ESERCIZI SULLE MATRICI

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1 ESERCIZI SULLE MATRICI Consideriamo il sistema lineare a, x + a, x + + a,n x n = b a, x + a, x + + a,n x n = b a m, x + a m, x + + a m,n x n = b m di m equazioni in n incognite che ha a, a,n A = a m, a m,n matrice m n come matrice di coefficienti e b b = b m come vettore dei termini noti Per compattezza tale sistema si indica a volte come A x = b dove x x = x n sono le incognite Se si pensa ad un sistema di una equazione in una incognita a, x A = a, è un numero Ci sono tre possibilità: Se a, c è sempre una ed una sola soluzione x = a, /b Se a, = e b non ci sono soluzioni Se a, = e b = ci sono infinite soluzioni = b allora Nel caso di sistemi m n si possono verificare di nuovo queste tre possibilità Per discuterle diamo alcune definizioni: Definizione Sottomatrici Da una matrice A si possono ottenere matrici piú piccole eliminando alcune righe e colonne Per esempio si indica con M i,j la matrice ottenuta cancellando l i ma riga e la j ma colonna Definizione Determinante Per le matrici quadrate, cioè con n = m, si definisce ricorsivamente il erminante Per una matrice, A = a,, si pone A = a,

2 ESERCIZI SULLE MATRICI Per una matrice A n n si sceglie una qualsiasi riga, supponiamo che sia la i ma: A = a i+ i, M i, a i, M i, +a i, M i, + n a i,n M i,n Dove M i,j è la matrice che si ottiene da A cancellando la i ma riga e la j ma colonna Si noti che la somma è a segni alterni e parte con il + se i + è pari cioè se i è dispari se i è pari la somma parte con il meno Lo stesso risultato si ottiene scegliendo una qualsiasi colonna, supponiamo che sia la j ma: A = a j+,j M,j a,j M,j +a,j M,j + n a n,j M n,j Per una matrice si ha: a, a A =,, A = a a, a, a, a, a,, Per esempio data la matrice A = si ha usando la prima riga A = + si ottiene lo stesso risultato usando la seconda colonna: A = + Definizione rango Data una matrice m n consideriamone le sottomatrici quadrate ottenute cancellando alcune righe e colonne Si dice che A ha rango r se sono verificate le seguenti due condizioni: esiste una sottomatrice r r il cui erminante è diverso da zero tutte le sottomatrici r + r + hanno erminante uguale a zero Puo essere utile il seguente Teorema degli orlati Teorema Data una matrice A tale che: esiste una sottomatrice r r il cui erminante è diverso da zero le sottomatrici r + r + ottenute aggiungendo una riga ed una colonna alla matrice r r del punto hanno tutte erminante uguale a zero Allora A ha rango r Notare che il teorema permette di calcolare meno erminanti r + r + Il rango è anche legato al concetto di vettori linearmente indipendenti Un vettore colonna di dimensione n è una lista di n numeri le sue componenti messi in colonna Lo stesso vale per un vettore riga di dimensione n Per esempio i punti nel piano cartesiano sono rappresentati come vettori riga di dimensione

3 ESERCIZI SULLE MATRICI I vettori colonna della stessa dimensione si possono sommare tra di loro sommandone le componenti: v = v v, w = w w, v + w = v + w v + w v m w m v m + w m allo stesso modo i vettori colonna si possono moltiplicare per un numero α R: v = v v v m, α v = αv αv αv m Naturalmente la stessa cosa si puo fare con le righe Una somma di vettori α v + α v + α n v n, dove almeno uno degli α i è diverso da zero, si dice una combinazione lineare dei vettori Definizione 4 indipendenza lineare I vettori v, v,, v n si dicono linearmente indipendenti se non esiste nessuna loro combinazione lineare che dia il vettore nullo Teorema Data una matrice A, consideriamo i vettori colonna dati dalle colonne di A Il rango di A è pari al massimo numero di colonne linearmente indipendenti Equivalentemente il rango di A è pari al massimo numero di righe linearmente indipendenti notare che questo puo servire anche per capire se dei vettori sono linearmente indipendenti: si considera la matrice che ha come colonne i vettori e se ne calcola il rango Per esempio i tre vettori: v = v = sono indipendenti dato che la matrice v = ha erminante pari a e quindi rango Reciprocamente la matrice A =

4 4 ESERCIZI SULLE MATRICI ha rango infatti la terza e quarta riga si esprimono come combinazione lineare della prima e seconda riga: =, = D altro canto la prima e la seconda riga sono fra loro indipendenti visto che la sottomatrice ha erminante diverso da zero Si noti che per dimostrare che il rango di A è due col teorema degli orlati bisogna calcolare i erminanti delle due seguenti matrici : A =, A = Metodi di risoluzione dei sistemi lineari A Per risolvere sistemi lineari di n equazioni in n incognite in cui la matrice dei coefficienti A ha erminante diverso da zero si può usare il metodo di Kramer Sia b is vettore dei termini noti; esiste una ed una sola soluzione del sistema lineare ed essa è data da: x j = B j A dove la matrice B j si ottiene sostituendo alla j ma colonna di A la colonna dei termini noti b Esempio Si consideri il sistema dato da: A =, b == Si ha che A = 5 e quindi applicando la formula di Kramer: x = = A 5, x = A x = A = 4 5 = 7 5, B In generale se la matrice dei coefficienti non è quadrata o è quadrata ma con erminante nullo, si può seguire il metodo di Rouché Capelli che consiste in due

5 ESERCIZI SULLE MATRICI 5 passi Si consideri is sistema lineare con matrice di coefficienti A e vettore di termini noti b, supponiamo che A sia m n Calcolare il rango di A ed il rango della matrice indicata con B ottenuta aggiungendo ad A la colonna dei termini noti b Se i due ranghi non coincidono cioè se rangoa < rangob allora il sistema lineare non ha nessuna soluzione Se rangoa = rangob = r ci sono infinite soluzioni piú precisamente n r soluzioni cioè ci sono infinite soluzioni parametrizzate da n- rangoa parametri indipendenti Per erminare le soluzioni si va al passo Dato che rangoa = r esiste una matrice r r con erminante diverso da zero Se ne scelga una, chiamiamola A r Ora si lavora sul sistema di equazioni: Eliminare dal sistema tutte le equazioni le cui righe non fanno parte della matrice r r scelta Infatti queste equazioni si possono ottenere come combinazione lineare delle equazioni che compaiono in A r Passare al secondo membro nelle equazioni tutte le incognite le cui colonne non fanno parte di A r A questo punto si ottiene un sistema lineare con matrice dei coefficienti A r e con un vettore dei termini noti chiamiamolo b r che ha dimensione r e dipende da n r incognite tutte quelle che abbiamo passato a secondo membro Risolvere il sistema descritto sopra con il metodo di Kramer per ipotesi A r Si consideri il sistema dato da: A =, b = Il rango della matrice A è r = infatti la sottomatrice A ottenuta cancellando la terza colonna e la terza e quarta riga è invertibile; inoltre la terza colonna di A si ottiene dalle prime due colonne per combinazione lineare Esplicitamente La matrice B è: A =, = 5 ed ha rango due anch essa dato che b = 5 = 5

6 6 ESERCIZI SULLE MATRICI Quindi il sistema ha infinite soluzioni Scriviamo esplicitamente il sistema: x + x x = x x + x = 5 x x = x + x x = A l abbiamo ottenuta da A cancellando la terza e quarta riga e la terza colonna, quindi nel sistema cancelliamo la terza e quarta riga che non entrano in A e portiamo a secondo membro x la terza colonna non entra in A : { x + x = x x x = 5 x A questo punto abbiamo un sistema di due equazioni in due incognite con matrice dei coefficienti pari ad A e con vettore dei termini noti dipendente dal parametero x : x A =, 5 x Risolviamo con Kramer: x 5 x x = = x, x = x 5 x = x