ALGEBRA LINEARE PARTE III

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1 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova Dicembre 200

2 Indice PREMESSA 2 GENERALITA 2 RAPPRESENTAZIONE DI UN SISTEMA LINEARE IN FORMA MATRI- CIALE 2 3 SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI PARTICOLARI 3 4 SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI: REGOLA GENERALE 6 4 LA PROCEDURA DI GAUSS 6 42 MATRICE COMPLETA E TEOREMA DI ROUCHE CAPELLI 4 43 SISTEMI LINEARI OMOGENEI 6 PREMESSA Le note presentate a seguire non sostituiscono gli appunti presi a lezione, né si presuppongono completamente esaustive degli argomenti affrontati nel corso della lezione Il loro intento è semplicemente quello di porsi come materiale aggiuntivo, in grado di fornire ulteriori delucidazioni sui temi presentati in aula 2 GENERALITA In generale un sistema lineare è costituito da un numero qualsiasi m di equazioni e da un numero qualsiasi n di incognite e si presenta nella forma: a x ++ a i x i ++ a n x n b a i x ++ a ii x i ++ a in x n b i a m x ++ a mi x i ++ a mn x n b m dove i coefficienti a ij,i,,m;j,,n sono numeri reali assegnati, così come i termini noti b i,i,,m La notazione a ij usata è particolarmente appropriata, perché a ij è il coefficiente associato all incognita x j che compare nella i esima equazione Così, ad esempio, a 23 sarà il coefficiente della variabile x 3 nella seconda equazione; a 7 sarà il coefficiente della variabile x 7 nella quinta equazione, e così via

3 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova Chiameremo soluzione del sistema ogni ennnupla di numeri reali x,, x i,, x n che verifica, con la sostituzione: x x,,x i x i,,x n x n, tutte le m equazioni del sistema Risolvere un sistema significa determinare l insieme di tutte le sue soluzioni; un sistema che non ha soluzioni si dirà impossibile 2 RAPPRESENTAZIONE DI UN SISTEMA LINEARE IN FORMA MATRICIALE Il sistema lineare: a x ++ a i x i ++ a n x n b a i x ++ a ii x i ++ a in x n b i a m x ++ a mi x i ++ a mn x n b m viene, in genere rappresentato ricorrendo alla cd forma matriciale: i coefficienti associati alle incognite vengono raggruppati in una matrice, riportando nella prima, seconda,,n esima colonna i coefficienti delle variabili x,x 2,,x n che compaiono nelle varie equazioni: a a j a n A a i a ij a in a m a mj a mn La matrice A così ottenuta è detta matrice dei coefficienti del sistema, e presenta un numero di righe uguale al numero delle equazioni, ed un numero di colonne uguale al numero delle incognite x b x 2 b 2 Denotando con: x x i il vettore delle incognite, e con b b i il vettore x n b m 2

4 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova dei termini noti, il sistema presentato a inizio paragrafo può essere espresso nella seguente forma: Ax b () 3 SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI PARTICOLARI Si consideri il sistema lineare: Ax b (2) Assumiamo che esso sia quadrato, ossia che la matrice A dei coefficienti sia quadrata Si potranno verificare due casi differenti: A non è invertibile In tal caso, il sistema Ax b non ammette soluzioni, ossia è impossibile A è invertibile In tal caso, il sistema Ax b ammette soluzioni, o meglio ammette una e una sola soluzione; si dirà, allora, che il sistema è determinato, e avremo: A riprova di ciò, sostituendo la (3) nella (2) avremo: x A b (3) AA b (AA ) b b }{{} I Ne consegue che conoscendo la matrice inversa della matrice dei coefficienti, è possibile risolvere un sistema lineare di n equazioni in n incognite qualunque sia il vettore b dei termini noti Si consideri il sistema lineare: 3x +2x 2 x x 2 +4x 3 2 4x +6x 2 7x 3 In forma matriciale avremo: A {}} {{ }} { {}} { x 4 x x 3 x b 3

5 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova Trattandosi di un sistema quadrato, se A è invertibile si può risolvere secondo la: x A b Per verificare l invertibilità di A calcoliamo il determinante di A Avremo: det(a) Poiché il valore appena calcolato è diverso da zero, la matrice è invertibile, e avremo: Nel nostro caso: da cui: Come controprova: A Agg(A) det(a) Agg(A) A A A AA I 3 La soluzione del sistema sarà allora data da: x A b Possiamo a questo punto introdurre la seguente definizione: 49 6 Usando la regola di Sarrus, oppure applicando il primo teorema di Laplace 4

6 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova Un sistema lineare nella forma: Ax b si dice sistema di Cramer se è quadrato, e se det(a) 0 In tal caso, esso è determinato e ammette soluzione: ovvero: x A b x {x i },x i det(a i) det(a) dove det(a i ) è il determinante della matrice che si ottiene sostituendo la i esima colonna di A con il vettore dei termini noti Sia assegnato il sistema lineare: ossia, in forma matriciale: 3 3x x 2 ; x +x 2 3; x x 2 3 Il sistema è quadrato, e: 3 det(a) 4 0 dunque è di Cramer Applicando la regola di Cramer: det(a ) 3 ;x det(a ) det(a) 4 4 ; 3 det(a 2 ) 3 ;x 2 det(a 2) det(a) 8 4 2; da cui: x 2

7 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova 4 SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI: REGOLA GENERALE Caratteristica una matrice di La risolubilità di un sistema lineare può essere analizzata attraverso uno strumento che prende il nome di caratteristica o rango di una matrice, e si indica con la notazione: r(a) Le seguenti definizioni sono tra loro equivalenti Data una matrice A: la caratteristica è un numero che indica il numero di vettori colonna linearmente indipendenti presenti in A la caratteristica è un numero che indica il numero massimo di passi di pivotizzazione che si possono compiere su A; la caratteristica è un numero che indica l ordine massimo delle sottomatrici quadrate non singolari estraibili da A Premesso che tali definizioni verranno chiarite ulteriormente a seguire, per il momento ci basterà sapere che un vettore y è linearmente dipendente da un insieme di vettori {x,x 2,,x j,x n }, se esiste un insieme di scalari t,t 2,,t j,,t n tale che: y t x + t 2 x t j x j + + t n x n Tutte le definizioni fornite sono inoltre tra loro legate attraverso la procedura di riduzione di una matrice nota come procedura di Gauss o pivotizzazione 4 LA PROCEDURA DI GAUSS La procedura di Gauss è un metodo iterativo in cui ogni passo si compone di tre fasi: (a) ricerca del pivot p relativo al passo generico i; (b) trasformazione della riga che ospita il pivot; (c) trasformazione delle altre righe della matrice Il punto di partenza è il primo elemento sulla diagonale principale della matrice A di dimensione m n assegnata Due differenti situazioni si possono presentare: a 0 In tal caso, diremo che a è il primo pivot e potremo porre in essere il primo passo di pivotizzazione, ossia attuare la: Fase (a) p a Fase (b) La riga che ospita il pivot viene moltiplicata per il reciproco di p : r T /p r T /a ; Fase (c) Per la generica riga i che non contiene il pivot, essa si trasforma sommandola algebricamente alla riga ottenuta nella fase (b), moltiplicata per l opposto del valore di a i, cioè per l opposto del termine sulla riga i, nella colonna del pivot 6

8 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova a 0 In tal caso, il pivot andrà cercato tra i valori diversi da zero contenuti in una delle colonne a destra della prima, oppure in una delle righe sottostanti la prima Se ciò non è possibile, la procedura si arresterà, altrimenti una volta effettuato lo scambio di riga e/o colonna, si potrà procedere come già illustrato sopra Una volta eseguite le fasi (a) (c), il primo passo di pivotizzazione si dirà concluso, e potrà essere realizzato il secondo passo, reiterando le fasi (a) (c) appena spiegate Si ricordi che la procedura si può arrestare per uno dei seguenti motivi: non vi sono ulteriori elementi sulla diagonale principale; 2 tutti gli elementi contenuti nella sottomatrice ottenuta da A eliminando un numero di righe e di colonne pari al numero di passi di pivotizzazione già compiuti sono uguali a zero Illustriamo la procedura con alcuni esempi 2 3 Consideriamo la matrice A Costruiamo A, ossia la matrice al termine del primo passo di pivotizzazione Il primo pivot dovrebbe essere l elemento di posto,, ossia 2 Poiché esso è diverso da zero possiamo attuare la : Fase (a) p a 2 Fase (b) Moltiplichiamo la prima riga di A per il reciproco del pivot: 2 3 /2 3/2 2 Fase (c) Per la riga due, il termine sulla riga 2, nella colonna del pivot è 3; avremo allora: ( 3) /2 3/ /2 9/2 0 /2 9/2 Per la riga tre, il termine sulla riga 3, nella colonna del pivot è ; avremo allora: 4 + ( ) /2 3/2 4 + /2 3/2 0 3/2 /2 7

9 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova /2 3/2 La matrice A sarà dunque: A 0 /2 9/2 0 3/2 /2 Costruiamo ora A 2, ossia la matrice al termine del secondo passo di pivotizzazione Il secondo pivot dovrebbe essere l elemento di posto 2,2 su A, ossia /2 Poiché esso è diverso da zero possiamo attuare la : Fase (a) p 2 /2 Fase (b) Moltiplichiamo la seconda riga di A per il reciproco del pivot: 2 0 /2 9/2 0 9 Fase (c) Per la riga uno, il termine sulla riga, nella colonna del pivot è /2; avremo allora: /2 3/2 + ( /2) 0 9 /2 3/2 + 0 /2 9/2 0 3 Per la riga tre, il termine sulla riga 3, nella colonna del pivot è -3/2; avremo allora: 0 3/2 /2 + (3/2) /2 / /2 27/ La matrice A 2 sarà dunque: A Costruiamo ora A 3, ossia la matrice al termine del terzo passo di pivotizzazione Il terzo pivot dovrebbe essere l elemento di posto 3,3 su A 2, ossia 6 Poiché esso è diverso da zero possiamo attuare la: Fase (a) p 3 6 Fase (b) Moltiplichiamo la terza riga di A 2 per il reciproco del pivot: (/6)

10 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova Fase (c) Per la riga uno, il termine sulla riga, nella colonna del pivot è -3; avremo allora: Per la riga due, il termine sulla riga 2, nella colonna del pivot è 9; avremo allora: ( 9) La matrice A 3 sarà dunque: A La procedura si arresta per assenza di ulteriori righe, dunque il numero di passi di pivotizzazione (e quindi la caratteristica) è pari a 3 2 Consideriamo la matrice A 3 Costruiamo A, ossia la matrice al termine del primo passo di pivotizzazione Il primo pivot dovrebbe essere l elemento di posto,, ossia 2 Poiché esso è diverso da zero possiamo attuare la : Fase (a) p a 2 Fase (b) Moltiplichiamo la prima riga di A per il reciproco del pivot: 2 2 /2 Fase (c) Per la riga due, il termine sulla riga 2, nella colonna del pivot è 3; avremo allora: 3 + ( 3) / /2 0 /2 9

11 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova Per la riga tre, il termine sulla riga 3, nella colonna del pivot è ; avremo allora: + ( ) /2 + /2 0 3/2 /2 La matrice A sarà dunque: A 0 /2 0 3/2 Costruiamo ora A 2, ossia la matrice al termine del secondo passo di pivotizzazione Il secondo pivot dovrebbe essere l elemento di posto 2,2 su A, ossia /2 Poiché esso è diverso da zero possiamo attuare la : Fase (a) p 2 /2 Fase (b) Moltiplichiamo la seconda riga di A per il reciproco del pivot: 2 0 /2 0 Fase (c) Per la riga uno, il termine sulla riga, nella colonna del pivot è /2; avremo allora: /2 + ( /2) 0 /2 + 0 /2 0 Per la riga tre, il termine sulla riga 3, nella colonna del pivot è -3/2; avremo allora: 0 3/2 + (3/2) 0 0 3/ / La matrice A 2 sarà dunque: A La procedura si arresta per assenza di ulteriori righe su cui cercare il pivot; dunque il numero di passi di pivotizzazione (e quindi la caratteristica) è pari a 2 0

12 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova 2 3 Consideriamo la matrice A 3 0 Costruiamo A, ossia la matrice al termine del primo passo di pivotizzazione Il primo pivot dovrebbe essere l elemento di posto,, ossia 2 Poiché esso è diverso da zero possiamo attuare la : Fase (a) p a 2 Fase (b) Moltiplichiamo la prima riga di A per il reciproco del pivot: 2 3 /2 3/2 2 Fase (c) Per la riga due, il termine sulla riga 2, nella colonna del pivot è 3; avremo allora: ( 3) /2 3/ /2 9/2 0 /2 9/2 /2 3/2 La matrice A sarà dunque: A 0 /2 9/2 Costruiamo ora A 2, ossia la matrice al termine del secondo passo di pivotizzazione Il secondo pivot dovrebbe essere l elemento di posto 2,2 su A, ossia /2 Poiché esso è diverso da zero possiamo attuare la : Fase (a) p 2 /2 Fase (b) Moltiplichiamo la seconda riga di A per il reciproco del pivot: 2 0 /2 9/2 0 9 Fase (c) Per la riga uno, il termine sulla riga, nella colonna del pivot è /2; avremo allora: /2 3/2 + ( /2) 0 9 /2 3/2 + 0 /2 9/ La matrice A 2 sarà dunque: A La procedura si arresta per assenza di ulteriori righe, dunque il numero di passi di pivotizzazione (e quindi la caratteristica) è pari a 2

13 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova Consideriamo la matrice A 3 0 /2 3/2 Costruiamo A, ossia la matrice al termine del primo passo di pivotizzazione Il primo pivot dovrebbe essere l elemento di posto,, ossia 2 Poiché esso è diverso da zero possiamo attuare la : Fase (a) p a 2 Fase (b) Moltiplichiamo la prima riga di A per il reciproco del pivot: 2 3 /2 3/2 2 Fase (c) Per la riga due, il termine sulla riga 2, nella colonna del pivot è 3; avremo allora: ( 3) /2 3/ /2 9/2 0 /2 9/2 Per la riga tre, il termine sulla riga 3, nella colonna del pivot è 3; avremo allora: ( 3) /2 3/ /2 9/2 0 /2 9/2 Per la riga quattro, il termine sulla riga 4, nella colonna del pivot è -; avremo allora: /2 3/2 + /2 3/2 /2 3/2 + /2 3/ /2 3/2 0 /2 9/2 La matrice A sarà dunque: A 0 /2 9/

14 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova Costruiamo ora A 2, ossia la matrice al termine del secondo passo di pivotizzazione Il secondo pivot dovrebbe essere l elemento di posto 2,2 su A, ossia /2 Poiché esso è diverso da zero possiamo attuare la : Fase (a) p 2 /2 Fase (b) Moltiplichiamo la seconda riga di A per il reciproco del pivot: 2 0 /2 9/2 0 9 Fase (c) Per la riga uno, il termine sulla riga, nella colonna del pivot è /2; avremo allora: /2 3/2 + ( /2) 0 9 /2 3/2 + 0 /2 9/2 0 3 Per la riga tre, il termine sulla riga 3, nella colonna del pivot è /2; avremo allora: 0 /2 9/2 + (/2) /2 9/2 + 0 /2 9/ Per la riga quattro, il termine sulla riga 4, nella colonna del pivot è 0; avremo allora: La matrice A 2 sarà dunque: A A questo punto, poichè la sottomatrice che si ottiene da A 2 eliminando le prime due 0 righe e le prime due colonne è:, la procedura si arresta per assenza di ulteriori 0 pivot, dunque il numero di passi di pivotizzazione (e quindi la caratteristica) è pari a 2 3

15 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova 42 MATRICE COMPLETA E TEOREMA DI ROUCHE CAPELLI Dato il sistema lineare Ax b, chiameremo matrice completa e la indicheremo con A/b, la matrice che si ottiene affiancando ad A il vettore dei termini noti: A/b A b Una volta costruita la matrice completa, è possibile pivotizzarla applicando agli elementi di b tutte le trasformazioni che avvengono sulle righe di A Vale in proposito il seguente teorema (teorema di Rouché Capelli): Dato il sistema lineare Ax b, sia A/b la corrispondente matrice completa Se: r(a/b) r(a) n, il sistema è determinato; r(a/b) r(a) m < n, il sistema è indeterminato, ossia ammette infinite alla (n m) soluzioni; r(a/b) < min(m,n), il sistema è impossibile Vediamo alcuni esempi Sia: x La corrispondente matrice completa è: In corrispondenza dei diversi passi di pivotizzazione, avremo: /2 3/2 /2 0 3 A /b 0 /2 9/2 /2 ; A 2 /b /2 /2 9/ A 3 /b / / /6 ; 2/6 r(a/b) r(a) 3, dunque il sistema è determinato La soluzione è: x 43/6 3/6 ; 4

16 DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova Sia: 2 3 x La corrispondente matrice completa è: In corrispondenza dei diversi passi di pivotizzazione, avremo: /2 3/2 0 3 A /b 0 /2 9/2 ; A 2 /b /2 / r(a/b) 2 < min(3,3), dunque il sistema è impossibile Sia: x 2 La corrispondente matrice completa è: In corrispondenza dei diversi passi di pivotizzazione, avremo: /2 3/2 /2 0 3 A /b ; A 0 /2 9/2 /2 2 /b r(a/b) r(a) m 2 < n 3, dunque il sistema è indeterminato Un altro modo per visualizzare detta conclusione, ossia il fatto che il sistema sia indeterminato, consiste nel riscrivere il sistema lineare in base alla matrice A 2 /b 2 : x + ( 3)x 3 ; x 2 + 9x 3 ; da cui, portando x 3 a secondo membro: x + 3x 3 ; e, posto x 3 t : x 2 9x 3 ; ; ;

17 x + 3t ; x 2 9t ; x 3 t + 3t L insieme delle soluzioni sarà, pertanto: x 9t t 43 SISTEMI LINEARI OMOGENEI Un sistema lineare si dice omogeneo se il vettore dei termini noti è il vettore nullo: Si ricordano le principali proprietà: Ax 0 Se un sistema lineare omogeneo è quadrato e determinato, allora l unica soluzione è la cd soluzione banale o triviale: x 0 Un sistema lineare omogeneo non quadrato può essere determinato, se r(a) n < m, e tutte le k (m n) righe della matrice completa A n /b n successive alla n esima sono nulle 6