Dispense del Corso di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI. Sistemi di travi. Prof. Daniele Zaccaria

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1 Dispense del Corso di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Prof. Daniele Zaccaria Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Università di Trieste Piazzale Europa 1, Trieste Sistemi di travi Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Ingegneria Industriale Ingegneria Navale Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Trieste, 28 agosto 2010

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3 Indice 1 Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide Concetti Cinematica Statica Motorigidoinfinitesimo Analisicinematicadeisistemirigidipiani Centriassolutidirotazione Centrirelatividirotazione Allineamento dei centri relativi di tre corpi in moto Vincoliecentridirotazione Analisideicasipossibili Esempio Esempio Analisicinematicadeisistemirigidispaziali Matricecinematica Condizionedinonlabilitàdiunsistemaditravi Analisistaticadeisistemirigidispaziali Matricestatica Condizionediequilibriodiunsistemaditravi Ilprincipiodeilavorivirtualiperilcorporigidolibero Dualitàstaticocinematica Il principio dei lavori virtuali per i sistemi rigidi vincolati Esempiosull analisistaticaecinematica Statica dei sistemi piani isostatici Curvadellepressioni Trattoditravenoncaricato Tratto di trave con carico distribuito costante (per unità dilineaortogonalealcarico) Arcocircolareatrecerniere Cennoall equilibriodeifili SdC Sistemi di travi 28 agosto Arcoparabolico TraviGerber Sistemichiusiisostatici Esempio Esempio Travaturereticolariisostatiche Condizionidiisostaticità Esempiditravaturereticolaripiane Soluzione delle travature reticolari isostatiche col metododeinodi Soluzione delle travature reticolari isostatiche col metododellesezionidiritter Calcolo di spostamenti in sistemi piani isostatici Deformatadellalinead asse Momentoflettente Forzanormale Metodo cinematico (o composizione cinematica degli spostamenti) Sistemiditraviprevalentementeinflesse Mensolasoggettaaduncaricoripartito Traveappoggiatasoggettaaforzanormale Arcocircolaresoggettoaduncaricoripartito Un esempio di calcolo di spostamenti col metodo cinematico in un sistema spaziale: mensola di sezione ac Integrazionedell equazionedellalineaelastica AnalogiadiMohr Mensolasoggettaadunacoppia Trave appoggiata soggetta ad un carico concentrato Trave IPE270 appoggiata soggetta ad un carico concentrato Struttureconugualedeformazione Trave appoggiata soggetta ad un carico ripartito Trave appoggiata soggetta a due coppie concentrate simmetriche Trave appoggiata soggetta ad una coppia concentrata Coefficientielastici Mensole iii

4 iv SdC Sistemi di travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Traviappoggiate Esercizio (struttura chiusa soggetta ad un carico ripartito) Calcolodispostamenticonilprincipiodeilavorivirtuali Mensolasoggettaadunaforzaditipoassiale Portalezopposoggettoaduncaricoripartito Telaiosoggettoadunaforzaconcentrata Esercizio 1 (struttura chiusa soggetta ad un carico ripartito) Esercizio 2 (struttura soggetta ad un carico ripartito) Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo delle forze Traveappoggiatasoggettaaduncaricoassiale Traveappoggiatasoggettaacarichiditipoflessionale Traviincastro-appoggio Trave incastro-appoggio soggetta ad una coppia in corrispondenzadell appoggio Trave incastro-appoggio soggetta ad una forza concentratainmezzeria Trave incastro-appoggio soggetta ad una forza distribuita Traviincastro-incastro Trave incastro-incastro soggetta ad una forza concentratainmezzeria Trave incastro-incastro soggetta ad una forza distribuita Travicontinue Esempioditravecontinua Cedimenti vincolari e distorsioni Cedimentivincolarielastici Esempio 1 (trave appoggiata con un appoggio cedevole) Esempio 2 (trave incastro-appoggio con incastro cedevoleangolarmente) Esempio 3 (trave continua con un appoggio cedevole) Cedimentivincolarianelastici Distorsioniconcentrate Distorsionidistribuite Distorsionitermiche Esempio 1 (trave appoggio-carrello soggetta ad una variazionetermicauniforme) Esempio 2 (trave appoggio-appoggio soggetta ad una variazionetermicauniforme) Esempio 3 (trave appoggiata soggetta ad una distorsione termicaafarfalla) Esempio 4 (trave doppiamente incastrata soggetta ad unadistorsionetermicaafarfalla) Distorsioniplastiche Distorsioneplasticadistribuitaditipoassiale Distorsione plastica distribuita di tipo flessionale Distorsioni plastiche concentrate (cerniere plastiche) Esempio (calcolo a rottura di una trave in acciaio a sezione rettangolare, incastrata e soggetta ad un carico ripartito) Strutture simmetriche Azionisustrutturesimmetriche Sistemi simmetrici soggetti ad azioni simmetriche Sistemi simmetrici soggetti ad azioni emisimmetriche Sistemi simmetrici soggetti ad azioni generiche Sistemiassialsimmetrici Sistemi assialsimmetrici soggetti ad azioni simmetriche Cavalletto iperstatico soggetto ad un carico simmetrico Sistemi assialsimmetrici soggetti ad azioni emisimmetriche Trave appoggiata soggetta ad un carico assiale emisimmetrico Esecizio (Telaio soggetto ad una coppia) Diagramminelcasoemisimmetrico Esecizio (anello con diaframma soggetto ad una distorsionetermica) Sistemipolarsimmetrici Sistemi polarsimmetrici soggetti ad azioni polarsimmetriche Sistemi polarsimmetrici soggetti ad azioni polaremisimmetriche

5 Prof.Daniele Zaccaria SdC Sistemi di travi 28 agosto 2010 Indice v 7 Telai e travature reticolari Telaipiani Eserciziosuuntelaioaunnodospostabile Soluzionecolmetododelleforze Soluzionecolmetododeitelai Travaturereticolari Eserciziosuunatravaturareticolareiperstatica Sovrapposizionedeglieffetti Soluzioneflessionale Soluzioneassiale Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo degli spostamenti Esempi Traveappoggiatasoggettaaduncaricoassiale Sistemadipendoliparalleli Travecontinua Analisiqualitativabasatasullerigidezze Telaiosoggettoadunacoppiaconcentrata Schemafondamentaledeitelaianodifissi Schemafondamentaledeitelaianodispostabili Rigidezzetaglianti Rigidezza tagliante della trave appoggio-doppio pendolo Rigidezza tagliante della trave incastro-doppio pendolo esempiditelaicontraversirigidi Portalecontraversorigido Telaiocontraversorigidoetreritti Telaio simmetrico con traverso rigido e tre ritti Sistemadipendoliconnessiinunnodo Analisi del metodo degli spostamenti Strutturadelleequazionirisolventi Scritturadelleequazionidiequilibrio Esempio di un telaio a un nodo spostabile risolto col metodo deglispostamenti Costruzione della matrice di rigidezza per assemblaggio dellematricidellesingoletravi Matrice di rigidezza di una trave inflessa con tuttiimovimentidinodovincolati Matrice di rigidezza di una trave inflessa nella quale una rotazione di nodo non è vincolata Matrici di rigidezza delle singole travi e loro assemblaggio MetodoiterativodiCross Esercizi Telaio simmetrico soggetto ad un carico concentrato Strutturareticolareiperstaticasimmetrica Analisi del metodo delle forze Strutturadelleequazionidicongruenza Scritturadelleequazionidicongruenza Indeformabilitàassiale Esempio:telaioaunnodospostabile Esempio:Strutturareticolare

6 vi Indice SdC Sistemi di travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria

7 Capitolo 1 Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide 1.1 Concetti Cinematica SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto

8 2 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria

9 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide Statica

10 4 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Moto rigido infinitesimo

11 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide 5

15 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide Analisi cinematica dei sistemi rigidi piani Centri assoluti di rotazione

17 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide Centri relativi di rotazione

20 14 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Allineamento dei centri relativi di tre corpi in moto

21 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide Vincoli e centri di rotazione

22 16 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Analisi dei casi possibili

23 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide Esempio 1

25 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide Analisi cinematica dei sistemi rigidi spaziali Esempio Matrice cinematica

28 22 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Condizione di non labilità di un sistema di travi

29 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide Analisi statica dei sistemi rigidi spaziali Matrice statica

31 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide Condizione di equilibrio di un sistema di travi 1.5 Il principio dei lavori virtuali per il corpo rigido libero

33 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide Dualità statico cinematica

35 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide Il principio dei lavori virtuali per i sistemi rigidi vincolati

38 32 Capitolo 1. Analisi cinematica e statica dei sistemi di travi rigide SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 1.8 Esempio sull analisi statica e cinematica

41 Capitolo 2 Statica dei sistemi piani isostatici quindi le due forze che si trasmettono in tali sezioni devono essere uguali ed opposte. Se la trave è caricata solo da forze concentrate la curva delle pressioni risulta, per quanto detto, poligonale. I lati del poligono delle pressioni corrispondono ai tratti di trave tra un carico concentrato e l altro (fig. 2.1a). Con riferimento all esempio di fig. 2.1a, l intersezione tra la traccia di una tratto AD tratto BD 2.1 Curva delle pressioni Le sollecitazioni che si trasmettono attraverso una qualunque sezione retta di una trave piana equivalgono alla loro risultante agente lungo una ben determinata retta d azione (asse centrale del sistema di forze) oppure, se tale risultante è nulla, equivalgono ad una coppia. Escluso quest ultimo caso, ad ogni sezione retta di una trave piana corrisponde la retta d azione della risultante delle forze agenti nella stessa sezione. D altronde una coppia M rappresenta il caso limite di una forza F avente braccio b rispetto ad un punto P del piano quando la forza tende a zero e il braccio tende all infinito mantenendo costantemente uguale a M il prodotto Fb. Ne consegue una forza nulla che agisce secondo la retta all infinito o retta impropria e quindi ad ogni sezione retta di una trave piana corrisponde la retta d azione, propria o impropria, della risultante delle tensioni agenti nella stessa sezione. La curva delle pressioni rappresenta l inviluppo delle rette d azione delle risultanti relative a tutte le sezioni rette di un sistema di travi. Tale strumento grafico sintetizza, in modo qualitativo, le sollecitazioni cui una trave è sottoposta Tratto di trave non caricato In un tratto di trave non caricato direttamente la curva delle pressioni è rappresentata da una linea retta, poiché in tal caso l equilibrio richiede che la retta d azione della risultante non vari al variare della sezione retta considerata. Infatti, due sezioni generiche di tale tratto individuano una parte di tale tratto caricata solo in corrispondenza delle sezioni stesse e N F D B C T S A e R A (a) Poligono delle pressioni R B F (b) Poligono delle forze Figura 2.1: Esempio di un sistema di travi soggetto ad un carico concentrato generica sezione S e la retta d azione della risultante delle forze agenti nel- R A T N R B SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto

42 36 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria la stessa sezione (retta d azione che rappresenta un lato del poligono delle pressioni) individua il centro di sollecitazione C. 1 Il valore della risultante può essere dedotto dal poligono delle forze (fig. 2.1b), che rappresenta l equilibrio in forma vettoriale. La componente in direzione normale alla sezione individua la forza normale, quella in direzione della traccia della sezione la forza di taglio mentre il momento flettente dipende dalla eccentricità della risultante rispetto al punto S della linea d asse, oppure dalla eccentricità della sola forza normale (indicata con e in fig. 2.1a). Il momento flettente si annulla dove i lati del poligono delle pressioni intersecano la linea d asse del sistema di travi nel tratto di propria competenza. Nel caso della fig. 2.1a, tale situazione si verifica solo in corrispondenza delle sezioni vincolate A e B Tratto di trave con carico distribuito costante (per unità di linea ortogonale al carico) q a qa R S C l y x S D r α x B R B qx R A R S α qa ql Si vuole ora mostrare che in un tratto di trave soggetto ad un carico distribuito q costante per unità di linea ortogonale al carico, la curva delle pressioni è una parabola il cui asse ha la direzione del carico. Dimostrazione. Facendo infatti riferimento allo schema di fig. 2.2a, dove la direzione del carico distribuito è verticale e il carico è ritenuto costante per unità di linea orizzontale (o per unità di proiezione orizzontale), si consideri la generica sezione S. La quota di carico distribuito che compete al tratto AS vale qa, dovea èladistanzainorizzontalediadas. È quindi possibile determinare, tramite il poligono delle forze (fig. 2.2b), la risultante che compete alla sezione S. L inclinazione di tale risultante fornisce, per definizione di inviluppo, la tangente r alla curva delle pressioni nel punto individuato dalla intersezione della curva con la retta d azione s della quota di carico ripartito agente in S. Si assumano allora due assi ortogonali di riferimento, un asse orizzontale x generico ed un asse verticale y tale che divida il carico ripartito in due quote, individuate nel poligono delle forze dalla orizzontale per il punto di incontro delle reazioni R A ed R B. Detta f(x) l equazione della curva delle pressioni, deve quindi risultare: df dx 1 A volte detto centro di pressione. = tan α = qx H, (2.1) R A A s (a) Curva delle pressioni R B H (b) Poligono delle forze Figura 2.2: Esempio di un sistema di travi soggetto ad un carico ripartito dove α è l inclinazione della tangente rispetto all asse x e H èladistanza, misurata nel poligono delle forze, della risultante del carico distribuito dal punto di incontro delle reazioni R A ed R B. Dato che la distanza H non dipende da x, integrando si ottiene: f(x) = qx2 2H + c, (2.2) equazione che rappresenta una parabola di asse y, come volevasi dimostrare. Nella dimostrazione precedente si è ipotizzato che il punto di tangenza della risultante r in S si trovi sulla retta s.

43 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici 37 Dimostrazione. Per mostrare che così è si consideri la fig. 2.3, dove sono stab b a ql E q P 2 qa T 1 r 1 r r 2 r 1 qa P 3 T 2 qb r ql F D B qb R B R A S 1 S 2 S R S r 2 A P 1 s R A Figura 2.3: Tangenti alla curva delle pressioni nell intorno di un punto Figura 2.4: Costruzione della curva delle pressioni parabolica te tracciate le rette d azione r 1 e r 2 delle risultanti relative rispettivamente alle due sezioni S 1 e S 2 che distano b da S in direzione orizzontale e che sono poste rispettivamente a sinistra e a destra di S. Le risultanti dei due carichi qb intercettano su r i punti T 1 et 2 da cui passano le rette d azione r 1 e r 2. È evidente dalla costruzione che il punto di tangenza di r deve essere interno all intervallo T 1 T 2. Essendo la distanza b arbitraria il punto di tangenza deve quindi stare sulla retta s. Con riferimento alla fig. 2.4, si affronta ora il problema della costruzione dell arco di parabola che rappresenta la curva delle pressioni tramite l individuazione di tre dei suoi punti e delle corrispondenti tangenti, come già fatto per il tracciamento del diagramma parabolico del momento flettente. A tale proposito si ricordi che nel dato esempio la direzione del carico coincide con la direzione verticale. Si consideri allora innanzitutto che i due punti di estremità P 1 ep 2 della curva delle pressioni coincidono con le intersezioni tra le verticali per le sezioni A e D di estremità del carico distribuito e le rette d azione delle risultanti in A e in D rispettivamente. Si noti che nell esempio di fig. 2.4 il primo dei due punti, P 1, coincide con il punto A. Le rette d azione relative ai due punti di estremità rappresentano anche le due tangenti di estremità della curva delle pressioni mentre il vertice E delle tangenti si trova sulla retta d azione della risultante del carico distribuito. Per completare la costruzione a questo punto basta unire i due punti di estremità P 1 ep 2 della curva delle pressioni, individuando così l intersezione F con la retta d azione della risultante del carico distribuito. Dividendo a metà il segmento EF si individua il terzo punto P 3 della parabola, mentre la tangente si ottiene mandando per P 3 la parallela alla congiungente P 1 P 2.

44 38 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 2.2 Arco circolare a tre cerniere Si consideri l equilibrio di un arco di circonferenza AB di centro O, di semiapertura β generica, soggetto ad un carico distribuito q radiale (per unità di linea d asse) e a due forze in A e in B tangenti alla linea d asse (fig. 2.5a). estremità A e B dell arco valgono qr. Si noti che tale risultato è indipendente dalla semiapertura β dell arco. Si consideri ora l arco circolare a tre cerniere di fig. 2.6, soggetto ad un q q C O A R β α dα B (a) Forze applicate Q q cos α ds = R dα qr β β 2qR sin β qr (b) Poligono delle forze Figura 2.5: Equilibrio di un arco circolare soggetto ad un carico radiale Il carico radiale è simmetrico rispetto alla bisettrice dell angolo AOB e quindi tale bisettrice coincide con la retta d azione della risultante del carico. Sempre per simmetria, le due tangenti in A e in B si incontrano sulla bisettrice dell angolo AOB rendendo così possibile l equilibrio (dato che condizione necessaria per l equilibrio di tre forze è che si incontrino in un punto). Poiché la risultante del carico radiale ha retta d azione l asse di simmetria, è sufficiente integrare la componente del carico in tale direzione. La simmetria permette inoltre di integrare solo su metà arco. Con le convenzioni di fig. 2.5a si ottiene così: Q = 2 β 0 q cos αr dα = 2qR sin β. (2.3) Come può poi dedursi dal poligono delle forze (fig. 2.5b), gli sforzi alle due A R O Figura 2.6: Arco circolare a tre cerniere soggetto ad un carico ripartito radiale carico distribuito radiale costante (ancora per unità di linea d asse). Si sconnetta in corrispondenza delle tre cerniere (interna ed esterne). Per la soluzione precedente, è possibile equilibrare i due archi con delle forze tangenti alla linea d asse, di modulo qr indipendente dalla semiapertura degli archi, come indicato in fig Le due forze in corrispondenza della cerniera interna sono quindi uguali ed opposte come imposto dal vincolo. Essendo soddisfatto l equilibrio e tutte le condizioni imposte dai vincoli, lo schema di fig. 2.7 fornisce la soluzione dell arco circolare a tre cerniere soggetto a carico radiale. Si noti che l arco è soggetto alla sola forza normale e che quindi la curva delle pressioni coincide con la linea d asse dell arco. 2.3 Cenno all equilibrio dei fili Come già visto nel caso dell arco parabolico, la curva delle pressioni non dipende dalle linee d asse del sistema di travi ma solo dalle forze applicate (forze attive e reazioni dei vincoli), almeno finché la forma della struttura non influenza le forze applicate. Si consideri allora un filo inestendibile, ovverossia un filo che conserva la sua lunghezza. Essendo indefinitamente flessibile, il filo può essere internamente soggetto solo a forze normali 2ϕ B

45 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici 39 ( ) π 2qR sin 2 ϕ F filo inestendibile in equilibrio C qr qr C 2qR sin ϕ filo inestendibile in equilibrio A qr π 2 ϕ O O ϕ B qr (a) Filo equilibrato sotto un carico concentrato q (b) Filo equilibrato sotto un carico distribuito radiale Figura 2.8: Fili inestendibili in equilibrio Figura 2.7: Reazioni interne ed esterne di trazione, dirette quindi secondo la tangente alla linea che rappresenta la configurazione equilibrata sotto le date forze. 2 Ne consegue che se si atteggia un filo inestendibile secondo la curva delle pressioni determinata da dati carichi (e reazioni vincolari) si ottiene una configurazione equilibrata del filo soggetto a quei dati carichi, almeno nel caso in cui le forze normali sono di trazione. Quale primo esempio si consideri il poligono delle pressioni di fig. 2.1a a pagina 35. Tenuto conto che nel caso considerato lo sforzo normale è di compressione, è sufficiente modificare il verso della forza F esterna applicata per ottenere la configurazione di un filo inestendibile in equilibrio sotto le date forze (fig. 2.8a). Analogamente si consideri la curva delle pressioni dell arco semicircolare di fig. 2.6 nella pagina precedente, che ricordiamo essere coincidente con la linea d asse semicircolare. Tenendo ancora conto che nel caso trattato la forza normale è di compressione, se ne deriva che la configurazione del filo inestendibile di fig. 2.8b è equilibrata sotto il carico distribuito radiale. Si conclude osservando che negli equilibri precedenti non è stato messoincontoilpesopropriodelfilo. Si consideri allora un filo omogeneo pesante. In tale caso il peso proprio rappresenta un carico distribuito costante per unità di linea. Se il filo è molto teso tra due punti posti su una linea orizzontale, la sua configurazione equilibrata è vicina a quella rettilinea passante per i due punti. In tal caso il peso proprio del filo si può allora approssimativamente considerare quale carico distribuito costante per proiezione orizzontale. Ne consegue che il filo si atteggia, approssimativamente, secondo una curva parabolica passante per i due punti dati. L equazione della parabola è fornita dalla (2.2) a pagina 36, dove H rappresenta la forza normaleacuiilfiloèsoggetto. 2 Si noti che non avendo il filo una forma propria, non ha senso scrivere l equilibrio in una configurazione indeformata vicina a quella deformata.

46 40 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 2.4 Arco parabolico

47 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici 41

48 42 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 2.5 Travi Gerber

49 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici Sistemi chiusi isostatici Esempio 1

50 44 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria

54 48 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Esempio 2 Si consideri ora il sistema chiuso di fig. 2.9, soggetto ad una coppia E E tratto BD tratto ACD l I I G M A C II D 45 B M l 2 C D II B l l l Figura 2.9: Sistema di travi chiuso soggetto ad una coppia antioraria applicata nel nodo rigido A. Isostaticità Il sistema di travi di fig. 2.9, contenente una parte chiusa, può essere considerato composto delle due parti rigide I e II connesse dal pendolo ED e dal pendolino interno in C. Essendo esternamente vincolata dall appoggio in A e dal doppio pendolo in B, il numero globale dei vincoli semplici è quindi 6, pari al numero dei gradi di libertà delle due parti svincolate. Il sistema soddisfa allora la condizione necessaria di isostaticità. Se la parte II subisse un moto rigido, causa il doppio pendolo questi sarebbe di traslazione. Supponiamo una traslazione che abbassa e sposta verso sinistra della stessa quantità, diciamo a, tutti i suoi punti, compresi quindi i punti C e D. Se il punto C si abbassa, per la continuità dello spostamento verticale imposto dal pendolo la parte I deve ruotare in senso orario attorno al punto fisso A. Il punto E si sposta allora verso destra di a. Eseguendotale traslazione al pendolo ED il punto D si sposta verso destra di a. Siimponga ora una rotazione oraria di tale pendolo attorno alla cerniera in E in modo tale da rispettare la continuità dello spostamento verticale in D, e quindi tale da abbassare il punto D di a. Poiché il braccio verticale è la metà di quello orizzontale, ne risulta uno spostamento orizzontale pari a a/2 verso sinistra e quindi uno spostamento complessivo di D verso destra di a/2, in contrasto con la traslazione di a verso sinistra dovuto alla traslazione della A R A l 2 R B 3 (a) Poligono delle pressioni 1 M 3 l 1 M 3 l 5 M 3 l 2 2 M 3 l 2 M 3 l (b) Poligono delle forze tratto AED 2 2 l l Figura 2.10: Poligoni delle pressioni e delle forze

55 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici 49 parte II. La contraddizione dimostra che il sistema di travi non può subire motirigidiechequindinonèlabileediconseguenzaèisostatico. ed esterne. Tale soluzione è riportata nello schema di fig. 2.11, dove risulta anche semplice la verifica dell equilibrio. 3 In fig è poi riportato il diagramma del momento flettente. Sempre Reazioni interne ed esterne Per determinare le reazioni interne ed esterne, si consideri l equilibrio della parte II. Le reazioni in corrispondenza delle sconnessioni in C, D e B hanno quali rette d azione, rispettivamente, la verticale per C, la retta per E e D, e una retta parallela agli assi dei pendoli del doppio pendolo in B. Con riferimento allo schema di fig. 2.10a, le prime due si incontrano nel punto G da dove deve passare anche la retta d azione della reazione del doppio pendolo. Resta così completamente determinato il poligono delle pressioni del sistema di travi. Ciò stabilito, si consideri ora l equilibrio globale. Dovendo equilibrare la coppia antioraria M, le reazioni dell appoggio in A e del doppio pendolo in B devono costituire una coppia oraria, di forze parallele agli assi dei pendoli del doppio pendolo e di braccio 3 2 l. Risulta quindi: M l M 5 M 3 l l 1 3 M M M R A = R B = 2 2 M 3 l. (2.4) Il poligono delle forze riportato in fig. 2.10b determina le reazioni del pendolo in C e del pendolo ED, completando così il calcolo delle reazioni interne 1 M 3 l M 5 M 3 l 2 M 3 l 1 M 3 l 2 M 3 l 1 M 3 l 5 M 3 l M Figura 2.12: Diagramma del momento flettente nella fig sono anche mostrate a sinistra la risultante della reazione del pendolo ED e della coppia applicata in A, eadestralarisultantedellareazionedelpendoloincedellareazioneina,risultantichedevonoessere uguali ed opposte. Mandando dall intersezione della retta d azione di tali risultanti con il prolungamento del tratto EA una retta parallela al diagramma del momento nel tratto EA, si ottiene in A il valore che il momento flettente ha immediatamente a destra di A nel tratto AC. Nelle fig. 2.13a e 2.13b sono infine riportati i diagrammi della forza normale e del taglio rispettivamente. 2 M 3 l 2 M 3 l 1 M 3 l 2 M 3 l 2 M 3 l Figura 2.11: Reazioni interne ed esterne 3 È sempre consigliabile di riportare la soluzione, comunque ottenuta, in uno schema riassuntivo del tipo di quello di fig. 2.11, che tra l altro permette un semplice controllo dell equilibrio e quindi della validità della stessa soluzione.

56 50 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria N M l 2 3 M l 1 3 M l (a) Forza normale T M l 2 3 M l 1 3 M l (b) Taglio Figura 2.13: Diagrammi della forza normale e del taglio Travature reticolari isostatiche

57 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici Condizioni di isostaticità

58 52 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Esempi di travature reticolari piane Soluzione delle travature reticolari isostatiche col metodo dei nodi

63 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 2. Statica dei sistemi piani isostatici Soluzione delle travature reticolari isostatiche col metodo delle sezioni di Ritter

65 Capitolo 3 Calcolo di spostamenti in sistemi piani isostatici 3.1 Deformata della linea d asse Momento flettente SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto

66 60 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Forza normale

67 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti Metodo cinematico (o composizione cinematica degli spostamenti)

68 62 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Sistemi di travi prevalentemente inflesse

69 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti Mensola soggetta ad un carico ripartito

70 64 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Trave appoggiata soggetta a forza normale

71 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti Arco circolare soggetto ad un carico ripartito

72 66 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Un esempio di calcolo di spostamenti col metodo cinematico in un sistema spaziale: mensola di sezione a C

73 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti 67

74 68 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 3.3 Integrazione dell equazione della linea elastica

76 70 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 3.4 Analogia di Mohr

77 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti Mensola soggetta ad una coppia Trave appoggiata soggetta ad un carico concentrato

78 72 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Trave IPE270 appoggiata soggetta ad un carico concentrato

79 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti Strutture con uguale deformazione Trave appoggiata soggetta ad un carico ripartito

80 74 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Trave appoggiata soggetta a due coppie concentrate simmetriche

81 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti Trave appoggiata soggetta ad una coppia concentrata

82 76 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 3.6 Coefficienti elastici Mensole

83 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti Travi appoggiate

84 78 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 3.7 Esercizio (struttura chiusa soggetta ad un carico ripartito)

86 80 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria

88 82 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 3.8 Calcolo di spostamenti con il principio dei lavori virtuali

89 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti Mensola soggetta ad una forza di tipo assiale

90 84 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Portale zoppo soggetto ad un carico ripartito

91 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti Telaio soggetto ad una forza concentrata

93 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti Esercizio 1 (struttura chiusa soggetta ad un carico ripartito)

95 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 3. Calcolo di spostamenti Esercizio 2 (struttura soggetta ad un carico ripartito)

99 Capitolo Trave appoggiata soggetta ad un carico assiale Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo delle forze SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto

100 94 Capitolo 4. Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo delle forze SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria

101 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010Capitolo 4. Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo delle forze Trave appoggiata soggetta a carichi di tipo flessionale

102 96 Capitolo 4. Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo delle forze SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 4.3 Travi incastro-appoggio Trave incastro-appoggio soggetta ad una coppia in corrispondenza dell appoggio

103 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010Capitolo 4. Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo delle forze Trave incastro-appoggio soggetta ad una forza concentrata in mezzeria Trave incastro-appoggio soggetta ad una forza distribuita

104 98 Capitolo 4. Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo delle forze SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 4.4 Travi incastro-incastro Trave incastro-incastro soggetta ad una forza concentrata in mezzeria Trave incastro-incastro soggetta ad una forza distribuita

105 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010Capitolo 4. Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo delle forze Travi continue

106 100 Capitolo 4. Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo delle forzesdc Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Esempio di trave continua

107 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010Capitolo 4. Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo delle forze 101

108 102 Capitolo 4. Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo delle forzesdc Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria

109 Capitolo 5 Cedimenti vincolari e distorsioni 5.1 Cedimenti vincolari elastici SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto

110 104 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Esempio 1 (trave appoggiata con un appoggio cedevole)

111 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni Esempio 2 (trave incastro-appoggio con incastro cedevole angolarmente)

112 106 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Esempio 3 (trave continua con un appoggio cedevole)

113 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni 107

114 108 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 5.2 Cedimenti vincolari anelastici

116 110 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 5.3 Distorsioni concentrate

118 112 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria

119 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni Distorsioni distribuite

120 114 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 5.5 Distorsioni termiche

122 116 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Esempio 2 (trave appoggio-appoggio soggetta ad una variazione termica uniforme) Esempio 1 (trave appoggio-carrello soggetta ad una variazione termica uniforme)

123 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni Esempio 3 (trave appoggiata soggetta ad una distorsione termica a farfalla)

124 118 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Esempio 4 (trave doppiamente incastrata soggetta ad una distorsione termica a farfalla)

125 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni Distorsioni plastiche Distorsione plastica distribuita di tipo assiale

126 120 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Distorsione plastica distribuita di tipo flessionale

128 122 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Distorsioni plastiche concentrate (cerniere plastiche)

130 124 Capitolo 5. Cedimenti vincolari e distorsioni SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Esempio (calcolo a rottura di una trave in acciaio a sezione rettangolare, incastrata e soggetta ad un carico ripartito)

131 Capitolo 6 Strutture simmetriche 6.1 Azioni su strutture simmetriche SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto

132 126 Capitolo 6. Strutture simmetriche SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Sistemi simmetrici soggetti ad azioni simmetriche Sistemi simmetrici soggetti ad azioni emisimmetriche

133 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 6. Strutture simmetriche Sistemi assialsimmetrici Sistemi simmetrici soggetti ad azioni generiche Sistemi assialsimmetrici soggetti ad azioni simmetriche

134 128 Capitolo 6. Strutture simmetriche SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria

135 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 6. Strutture simmetriche 129

136 130 Capitolo 6. Strutture simmetriche SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Cavalletto iperstatico soggetto ad un carico simmetrico

138 132 Capitolo 6. Strutture simmetriche SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Sistemi assialsimmetrici soggetti ad azioni emisimmetriche

140 134 Capitolo 6. Strutture simmetriche SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Trave appoggiata soggetta ad un carico assiale emisimmetrico

141 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 6. Strutture simmetriche Esecizio (Telaio soggetto ad una coppia)

144 138 Capitolo 6. Strutture simmetriche SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria Diagrammi nel caso emisimmetrico

145 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 6. Strutture simmetriche Esecizio (anello con diaframma soggetto ad una distorsione termica)

148 142 Capitolo 6. Strutture simmetriche SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 6.3 Sistemi polarsimmetrici Sistemi polarsimmetrici soggetti ad azioni polarsimmetriche

149 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 6. Strutture simmetriche Sistemi polarsimmetrici soggetti ad azioni polaremisimmetriche

151 Capitolo 7 Telai e travature reticolari 7.1 Telai piani SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto

152 146 Capitolo 7. Telai e travature reticolari SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria

153 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 7. Telai e travature reticolari 147

154 148 Capitolo 7. Telai e travature reticolari SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria 7.2 Esercizio su un telaio a un nodo spostabile Soluzione col metodo delle forze

155 Prof.Daniele Zaccaria SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Capitolo 7. Telai e travature reticolari 149

156 150 Capitolo 7. Telai e travature reticolari SdC Meccanica dei solidi e delle travi 28 agosto 2010 Prof.Daniele Zaccaria

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