Soluzioni del Foglio 2 I sistemi lineari

Transcript

1 Soluzioni del Foglio 2 I sistemi lineari Soluzione dell esercizio 1 Il sistema assegnato è un sistema di 2 equazioni in 2 incognite non omogeneo Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono rispettivamente: ( ) ( ) 3 2 A =, A = C = Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema è compatibile se e soltanto se è soddisfatta la condizione rg A = rg A Dato che, = 23 0, abbiamo rg A = 2 = rg A Il sistema è normale, quindi compatibile, ed ammette una sola soluzione L unica soluzione del sistema è data dalla coppia, x 1 = det A 1 det A, x 2 = det A 2 det A, dove A 1 e A 2 sono le matrici ottenute da A sostituendo la prima e la seconda colonna di A rispettivamente, con la colonna dei termini noti del sistema x 1 = 5 23, x = 4 23 L unica soluzione del sistema è la coppia ( 5 23, 4 23) Soluzione dell esercizio 2 Il sistema assegnato è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite non omogeneo Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono rispettivamente: A = , A = C = Calcoliamo il determinante della matrice A = = 2 2 = 0 Di conseguenza rg A < 3 e il sistema assegnato è non normale Poiché A 12,12 = = 1 0, abbiamo rg A = 2 Affinché il sistema sia compatibile questo deve essere il rango anche della matrice completa Il minore scelto possiede, come minore di A, due orlati del terzo ordine:a 123,123, A 123,124 Il primo di questi minori è nullo in quanto coincide con il determinante di A Calcoliamo il secondo di tali minori, A 123,124 = = 0 (c 3 = 2c 1 + c 2 )

2 Pertanto rg A = 2 = rg A, il sistema è compatibile ed ammette 3 2 = 1 soluzioni Dalla scelta del nostro minore del secondo ordine non nullo possiamo concludere che il sistema assegnato è equivalente al seguente sistema di 2 equazioni in 3 incognite: { x1 +x 2 2x 3 = 1 x 1 +x 3 = 2 Sempre coerentemente con la scelta del minore del secondo ordine non nullo da noi indicato, posto x 3 = t, t R, abbiamo { x 2 = 1 + t = 2 + t Le 1 soluzioni del sistema sono le terne del tipo: x 1 ( 2 + t, 1 + t, t) = ( 2, 1, 0) + t(1, 1, 1), t R Osserviamo che ( 2, 1, 0) è una soluzione particolare del sistema assegnato, mentre le terne del tipo (t, t, t), t R, descrivono tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato Soluzione dell esercizio 3 Il sistema assegnato è un sistema lineare di 4 equazioni in 4 incognite omogeneo Da quest ultima osservazione possiamo concludere che il sistema assegnato è compatibile, in quanto ammette sempre almeno la soluzione banale (0, 0, 0, 0) La matrice associata al sistema è: A = Il sistema ammetterà una sola soluzione, quindi ncessariamente quella banale, se e soltanto se la matrice A ha rango massimo Quest ultima condizione è verificata se e soltanto se det A 0 Dato che = 0 (r 4 = r 1 + r 2 + r 3 ), avremo rg A < 4 e il sistema ammette soluzioni diverse da quella banale Il minore del terzo ordine: A 123,123 = = = 3 0, quindi rg A = 3 ed il sistema ammette 4 3 = 1 soluzioni Il sistema assegnato è equivalente al sistema: x 1 +x 2 x 3 = 0 x 3 +x 4 = 0, x 1 2x 2 +x 4 = 0 la cui matrice associata è la matrice B =

3 Le 1 soluzioni del sistema sono proporzionali ai minori del terzo ordine, estratti a segni alterni, ottenuti eliminando ordinatamente la prima, la seconda, la terza e la quarta colonna di B Ovvero: x 1 = t = 3t, x = t = 0, x = t = 3t, x = t = 3t, con t R Le 1 soluzioni sono le quaterne del tipo (3t, 0, 3t, 3t), t R Soluzione dell esercizio 4 Il sistema assegnato è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite non omogeneo Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono rispettivamente: A = , A = Calcoliamo il rango della matrice A Dato che = 13 0, abbiamo rg A = 3 Il sistema assegnato è normale, quindi compatibile, ed ammette una sola soluzione L unica soluzione del sistema è data dalla terna: x 1 = det A = 1, x 2 = det A = 0, x 3 = det A = 0 13 Soluzione dell esercizio 5 Il sistema assegnato è un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite omogeneo Precisamente, è il sistema omogeneo associato al sistema del precedente esercizio Dato che tale sistema ammette una sola soluzione e un sistema omogeneo ammette sempre almeno la soluzione banale, l unica soluzione del sistema è la terna (0, 0, 0) Soluzione dell esercizio 6 Il sistema assegnato è un sistema di 4 equazioni in 5 incognite non omogeneo La matrice completa associata al sistema è la matrice: A = Riduciamo la matrice A a scalini operando sulle sue righe tramite le operazioni elementari, A = r 2 r 2 2r r 4 r 4 r = B r 3 2r 3 r 2 r 4 r 4 r 2

4 La matrice completa associata al sistema è equivalente alla matrice a scalini B Di conseguenza il sistema assegnato è equivalente al sistema: Il sistema è evidentemente incompatibile x 1 x 2 +x 5 = 1 2x 2 +x 3 x 4 2x 5 = 0 x 3 x 4 +4x 5 = 2 0 = 1 Soluzione dell esercizio 7 Il sistema assegnato è un sistema di 5 equazioni in 5 incognite non omogeneo La matrice completa associata al sistema è la matrice: A = Riduciamo a scalini la matrice A tramite le trasformazioni elementari sulle righe: A = r 3 r 3 2r r r 4 2r r r 5 r r r 5 r = B La matrice completa A è equivalente alla matrice a scalini B Il sistema assegnato è equivalente al sistema: x 1 +x 3 x 5 = 1 x 2 x 3 +x 4 = 1 2x 3 x 4 +4x 5 = 0 Tale sistema ammette 5 3 = 2 soluzioni Posto x 4 = 2h, x 5 = 2k possiamo riscrivere il sistema come: x 1 +x 3 = 1 + 2k x 2 x 3 = 1 2h x 3 = h + 4k Tramite sostituzioni successive possiamo allora determinare i valori delle incognite x 1, x 2 e x 3 in funzione dei parametri h e k Le 2 soluzioni del sistema sono quindi: (1+h 2k, 1 3h+4k, h+4k, 2h, 2k) = (1, 1, 0, 0, 0)+h(1, 3, 1, 2, 0)+k( 2, 4, 4, 0, 2), h, k R Soluzione dell esercizio 8 Il sistema assegnato è un sistema quadrato, la cui matrice associata è: k 1 1 A = k + 1 k 3 r 4 r 4 r 2 r 5 r 5 + r 2

5 Un tale sistema omogeneo ammette soluzioni diversa dalla banale se e soltanto se 0 Dato che: k k + 1 k 3 = (2k2 + k 1), tale condizione è soddisfatta per k 1 = 1, k 2 = 1 2 Per tali valori del parametro reale k il sistema ammette quindi autosoluzioni Per k 1 = 1 il sistema diviene: x 1 x 2 +x 3 = 0 x 1 +2x 3 = 0 x 2 3x 3 = 0 La matrice associata a tale sistema è la matrice: A 1 = Dato che A 1 12,12 = = 1 0, abbiamo rg(a 1) = 2 e il sistema ammette 3 2 = 1 soluzioni Il sistema è equivalente al sistema: { x1 x 2 +x 3 = 0 x 1 +2x 3 = 0 Posto x 3 = t, t R, è semplice determinare i valori di x 1 e x 2 in funzione del parametro t Le 1 soluzioni del sistema sono le terne del tipo: (2t, 3t, t) = t(2, 3, 1), t R Per k 2 = 1 2 il sistema diviene: x 1 2x 2 +2x 3 = 0 x 1 +2x 3 = 0 3x 1 x 2 6x 3 = 0 La matrice associata a tale sistema è la matrice: A 1/2 = Dato che A 1/212,12 = = 2 0, abbiamo rg(a 1/2) = 2 e il sistema ammette 3 2 = 1 soluzioni Il sistema è equivalente al sistema: { x1 2x 2 +2x 3 = 0 x 1 +2x 3 = 0 Posto x 3 = h, h R, le 1 soluzioni del sistema sono le terne: (2h, 0, h) = h(2, 0, 1), h R

6 Soluzione dell esercizio 9 Il sistema assegnato è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite non omogeneo Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono rispettivamente: A = k k, A = k k k 2 1 k 1 Affinché il sistema risulti compatibile deve essere soddisfatta la condizione rg A = rg A Se il sistema normale sappiamo che conseguentemente esso è anche compatibile Dato che rg A = 3 se e soltanto se det A 0, se questa condizione è soddisfatta allora il sistema ammetterà una sola soluzione k = 2k(k + 2) 2 1 k Qundi 0 se e soltanto se k 1 = 2, k 2 = 0 Per k 2, 0, il sistema ammette una sola soluzione (per ogni valore di k fissato) che possiamo determinare con il metodo di Cramer: k k x 1 = det A k = 0, x 2 = det A k(k + 3) 2 1 k = 1, x 3 = det A k(k + 3) = 0 2k(k + 3) Per k 2, 0, l unica soluzione del sistema è la terna (0, 1, 0) Per k = 2 il sistema diviene: x 1 +x 2 = 1 x 2 +2x 3 = 1 2x 1 +x 2 +2x 3 = 1 Le matrici associate a tale sistema sono: A 2 = , A 2 = Poiché A 2 12,12 = = 2 Applicando il teorema degli orlati a tale minore, visto come minore del secondo ordine di A 2, abbiamo A 2123,123 = det A 2 = 0, A 2123,124 = = 0 Di conseguenza rg A 2 = 2 = rg A 2, il sistema è compatibile ed ammette 3 2 = 1 soluzioni Il sistema è equivalente al sistema: { x1 +x 2 = 1 x 2 +2x 3 = 1 Posto x 3 = t, t R, le 1 soluzioni del sistema sono le terne: ( 2t, 1 + 2t, t) = (0, 1, 0) + t( 2, 2, 1), t R

7 Per k = 0 il sistema diviene: 3x 1 +x 2 = 1 x 2 = 1 2x 1 +x 2 = 1 Le matrici associate al sistema sono: A 0 = , A 0 = Anche in questo caso, come è immediato verificare, la condizione rg A 0 = 2 = rg A 0 è soddisfatta Il sistema è compatibile ed ammette 1 soluzioni Il sistema assegnato è equivalente al sistema (di 2 equazioni in 3 incognite): { 3x1 +x 2 = 1 x 2 = 1 Le equazioni di tale sistema forniscono immediatamente x 1 = 0, x 2 = 1 Di conseguenza le 1 soluzioni del sistema sono le terne del tipo: (0, 1, h) = (0, 1, 0) + h(0, 0, 1), h R Soluzione dell esercizio 10 Il sistema assegnato è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite, non omogeneo Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono rispettivamente: A = 1 0 k 1 0 k 2 k 1 1, A = k 1 1 k k + 2 Affinché il sistema sia compatibile deve essere soddisfatta la condizione rg A = rg A Se il rango del sistema è massimo, allora tale condizione è certamente soddisfatta Visto che A è una matrice quadrata il suo rango è massimo se e soltanto se det A k k = 1 k2 Quindi per k ±1 avremo det A 0 In questo caso rg A = 3 = rg A, il sistema è compatibile ed ammette una sola soluzione (per ogni valore di k fissato) che possiamo determinare con il metodo di Cramer: 2 0 k k 1 1 x 1 = det A 1 x 2 = x 3 = det A2 det A3 k k = k k k 1 0 k k 2 1 k = 2 2 k k 1 k 0 1 k + 2 k+1, = k3 2k 2 +5k 2 1 k 2,

8 Per k 1 = 1 il sistema diviene: x 1 +x 3 = 2 x 1 +x 2 +x 3 = 1 x 2 +2x 3 = 1 Le matrici associate a tale sistema sono: A 1 = 1 1 1, A 1 = Dobbiamo verificare se sia soddisfatta o meno la condizione rg A 1 = rg A 1 Il minore del secondo ordine A 1 12,12 = = 1 0, quindi rg A 1 = 2 Il minore del terzo ordine di A 1, A 1123,124 = = 6 0, quindi rg A 1 = 3 2 = rg A 1 ed il sistema è incompatibile Per k = 1 il sistema diviene: x 1 x 3 = 2 x 1 +x 2 +x 3 = 1 x 2 +2x 3 = 3 La seconda equazione del sistema è uguale alla somma tra la prima e la terza, di conseguenza il sistema è equivalente al sistema di 2 equazioni in 3 incognite: { x1 x 3 = 2 x 2 +2x 3 = 3 La matrice incompleta associata a tale sistema è ( ) Tale matrice ha rango 2, il sistema è normale, quindi compatibile, ed ammette 3 2 = 1 soluzioni Posto x 3 = t, t R, le 1 soluzioni del sistema sono le terne del tipo: ( 2 + t, 3 2t, t) = ( 2, 3, 0) + t(1, 2, 1), t R