8 - Analisi della deformazione

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1 8 - Analisi della deformazione ü [A.a. - : ultima revisione 6 ottobre ] Esercizio n. Si supponga di voler conoscere sperimentalmente lo stato di deformazione in un punto M di un solido. A tal fine, si immagini di poter piazzare sei dispositivi sperimentali (6 strain-gauges) capaci di rilevare direttamente gli allungamenti percentuali secondo sei direzioni prefissate, come illustrato in Figura. X E D F 45 M 45 C 6 X A 6 B X Figura - I sei apparati sperimentali per la misura degli allungamenti percentuali. Siano E a, E b, E c, E d, E e ed E f gli allungamenti percentuali segnalati dai sei strain-gauges, con: E a 6 E b 4.5 E c E d.5 E e E f () lungo le rette definite dai coseni direttori: a X ; b ê í ; c í ê ; d í í ; e X ; f í í () Si deducano:. la matrice delle deformazioni lineari in M.

2 4 8 - Analisi della deformazione.nb. le deformazioni principali Punto - L'allungamento percentuale E MN e' fornito da: E MN e ij l i l j e l + e l + e l + e l l + e l l + e l l Conoscendo quindi gli allungamenti percentuali lungo sei rette, si potra' scrivere il sistema di sei equazioni nelle sei incognite e ij : () 6 e e + 4 e + e 4 e + 4 e e (4).5 e + e + e e o, matricialmente: e + e + e con soluzione: e e e e e e (5) e 6 e.5 e e.65 e.75 e Punto - Per dedurre le deformazioni prncipali, si scriva l'equazione secolare, calcolando gli invarianti di deformazione: (6) I e + e + e 7.5 I e e + e e + e e e e e.75 6 I Det HEL.75 9 L'equazione secolare si scrive allora: (7)

3 8 - Analisi della deformazione.nb 5 e e.75 6 e.75 9 ed ha soluzioni: e 6.88 e.7 e.45 (8) (9) Esercizio n. Assegnato il campo di spostamenti : u x x H x L c x + c x u c x H x L H x L x c x () u c x +H x L x ricavare le deformazioni lineari Applicando le note formule si ottiene: e u x H x L x e u x + u x I c + c x M e u x c H +x L x e u x + u x c I x + x M () e u + u x x x e u x x Esercizio n. Il rettangolo ABCD di Figura subisce gli spostamenti illustrati. Determinare il campo deformativo

4 6 8 - Analisi della deformazione.nb X ξ δ δ D C h A B X ξ Figura - Un rettangolo ed i suoi spostamenti b il generico punto M, di coordinate Hx, y L del rettangolo, subisce gli spostamenti : u δ x u h per cui l' unica componente di deformazione diversa da zero risulta essere : () e δ h () Esercizio n.4 Il rettangolo ABCD di Figura subisce gli spostamenti illustrati. Determinare il campo deformativo Dalla legge x k x e' immediato ricavare il valore di k, in quanto dovra' essere d k h. Ne segue che il generico punto M, di coordinate Hx, y L del rettangolo, subisce gli spostamenti : u δ K x h O u per cui l' unica componente di deformazione diversa da zero risulta essere : (4) e δ h x (5)

5 8 - Analisi della deformazione.nb 7 X δ δ D C h x k x A B X b Figura - Un rettangolo ed i suoi spostamenti Esercizio n. 5 Si consideri un corpo B, ed in particolare un punto P, di coordinate Hx, x, x L. Per effetto delle forze applicate, P subisca gli spostamenti: u HPL u u u x x x x (6) Si vuole:. determinare e studiare lo stato di deformazione e di rotazione. In particolare: a. calcolare la matrice H del gradiente di spostamento b. calcolare le matrici E ed W c. calcolare la matrice D di Green-Lagrange d. calcolare lo spostamento di un segmento dx steso lungo l'asse x e. calcolare l'allungamento percentuale del suddetto segmento, utilizzando teoria completa e semplificata. ricercare le deformazioni principali e le corrispondenti direzioni principali, in ipotesi di deformazioni lineari. dedurre le rotazioni cui andra' sottoposto il sistema di riferimento Hx, x, x L per portarlo a coincidere con il sistema principale Punto - La matrice H dei gradienti di spostamento si ottiene attraverso elementari operazioni di derivazione:

6 8 8 - Analisi della deformazione.nb H la sua parte simmetrica e' quindi fornita da: E mentre la parte antisimmetrica e' calcolabile come: Ω La matrice D del tensore di Green-Lagrange e' data dalla formula: (7) (8) (9) D E+ HT H + 6 () Si noti, prima di operare il prodotto matriciale, che la correzione nonlineare e' pari a qualche millesimo della parte lineare. In definitiva e': D () Assegnato il segmento dx steso lungo l'asse x si puo' calcolare la sua deformazione e la sua rotazione rigida attraverso la decomposizione: du du e + du r Edx+Ωdx Gli spostamenti da deformazione pura saranno quindi pari a: () du e dx mentre le rotazioni rigide sono fornite da: dx dx () du r dx dx (4)

7 8 - Analisi della deformazione.nb 9 X N''' N'' N' M γ X dx N Figura 4 - La decomposizione degli spostamenti Il segmento MN dx ruota rigidamente, portandosi in MN'', poi si deforma portandosi in MN'''. La parte di deformazione pura e' quella che porta MN in MN', definita dall'allungamento percentuale: E MN MN' MN MN e (5) e dalla variazione angolare: γ e (6) Punto - Per ottenere le deformazioni principali si calcolano gli invarianti di deformazione: I e I e 5 6 I 6 (7) e quindi l'equazione secolare si scrive: e e (8) con soluzioni: e 5 e e 5 (9) Per calcolare la prima direzione principale occorre risolvere il sistema di equazioni: HE e IL n n n n () con soluzione: n, n + 5 n Normalizzando in modo da ottenere un vettore a lunghezza unitaria, si ha: ()

8 8 - Analisi della deformazione.nb n + 5 +J+ 5 N.97 () n +J+ 5 N. () Per calcolare la seconda direzione principale occorre risolvere il sistema di equazioni: HE e IL n n n n con soluzione n II H,, L. Infine, la terza direzione si ottiene risolvendo il sistema: (4) HE e IL n n n n (5) con soluzione: n, n n + 5 Normalizzando in modo da ottenere un vettore a lunghezza unitaria, si ha: (6) n +J+ 5 N. (7) n + 5 +J+ 5 N.97 (8) La matrice L dei coseni direttori e', in definitiva: + 5 +J+ 5 N +J+ 5 N L +J+ 5 N + 5 +J+ 5 N (9) ed e' immediato controllare l'ortogonalita' delle sue colonne. Si ha inoltre che il triplo prodotto matriciale L T EL fornisce la matrice diagonale con le deformazioni principali lungo la diagonale:

9 8 - Analisi della deformazione.nb + 5 +J+ 5 N +J+ 5 N +J+ 5 N + 5 +J+ 5 N + 5 +J+ 5 N +J+ 5 N +J+ 5 N + 5 +J+ 5 N 5 5 Esercizio n. 6 Si consideri il campo di deformazioni: e c x Ix + x M e c x x e c x (4) e e e con c, c e c costanti. Si voglia stabilire se esso e' un campo di deformazioni compatibile (4) Il campo di deformazioni in esame e' bidimensionale, e l'unica equazione di compatibilita' non identicamente soddisfatta fornisce: e x + e x e x x c x + c x 4 c x (4) e quindi il campo deformativo non e' compatibile, se non sussiste la seguente relazione tra le tre costanti: c + c x c (4) Esercizio n. 7 Si consideri il campo di spostamenti piano: u x x H x L c x + c x u c x H x L H x L x c x e si calcolino le deformazioni lineari (44) Le deformazioni lineari si ottengono applicando la definizione:

10 8 - Analisi della deformazione.nb e ij e quindi si avra' : u i x j + u j x i (45) e Hx L x (46) e I c +H c + c L x M (47) e c Hx L x (48) Esercizio n. 8 Si consideri il campo di spostamenti piano: u x Ix x + c I c + c x x MM u x c + c x 4 x + c x x (49) e si calcolino le deformazioni lineari e nonlineari. Le deformazioni lineari si calcolano a partire dalla (9) : e x x + c I c + c x x M e c c x c x x + x (5) (5) e x Ix + c Ic x MM (5) mentre le deformazioni non lineari devono dedursi a partire dalla: d ij u i x j + u j x i + u k x i u k x j (5) ottenendo : d u x + u x + u x x x + c I c + c x x M+ (54) Jx Ix + c I c x MM +I x x + c I c + c x x MM N d u x + u x + u x u x + u x u x c x x + x Ix + c I c x MM c x x c (55)

11 8 - Analisi della deformazione.nb c x c x x + x 4 x c + c x x 4 + x Ix + c I c x MM I x x + c I c + c x x MM d u x + u x + u x c c x c x x + x 4 c x + c x x c x x 4 + c c x (56) c x x + x 4 x c + c x x 4 Esercizio n. 9 Si stabilisca se il seguente campo di deformazioni e' ammissibile: e x + x e x x e x (57) L' unica equazione di congruenza da controllare e' : ed e' soddisfatta. e e + e x x x x (58) Esercizio n. Si stabilisca se il seguente campo di deformazioni e' ammissibile: e x Ix + x M e x x x e x e x e x e x (59) Lo stato deformativo e' completo, e le equazioni di congruenza da soddisfare sono sei. Operando le derivate, e' possibile ad esempio controllare che l'equazione:

12 4 8 - Analisi della deformazione.nb e e x x x + e x (6) non e' soddisfatta, e quindi il campo tensionale precedente non e' deducibile a partire da una terna di spostamenti di un corpo continuo Figure