1 Introduzione alla Meccanica Razionale Che cos è la Meccanica Razionale Un esempio... 2

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Maria Bettini
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1 Indice 1 Introduzione alla Meccanica Razionale Che cos è la Meccanica Razionale Un esempio Spazi Vettoriali, Spazio e Tempo Cos è unvettore? Dimensione e orientazione Prodotto scalare Spazio affine Lo spazio e il tempo Lo spazio Il prodotto vettoriale Il tempo Lo spazio vettoriale delle altre grandezze fisiche Teoria dei Momenti Definizioni Legge di variazione dei momenti Asse centrale Sistemi equivalenti e sistemi equilibrati Complementi Ancora sull asse centrale Vettori paralleli Esercizi sull asse centrale Esercizi grafici Cinematica dei Corpi Rigidi Sistemi di riferimento fisso e solidale Rotazione nel piano Gli angoli di Eulero Moti rigidi Formula fondamentale dei moti rigidi Rigata fissa e rigata mobile Ancora sulle rigate del moto Moti rigidi: casi particolari Moti rigidi piani

........................... 10 2.2.1 Lo spazio.............................. 10 2.2.2 Il prodotto vettoriale........................ 12 2.2.3 Il tempo............................... 13 2.2.4 Lo spazio vettoriale delle altre grandezze fisiche.

2 ii INDICE 4.10 Il teorema di Eulero Rotazioni finite ed infinitesime Esercizi sui Moti Rigidi Disco che rotola senza strisciare Disco che rotola e striscia Moto di un asta vincolata a scorrere su due assi Esercizi di ricerca di Base e Rulletta Composizione di Moti Rigidi Richiami di Cinematica Relativa Cinematica relativa Esempio: Moto uniforme di un punto su una guida ruotante Esercizi sui moti relativi Composizione di moti Composizione di moti rigidi Composizioni di rotazioni intorno ad assi incidenti Il differenziale di un autoveicolo Rotolamento puro di un disco su un altro Composizione di moti rigidi di rotazione Esercizi sulla composizioni di moti rigidi Introduzione alla Statica Forze concorrenti nel piano Forze parallele nel piano Il caso di due forze parallele Due forze parallele in direzioni opposte Forze parallele nel piano Forze distribuite nel piano Caso generale di forze nel piano Statica del Corpo Rigido Un po di terminologia Le equazioni cardinali della statica Sistemi materiali piani I principali tipi di vincoli nel piano Posizione del problema statico Alcuni esempi di sistemi piani Statica per sistemi di un sol corpo rigido Statica per sistemi composti da più parti rigide Statica grafica Poligono funicolare Osservazioni sul poligono funicolare Risoluzione grafica di travi con cerniera e appoggio Travi con tre appoggi. Travi incastrate Arco a tre cerniere

.................. 64 6 Composizione di Moti Rigidi 71 6.1 Richiami di Cinematica Relativa..................... 71 6.1.1 Cinematica relativa......................... 71 6.1.2 Esempio: Moto uniforme di un punto su una guida ruotante.

3 INDICE iii 10 Appendice di Statica Sistemi piani composti da più parti rigide Travature reticolari Metodo dei nodi Metodo delle sezioni Cenno sui carichi distribuiti Esercizi sui carichi distribuiti Richiami di Dinamica del Punto Le leggi di Newton Il problema della meccanica del punto Forze posizionali Richiami di Dinamica Relativa del Punto Energia cinetica, lavoro e potenza di una forza Commenti sul bilancio energetico Esercizi di dinamica del punto Potenziale di una forza conservativa Forme differenziali chiuse ed esatte Calcolo del potenziale U per un campo di forza Moti Oscillatori Moto armonico Oscillatore lineare con termine forzante Oscillatore lineare con termine forzante: il caso ω = µ Oscillatore lineare smorzato Oscillatore lineare smorzato con forzante Conclusioni Dinamica di un Sistema di Punti Materiali Forze interne e forze esterne La prima equazione cardinale Esercizio Il teorema di König La seconda equazione cardinale Il teorema di König per il momento angolare Il teorema delle forze vive Esercizio Le forze conservative L esempio del campo gravitazionale e della molla Geometria delle Masse Introduzione alla geometria delle masse Centro di Massa Centro di massa Esercizi sul Centro di Massa nel piano Esercizi sul Centro di Massa nello spazio Momenti d Inerzia Momento d inerzia: Definizioni

................... 155 11 Richiami di Dinamica del Punto 157 11.1 Le leggi di Newton............................. 157 11.2 Il problema della meccanica del punto.................. 159 11.

4 iv INDICE Momento d inerzia rispetto ad una retta generica Ellissoide d inerzia Teorema di Huygens Esercizi sui Momenti di Inerzia Terna principale d inerzia La terna principale d inerzia Ricerca della terna principale d inerzia Terna principale per i sistemi piani L omografia d inerzia Esercizi sull Ellissoide d Inerzia Ricerca della terna principale d inerzia Ricerca dell ellissoide d inerzia Il Principio dei Lavori Virtuali Coordinate generalizzate Vincoli lisci e lavoro virtuale Il principio di d Alembert Esempio del caso dinamico Esempio del caso statico Come usare il principio di D Alembert per risolvere problemi di statica Le equazioni di Lagrange Un semplice esempio: il punto materiale soggetto a potenziale Un vantaggio: l arbitrarietà nella scelta delle coordinate Un altro semplice esempio: la macchina di Atwood Un esempio con vincoli dipendenti dal tempo Espressione lagrangiana dell energia cinetica Conservazione dell energia Dinamica dei Sistemi Rigidi Il caso dei sistemi rigidi Sistemi rigidi liberi Rotazioni di un corpo rigido intorno ad un asse fisso Rotazione Precessioni. Equazioni di Eulero Precessioni per inerzia. Moto alla Poinsot Interpretazione geometrica delle precessioni per inerzia Proprietà dinamiche degli assi principali di inerzia Cenno al giroscopio Rotazioni intorno ad un punto fisso: il caso M (e) O Un semplice esperimento Esempio: la trottola simmetrica pesante Il giroscopio come indicatore di direzione fissa

............ 227 14.5.3 Terna principale per i sistemi piani................ 228 14.5.4 L omografia d inerzia........................ 229 14.6 Esercizi sull Ellissoide d Inerzia...................... 234 14.

5 INDICE v 17 Esercizi sui Sistemi Calcolo di quantità meccaniche Disco omogeneo Asta omogenea Lamina triangolare Lamina quadrata Lamina semicircolare Esercizi Asta vincolata a due guide ortogonali Bipendolo Pendolo su un piano ruotante Asta girevole intorno ad un asse Moto di un corpo rigido intorno ad un asse fisso Due masse ruotanti intorno ad un asse Disco su un piano inclinato mobile Disco su un piano con forza elastica e momento motore Esercizi di Esame Esercizi di esame

2.1 Asta vincolata a due guide ortogonali.............. 289 17.2.2 Bipendolo.............................. 292 17.2.3 Pendolo su un piano ruotante................... 294 17.2.4 Asta girevole intorno ad un asse.

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