Esercizi svolti sui sistemi lineari

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1 Francesco Daddi - Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: tx+(t 1)y + z =1 (t 1)y + tz =1 2 x + z =5 (1) Soluzione. Il determinante della matrice dei coefficienti è t t 1 1 det t 1 t = t 2 3 t quindi si annulla per t = 1 e t = 2. Se t 1 t 2 si ha un unica soluzione (il sistema è quadrato); con il metodo di Cramer si ottiene: (x, y, z) T = ( 5 t 5 t 2 ; 5 t2 + t 2 t 2 3 t +2 ; I valori t = 1 e t = 2 devono essere studiati separatamente: ) T 5 t. (2) 2 t per t = 1 il sistema (1) diventa: x + z =1 z =1 2 x + z =5 x = z =1 x =2 sistema impossibile per t = 2 il sistema (1) diventa: con l eliminazione di Gauss si ottiene: x + y + z =1 y +2z =1 2 x + z = sistema impossibile In definitiva abbiamo: { se t 1 t 2 il sistema ha un unica soluzione (si veda la (2)); se t =1 t = 2 il sistema è impossibile.

2 Francesco Daddi - Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 2. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale k: x + y + kz =2 x + y +3z = k 1 2 x + ky z =1 (1) Soluzione. Il determinante della matrice dei coefficienti è 1 1 k det = k 2 5 k +6 2 k 1 quindi si annulla per k = 2 e k = 3. Se k 2 k 3 si ha un unica soluzione (il sistema è quadrato); con il metodo di Cramer si ottiene: ( k(k + 2) (x, y, z) T = k 2 ; 2 k 4 T ; 1). (2) k 2 I valori k = 2 e k = 3 devono essere studiati separatamente: per k = 2 il sistema (1) diventa: con l eliminazione di Gauss otteniamo: per k = 3 il sistema (1) diventa: con l eliminazione di Gauss si ottiene: x + y +2z =2 x + y +3z =1 2 x +2y z =1 x + y +3z =2 x + y +3z = x +3y z = sistema impossibile ;

3 ponendo z = t (parametro libero) otteniamo le soluzioni: x 5 1 t y = t z t. (3) In definitiva abbiamo: se k 2 k 3 il sistema ha un unica soluzione (si veda la (2)); se k = 2 il sistema è impossibile; se k = 3 il sistema ha 1 soluzioni (si veda la (3)). 2

4 Francesco Daddi - Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 3. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale k: kx + y = 1 4 x +2y = k 6 x +3y = 3 (1) Soluzione. Il determinante della matrice completa è k 1 1 det 4 2 k =3k 2 12 k + 12 = 3 (k 2) quindi si annulla solo per k = 2. Se k 2 il sistema è impossibile (infatti, se k 2, il rango della matrice completa è 3, mentre il rango della matrice dei coefficienti, essendo 3 2, è 2 per ogni k R). Resta da analizzare il caso k = 2: ponendo k = 2 nel sistema (1) abbiamo 2 x + y = 1 4 x +2y = 2 6 x +3y = 3 con l eliminazione di Gauss risulta: ponendo y = t (parametro libero) abbiamo le seguenti soluzioni: ( ) 1 t x = 2. (2) y t In definitiva abbiamo: { se k 2 il sistema è impossibile; se k = 2 il sistema ha 1 soluzioni (si veda la (2)).

5 Francesco Daddi - Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 4. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale k: x + y + z = x + y + kz = k x +(k 1)y = x +(k 1)y + kz = k (1) Soluzione. Il determinante della matrice completa è k k det 1 k 1 = k2 2 k = k(k 2) 1 k 1 k k quindi si annulla per k = e per k = 2. Se k k 2 il sistema è impossibile. Ora dobbiamo analizzare i due casi k = e k = 2. Ponendo k = nel sistema (1) abbiamo: x + y + z = x + y = x y = x y = con l eliminazione di Gauss risulta: si ha quindi un unica soluzione: x = y = z =. Per k = 2 il sistema (1) diventa: x + y + z = x + y +2z = x + y = x + y +2z =2 2 1 con l eliminazione di Gauss risulta: In definitiva abbiamo: { se k il sistema è impossibile; sistema impossibile se k = il sistema ha un unica soluzione (x, y, z) T = (,, ) T. Si osservi che il caso k =2è compreso nel caso k.

6 Francesco Daddi - Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 5. Risolvere il seguente sistema lineare al variare dei parametri reali k, h: x +2y 2 z = x y z = 2 h 2 x + ky 2 z = 1 (1) Soluzione. Il determinante della matrice dei coefficienti è det = k 2 2 k 2 e quindi si annulla per k = 2: il sistema ammette pertanto un unica soluzione se e solo se k 2; con il metodo di Cramer si ricava 4(hk 2 h + 1) x = k +2 y = 4 h 1 (2) k +2 2 hk 8 h +3 z = k +2 Andiamo a studiare il caso k = 2: la matrice completa è l algoritmo di Gauss troviamo: h h 4 h h , seguendo il sistema ammette soluzioni se e solo se 4 h 1 =, ovvero se e solo se h = 1 4. Con questo valore di h il sistema ammette le soluzioni x =4t 1 y = t z =3t 1 2 con t R. (3) In definitiva abbiamo: se k 2 il sistema ammette un unica soluzione (si veda la (2)); se k = 2 h = 1 4 il sistema ha 1 soluzioni (si veda la (3)); se k = 2 h 1 4 il sistema è impossibile.

7 Francesco Daddi - Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 6. Risolvere il seguente sistema lineare al variare dei parametri reali k, h: x 2 y = 2 x +2hy =1 x + ky=1 (1) Soluzione. Il determinante della matrice completa è 1 2 det 2 2h 1 =2h k +2 1 k 1 se 2 h k +2 il sistema risulta impossibile (infatti la matrice dei coefficienti ha rango 2, mentre la matrice completa ha rango pari a 3). Resta ora da analizzare il caso 2 h k + 2 = : ricavando k abbiamo k =2h + 2, sostituendo nella matrice completa ed effettuando due passaggi dell algoritmo di Gauss si ha: h 1 1 2h h h +4 1 la terza equazione può essere trascurata, quindi basta studiare la matrice ( 1 2 2h +4 1 se h = 2 (da cui k =2 ( 2) + 2 = 2) il sistema risulta impossibile; se h 2 il sistema ammette un unica soluzione: x = 1 h +2 y = 1 2(h + 2) ) ;. (2) In definitiva: se k 2h + 2 il sistema è impossibile; se h = 2 k = 2 il sistema è impossibile; se h 2 k =2h + 2 il sistema ammette un unica soluzione (si veda la (2))

8 Francesco Daddi - Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 7. Risolvere il seguente sistema lineare al variare dei parametri reali k, h: x + hy+ kz= k kx+ z = x + hy+ z =2 (1) Soluzione. Il determinante della matrice dei coefficienti è: 1 h k det k 1 = kh(k 1) ; 1 h 1 se k k 1 h il sistema ammette un unica soluzione: x = k 2 k(1 k) y = k +2 kh z = k 2 k 1 Analizziamo ora i tre casi particolari. Caso k = : sostituendo nella matrice completa e seguendo l algoritmo di Gauss si ottiene: 1 h 1 h h (2) dalla terza riga segue che il sistema è impossibile. Caso k = 1: sostituendo nella matrice completa e seguendo l algoritmo di Gauss si ottiene: 1 h h h 1 1 h dalla terza riga segue che il sistema è impossibile. Caso h = : sostituendo nella matrice completa e seguendo due passaggi dell algoritmo di Gauss si ottiene: 1 k k k k k 1 k 2 k 2 1 k 2 k 1 k k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 1

9 a questo punto, supponendo k 1 (il caso k = 1 è stato già studiato), possiamo effettuare l ultimo passaggio dell algoritmo di Gauss: 1 k k 1 k k 1 k 2 k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 2 si hanno soluzioni se k 2 =, ovvero se k = 2 ; in tal caso le soluzioni sono le seguenti: x = 2 3 y = t z = 4 3 con t R (3) In definitiva: se k k 1 h il sistema ammette un unica soluzione data dalla (2) ; se k = il sistema è impossibile; se k = 1 il sistema è impossibile; se h = k = 2 il sistema ammette 1 soluzioni, fornite dalla (3); se h = k 2 il sistema è impossibile. 2

10 Risoluzione di un quesito presentato all Esame di Maturità Indirizzo Scientifico P.N.I., riguardante i sistemi lineari parametrici Durante una normale lezione curricolare in una classe quarta ad indirizzo sperimentale P.N.I. si è affrontato un quesito riguardante un sistema lineare di equazioni parametriche. Siccome tale quesito presenta caratteristiche interessanti, che permettono anche una visione geometrica del problema, mi è parso utile proporlo in questo svolgimento. Esame di Maturità P.N.I. sessione ordinaria 1998, quesito n 2. Consideriamo il seguente sistema lineare $ ( k! 1) x" y " 1 # % & 2kx " y " 1# % ' 2x! y! 1! h # Consideriamo il determinante della matrice completa del sistema k! 1 " 1 1 (# 2k " " 1" h 1" k " sottraendo alla prima riga la seconda si ottiene ) *) * h) k * (# 2k " 1 1 # 1" k 1! h " 1 # 1" 2 1 " 1" h. Per h +, k + 1 il rango della matrice completa è uguale a tre; questo comporta che il sistema è impossibile in quanto il rango della matrice incompleta è pari a due (teorema di Rouché - Capelli). Passiamo adesso ad un analisi geometrica del sistema. La prima equazione del sistema rappresenta un fascio di rette le cui generatrici sono: r1: x" y " 1 # ed il cui centro è C 1(; " 1). r2 : x# La seconda equazione del sistema rappresenta un fascio di rette le cui generatrici sono: s1: " y" 1# ed il cui centro è C 2(; " 1). s2 : x# Le prime due equazioni del sistema sono due fasci con lo stesso centro. La terza equazione è un fascio improprio di rette t : y #" 2x" h" 1; qual è la retta del fascio che passa per il centro degli altri due fasci? f Imponiamo che la retta t passi per C (; " 1) ed otteniamo h # e t: y # " 2x " 1 1

11 Sistema che non ammette soluzioni Sistema determinato 2

12 Pertanto, quando h # il sistema è determinato qualunque sia il valore di k. La soluzione del $ x # sistema è & ' y #" 1 Osserviamo, inoltre, che quando h # 1. per il valore di k tale che k! 1#"2 cioè k # " 3 otteniamo il sistema $" % 2x" y" 1# & " 6x " y " 1 # in cui la prima e la terza equazione coincidono, graficamente equivale a: % ' 2x! y! 1# 2. per il valore di k tale che 2k #"2 cioè k # " 1 otteniamo il sistema $ " y " 1# % & " 2x " y " 1 # in cui la seconda e la terza equazione coincidono, graficamente equivale a: % ' 2x! y! 1# 3

13 3. per il valore di k tale che k! 1# 2k cioè k # 1 otteniamo il sistema $ 2x" y" 1# % & 2x" y" 1 # in cui la prima e la seconda equazione coincidono, graficamente equivale a: % ' 2x! y! 1# 4

14 Le tre rette formeranno un triangolo nel piano quando $ k + 1 % h+,& k + " 1 % ' k +" 3 5

15 SISTEMI LINEARI Nedo Checcaglini, January m m m m x = 2 3, y = ,z= z, 3 1 con z che può assumere valori arbitrari. d) Risolvere il sistema: { 2x +3y + z =4 4x +6y +2z =9. ove m (equazioni) < n(incognite). Si può facilmente verificare (considerando le [ sottomatrici ] quadrate di ordine 2) che il rango della matrice incompleta è uguale a 1, [ ] mentre il rango della matrice completa è uguale a 2. Non essendo uguali i due ranghi, il sistema è incompatibile (non ha soluzioni). 1.3 Sistemi lineari parametrici Particolare importanza, specialmente per l esame di stato, assume la risoluzione di sistemi parametrici; seguono esempi con uno, due e tre parametri rispettivamente. Esempi: a) Risolvere e discutere, al variare del parametro k il seguente sistema lineare: x + y z =1 2x +3y + kz =3 x + ky +3z =2 Per quanto riguarda la matrice incompleta si ha: k 1 k 3 = k2 + k +6. Tale determinante è, e quindi il sistema è crameriano (cioè ammette una ed una sola soluzione) per k 2 k Per k = 2 si ha ovviamente: =, per cui il rango della matrice incompleta non è 3 (ed è 2 come si può facilmente verificare), ed il sistema o è indeterminato o è impossibile. 7

16 SISTEMI LINEARI Nedo Checcaglini, January 25 Presa in considerazione la matrice completa , per gli altri minori che si possono estrarre si osserva che: =, =, = e quindi anche la matrice completa non ha rango 3 (e quindi ovviamente due) per cui, per il teorema di Rouché-Capelli il sistema è compatibile ed ammette n k = 3 2 = 1 soluzioni Per k = 3 si ha ovviamente: =, (e quindi il rango della incompleta non è 3), ma poiché dalla matrice completa si può estrarre un minore = 5, il rango della matrice completa è 3 ed il sistema è impossibile. b) Si stabiliscano le relazioni cui debbono soddisfare a e b affinché il ax + y + bz =1 sistema di equazioni: x + y + az =1 ammetta un unica soluzione o x + ay + bz =1 infinite soluzioni o nessuna soluzione. Affinché il sistema ammetta una e una soluzione è necessario che il determinante della matrice incompleta sia diverso da zero. Si ha: a 1 b 1 1 a 1 a b = ab + ab + a (b + a3 + b) =2b(a 1) a(a 2 1) = (a 1)[2b a(a + 1)] e quindi il sistema ammette una ed una soluzione per a(a + 1) (a 1)[2b a(a + 1)] e cioè per a 1 b. 2 Si hanno inoltre i seguenti casi: i) a 1 = 2b a(a + 1) ii) a 1 = 2b a(a + 1) = iii) a 1 2b a(a + 1) = i) a =1 b 1 per la matrice incompleta 1 1 b 1 matrice completa b b b =, ma anche la non può avere rango tre poiché la prima e la terza riga sono uguali e, per le proprietà dei determinanti, tutte le matrici del terzo ordine hanno determinante nullo il sistema è indeterminato 8

17 SISTEMI LINEARI Nedo Checcaglini, January 25 o impossibile. Poiché si è posto b 1 entrambe le matrici, completa e incompleta, hanno rango 2 e quindi il sistema è compatibile ed ammette n k = 3 2 = 1 soluzioni ii) a =1 b =1 per la matrice incompleta =, ma anche la matrice completa non ha rango 3 ed entrambe, come si può facilmente vedere hanno rango 1 il sistema è compatibile (teorema di Rouché-Capelli) ed ammette n k = 3 2 = 1 soluzioni. a a 1 2 +a a(a + 1) 2 iii) a 1 b = la matrice incompleta 1 1 a ha 2 1 a a2 +a 2 rango 2 (ovviamente non 3) e la matrice completa a a 1 2 +a a 1 1 a a2 +a 2 1 ha almeno un minore di ordine 3 diverso da zero; infatti si ha: a a 1 =2a 1 a2 = (a 1) 2 che è diverso da zero per a 1 la matrice completa ha rango 3 per cui il sistema è impossibile. c) Determinare la condizione necessaria e sufficiente, con h, k, l parametri reali, per l esistenza di soluzioni (una o infinite) del sistema: Poiché x + y +2z = h 4x z = k x 3y 7z = l = 1 24 ( 28+3) =, il rango della matrice incompleta non è 3 (ma è 2 come si può facilmente verificare). Allora, affinché il sistema abbia soluzioni, anche la matrice completa deve avere rango 2, per cui tutti i minori di ordine tre che si possono estrarre dalla matrice devono essere nulli. Si ha, considerando ovviamente solo gli altri tre minori: 1 2 h 1 k 3 7 l = l + k 3h; 1 1 h 4 k 1 3 l = 4l +4k 12h e 9

18 SISTEMI LINEARI Nedo Checcaglini, January h 4 1 k 1 7 l = 9l +9k 27h, per cui in ogni caso, ponendoli uguali a zero, si ha la relazione cercata: l +3h k =. Indice 1 SISTEMI LINEARI Sistemi di n equazioni in n incognite Sistemi di m equazioni in n incognite Sistemi lineari parametrici