare superiore se per ogni i > j risulta a ij = Una matrice quadrata si dice triangolare inferiore se per ogni i < j risulta a ij = In una matrice quadrata, gli elementi a ij e a ji che sono disposti simmetricamente rispetto alla diagonale principale, si dicono coniugati.

4 8. Se in una matrice quadrata, ogni elemento é uguale al suo conuigato, la matrice di dice simmetrica. 9. Sia A una matrice di tipo m n. La matrice di tipo n m, nella quale l i-esima riga é uguale all i-esima colonna, si dice matrice trasposta e si denota con A T. 10. Le matrici del tipo m 1 si dicono matrici colonna; le matrici di tipo 1 n si dicono matrici riga. 11. La matrice che ha ogni elemento uguale a zero si dice matrice nulla e si indica con O.

5 12. La matrice quadrata che ha tutti gli elementi della diagonale principale uguali ad 1 e tutti gli altri elementi nulli si dice matrice unitá e si indica con I. 13. Si dice sottomatrice di A, una matrice che si ottiene sopprimento alcune righe e/o colonne. Operazioni tra Matrici Definizione 2 Due matrici si dicono uguali se sono dello stesso tipo e se hanno tutti gli elementi rispettivamente uguali. Definizione 3 Siano A = (a ij ) e B = (b ij ) due matrici di tipo m n. Definiamo somma di A e B la matrice C = (c ij ) M m,n il cui generico elemento c ij = a ij + b ij. Essa si indica con A + B.

6 Definizione 4 Sia A = (a ij ) M m,n e sia α R. Si definisce prodotto della matrice A per il numero reale α la matrice B = (b ij ) M m,n il cui generico elemento é b ij = α a ij. B si ottiene moltiplicando ogni elemento di A per α. Definizione 5 Sia A = (a ij ) M m,p e B = (b ij ) M p,n. Si dice prodotto (righe per colonne) di A per B e si indica con AB, la matrice C = (c ij ) M m,n il cui generico elemento é: c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj Osservazione 1 Ammesso che sia possibile, in generale il prodotto di matrici non é commutativo, ossia AB BA Definizione 6 Se AB = BA allora le matrici si dicono commutabili

7 Definizione 7 Sia A M m,n. La matrice A si dice invertibile se esiste una matrice B tale che AB = BA = I. Se B esiste allora essa é unica e si donota con A 1 e si dice matrice inversa di A. Elenchiamo le seguenti proprietá: Se AB = AC non é vero in generale che B = C. (AB) T = B T A T ; (A 1 ) 1 = A; (AB) 1 = B 1 A 1

8 Determinante Nel seguito tratteremo matrici quadrate di ordine n. Ad ogni matrice quadrata A si associa un numero reale che denoteremo con : det(a) oppure con A Per definizione poniamo: det(a 11 ) = a 11 ; det ( a11 a 12 a 21 a 22 ) = a 11 a 22 a 12 a 21 Per matrici quadrata del terzo ordine definiamo come determinante: det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 det(a 11 ) a 12 det(a 12 ) + a 13 det(a 13 ) Appunti Mat.Gen M-Z - Villani Giovanni

9 Definizione 8 Il determinante di A ij si definisce minore complementare. Definizione 9 Il numero c ij = ( 1) i+j A ij si dice aggiunto o complemento algebrico di a ij Il determinante di una matrice quadrata di ordine n é la somma dei prodotti degli elementi di una linea (riga o colonna) per i relativi complementi algebrici. Definizione 10 Una matrice si dice singolare se ha determinante nullo. Proprietá: 1. det(o) = 0(Il det della matr. nulla é zero);

10 2. Il determinante di una matrice diagonale o triangolare é uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale; in particolare det(i) = 1; 3. Se una linea ha tutti gli elementi nulli allora il determinante é zero; 4. det(a) = det(a T ); 5. Se si moltiplica una linea per un numero reale α allora il determinante della matrice che si ottiene resta moltiplicato per α; 6. det(αa) = α n det(a); 7. Se due linee parallele hanno gli elementi rispettivamente in proporzione il determinante é nullo;

11 8. Se il determinante é nullo allora una linea é combinazione linerare di linee parallele; 9. det(ab) = det(a)det(b) (Teorema di Binet); Definizione 11 Una matrice é invertibile se e solo se é non singolare. Definizione 12 Sia A M n,n. La trasposta della matrice che per elementi i complementi algebrici degli elementi della matrice A si dice matrice aggiunta. Definizione 13 Se A é una matrice non singolare e B é l aggiunta di A allora: A 1 = B A

12 Rango di una matrice Definizione 14 Sia A M m,n. Si definisce minore di ordine p, il determinate di una sottomatrice quadrata di ordine p estratta da A. Definizione 15 Si definisce rango o caratterestica di una matrice l ordine massimo dei suoi minori non nulli. Se una matrice ha rango k allora esiste un minore di ordine k non nullo e tutti i minori di ordine maggiore di k sono nulli. Teorema 1 (Teorema di Kronecker) Il rango di una matrice A é uguale ad r se e solo se esiste una sottomatrice H estratta da A di ordine r avente determinante non nullo e se tutte le matrici orlate di H (ottenute aggiungendo una riga ed una colonna della matrice A) di ordine r + 1 hanno determinante nullo.

13 SISTEMI LINEARI. Un sistema lineare formato da m equazioni e da n incognite si puó scrivere come: dove A = x = x 1 x 2. x n Ax = b a 11 a 12 a 1n a 21. a 22.. a 2n. a m1 a m2 a mn ; b = b 1 b 2. b m. ; La matrice A si dice matrice incompleta del sistema lineare; il vettore b si dice colonna dei termini noti; il vettore x le cui componenati soddisfano le m equazioni del sistema di dice soluzione del sistema lineare; la matrice B ottenuta orlando A con la colonna dei termini noti si dice matrice completa.

14 Se il sistema ammette soluzione di dice compatibile. Se il sistema non ammette soluzione di dice incompatibile o impossibile. Se le componenti di b sono tutte nulle allora il sistema si dice omogeneo. Un sistema omogeneo ammette sempre come soluzione il vettore nullo che di dice soluzione banale: un sistema omogeneo é sempre compatibile. Sistemi di m equazioni in n incognite Teorema 2 (di Rouché-Capelli). Il sistema Ax = b ammette soluzione se e solo se la matrice completa e la matrice incompleta del sistema hanno la stessa caratteristica: car(a) = car(b) Sia r la caratteristica. Sono possibile due casi:

15 1. Se n = r il sistema ammetta una ed una sola soluzione. In particolare, se m = n si puó applicare la regola di Cramer. Se m > n allora m n equazioni sono combinazione lineare dell altre equazioni. Per determinare la soluzione occorre risolvere il sistema ottenuto scegliendo n delle m equazioni in modo tale che il determinante della matrice dei coefficienti estratto sia diverso da zero. 2. Se n > r il sistema ammette infinite soluzioni. Dal sistema si scelgono r equazioni in modo tale che il determinante della matrice dei coefficienti sia diverso da zero. Si assegnano alle n r incognite scartate dei valori arbitrari. In questo caso il sistema ammette n r soluzioni.

16 Teorema 3 (di Cramer) Supponiamo che A, la matrice incompleta del sistema lineare, sia non singolare. Ponendo: A i = a 11 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n a n1 a ni 1 b n a ni+1 a nn ossia A i é il determinante della matrice ottenuta sostituendo la i esima colonna di A con la colonna dei termini noti. La soluzione del sistema é data: x i = A i A Sistemi di n equazioni in n incognite In questo caso la matrice A é quadrata di ordine n. Se det(a) 0 allora il sistema ammette una ed una sola soluzione. Se det(a) = 0, allora puó verificarsi: (a) Il sistema é incompatibile, oppure (b) Il sistema ammette infinite soluzioni.