Prova d esame del 30 giugno 2010 Soluzione

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1 UNIVERSITÀ I PIS Facoltà di Ingegneria Meccanica nalitica e dei Continui (CS Ing. Nucleare e della Sicurezza Industriale) Scienza delle Costruzioni (C Ing. Nucleare e della Sicurezza e Protezione) Scienza delle Costruzioni (CS Ing. Elettrica).. 9/ Secondo periodo ocente: ott. Ing. Paolo Sebastiano VVO Prova d esame del 3 giugno Soluzione Problema Il problema strutturale assegnato risulta una volta staticamente non determinato. a soluzione sarà affrontata prima con il metodo delle forze, poi con il metodo della linea elastica. ) Metodo delle forze Il sistema costituito dalla struttura e dalle azioni esterne (carichi, variazioni termiche, cedimento vincolare) è equivalente al sistema S, mostrato nella figura sottostante, dove in corrispondenza della sezione B si è introdotta una sconnessione a momento flettente, esplicitando l incognita iperstatica X. pplicando il Principio di sovrapposizione degli effetti, il sistema S è decomposto nella combinazione del sistema S, nel quale agiscono le azioni esterne, e del sistema S, nel quale agisce l incognita iperstatica assunta unitaria, moltiplicato per l incognita X stessa. File: -6-3-MC-Prova_esame-Soluzione.doc Pag. di 6 Ultimo aggiornamento: 4/7/ Rev.

2 UNIVERSITÀ I PIS Facoltà di Ingegneria Meccanica nalitica e dei Continui (CS Ing. Nucleare e della Sicurezza Industriale) Scienza delle Costruzioni (C Ing. Nucleare e della Sicurezza e Protezione) Scienza delle Costruzioni (CS Ing. Elettrica).. 9/ Secondo periodo ocente: ott. Ing. Paolo Sebastiano VVO I problemi relativi ai sistemi S ed S, staticamente determinati, possono essere risolti grazie alle sole equazioni di equilibrio. tale scopo, si considerano le strutture in questione private dei vincoli esterni, sostituiti dalle opportune reazioni vincolari, come mostrato nella figura seguente. e equazioni di equilibrio globale (traslazione orizzontale e verticale, rotazione intorno a B) per il sistema S si scrivono come segue: H + H =, V + V q =, 3 B V + H + V =. Per determinare i valori delle quattro componenti di reazione incognite è necessaria un ulteriore equazione. Quest ultima può essere ottenuta, ad esempio, imponendo l equilibrio alla rotazione intorno a B della trave B: B V + q =. Risolvendo si trovano i valori delle reazioni vincolari in S : H = q, V = q, H = q, V = q. 6 6 nalogamente, si scrivono le equazioni di equilibrio globale per il sistema S, e l equazione ausiliaria, H + H =, V + V =, 3 B V + H + V =, B V + =, da cui i valori delle reazioni vincolari: 3 3 H =, V =, H =, V =. File: -6-3-MC-Prova_esame-Soluzione.doc Pag. di 6 Ultimo aggiornamento: 4/7/ Rev.

3 UNIVERSITÀ I PIS Facoltà di Ingegneria Meccanica nalitica e dei Continui (CS Ing. Nucleare e della Sicurezza Industriale) Scienza delle Costruzioni (C Ing. Nucleare e della Sicurezza e Protezione) Scienza delle Costruzioni (CS Ing. Elettrica).. 9/ Secondo periodo ocente: ott. Ing. Paolo Sebastiano VVO Si può passare, quindi, a determinare le caratteristiche della sollecitazione nei due sistemi. tal fine, per ciascuna trave si definisce un ascissa curvilinea, come mostrato nella figura precedente. Si osserva, in primo luogo, che le travi B e C sono aste reticolari caricate solo da forze in corrispondenza delle cerniere di estremità, per cui saranno soggette unicamente a forza normale. alle equazioni di equilibrio per il nodo nel sistema S, si ricavano 3 NB + NC q =, NB + NC + q =, 3 3 NB = q, NC = q. 3 3 e espressioni delle caratteristiche della sollecitazione nelle travi B e BC si possono ricavare attraverso le equazioni indefinite di equilibrio N B = N B(s ) = T B = q T B(s ) = qs + B = = + + M B TB M B(s ) qs Bs C N BC = N BC(s ) = T BC = q T BC(s ) = qs + B = = + + M BC TBC M BC(s ) qs Bs C con i valori delle costanti di integrazione ottenuti imponendo le seguenti condizioni al contorno 3 N B() = = H = q 6 T B() = B = V = q M B() = C = 3 N BC() = = N B() NB = ( q) T BC() = B = T B() NB = B q ( q) 3 M BC() = C = File: -6-3-MC-Prova_esame-Soluzione.doc Pag. 3 di 6 Ultimo aggiornamento: 4/7/ Rev.

4 UNIVERSITÀ I PIS Facoltà di Ingegneria Meccanica nalitica e dei Continui (CS Ing. Nucleare e della Sicurezza Industriale) Scienza delle Costruzioni (C Ing. Nucleare e della Sicurezza e Protezione) Scienza delle Costruzioni (CS Ing. Elettrica).. 9/ Secondo periodo ocente: ott. Ing. Paolo Sebastiano VVO Risolvendo e sostituendo i valori delle costanti, si ottengono le espressioni delle caratteristiche della sollecitazione in S : 3 3 N B(s ) = q, N BC(s ) = q, 6 6 T B(s ) = q qs, T BC(s ) = q qs, M B(s ) = qs qs ; M BC(s ) qs qs. = Procedendo in maniera analoga, si ottengono le espressioni delle caratteristiche della sollecitazione nel sistema S : 3 3 N B(s ) =, N BC(s ) =, T B(s ) =, T BC(s ) =, N B = ; N C =. 3 3 s s M B(s ) = ; M BC(s ) = ; I corrispondenti diagrammi sono riportati nella figura a pagina seguente. o spostamento generalizzato del punto di applicazione dell incognita iperstatica X nel sistema effettivo S rappresenta, per il problema in esame, la rotazione relativa tra le sezioni collegate in B. Tale rotazione relativa è nulla in S per la presenza della saldatura fra i tratti B e BC, per cui η =. I rimanenti coefficienti di Müller-Breslau si calcolano applicando il Teorema dei lavori virtuali: = η + δ = e i B B BC BC B B C C = = M (s ) κ (s ) ds + M (s ) κ (s ) ds + N ε + N ε = s q αt s q αt = [ (s s ) ] ds + ( ) [ (s s ) ] ds EJ h + EJ h q 3 q q q + ( 3 ) + ( ) ( 3 ) = 3 3 E 3 3 E EJ αt ; E h = η = e i B B BC BC B B C C = = M (s ) κ (s ) ds + M (s ) κ (s ) ds + N ε + N ε = s s = ( ) ds + ( ) ds ( ) ( ). EJ + + = + EJ 3 E 3 E 3EJ 3E all equazione di compatibilità cinematica si ricava, infine, il valore dell incognita iperstatica: 3 q q αt δ η η = η + Xη = X = = 4EJ E h. η + 3EJ 3E File: -6-3-MC-Prova_esame-Soluzione.doc Pag. 4 di 6 Ultimo aggiornamento: 4/7/ Rev.

5 UNIVERSITÀ I PIS Facoltà di Ingegneria Meccanica nalitica e dei Continui (CS Ing. Nucleare e della Sicurezza Industriale) Scienza delle Costruzioni (C Ing. Nucleare e della Sicurezza e Protezione) Scienza delle Costruzioni (CS Ing. Elettrica).. 9/ Secondo periodo ocente: ott. Ing. Paolo Sebastiano VVO ) Metodo della linea elastica Si imposta la soluzione del problema con il metodo della linea elastica nell ipotesi che le aste B e C siano inestensibili ( E ). Poiché l asta B trasmette un azione concentrata nella sezione B del tratto BC, è necessario scrivere separatamente le equazioni differenziali per gli spostamenti trasversali v e v sui tratti B e BC: e condizioni al contorno da imporre sono: IV IV EJ v = q e EJ v = q. v () =, v () = δ, v () = δ, II α t v () = δ, II αt M () = v () = ; M () = v () =. h I I φ () = φ () v () = v (), h II II M () = M () v () = v (); File: -6-3-MC-Prova_esame-Soluzione.doc Pag. 5 di 6 Ultimo aggiornamento: 4/7/ Rev.

6 UNIVERSITÀ I PIS Facoltà di Ingegneria Meccanica nalitica e dei Continui (CS Ing. Nucleare e della Sicurezza Industriale) Scienza delle Costruzioni (C Ing. Nucleare e della Sicurezza e Protezione) Scienza delle Costruzioni (CS Ing. Elettrica).. 9/ Secondo periodo ocente: ott. Ing. Paolo Sebastiano VVO Problema B ) Calcolo dei tensori F, G e H Poiché è assegnato il campo di spostamento u(x ), conviene calcolare per prima la matrice delle componenti del gradiente di spostamento H, x x ε ( ) ε u i = = a a [H] [ ]. x j x ε a Quindi, si ricava la matrice delle componenti del gradiente di trasformazione F, x x ε ( ) + ε = + = a a [F] [H] [I]. x ε + a Infine, si calcola la matrice delle componenti del tensore di deformazione di Green-agrange G, x x x x x ( ) ( ) ( ) ε + ε ε ε T a a a a a [G] = ([F] [F] [I]) =. x x x x x x ε ε ( ) ε + ε ( ) + ε ( ) a a a a a a ) Ipotesi di piccole deformazioni Se ε si possono trascurare le quantità in ε rispetto a quelle in ε, per cui x x ε ( ) ε a a T [G] = [E] = sym [H] = ([H] + [H] ). x x ε ε a a a variazione di lunghezza della diagonale C è data da C C l = ε dl, dove ε l e dl indicano, rispettivamente, l allungamento relativo e l elemento di lunghezza nella direzione della diagonale. Nell ipotesi di piccole deformazioni, ε = l El, l dove l è il versore nella direzione di C. In componenti, considerando che su C è x = x, da cui x x ε ( ) ε a a ε l = ( ) = ε, x x ε ε a a C = ε a. File: -6-3-MC-Prova_esame-Soluzione.doc Pag. 6 di 6 Ultimo aggiornamento: 4/7/ Rev.