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1 Copyright 004 The Companies srl e Corbusier - Progetto per il palazzo dei Soviet a Mosca 1931 Problema 1. Arco Trave di copertura Tirante bielle Membrana di copertura Fig. P1.1 Analizzare il sistema in Figura P1.1 (già riportata nel libro di testo Capitolo 6) significa: determinare la configurazione di equilibrio sotto il carico assegnato (diversa da quella rappresentata in Figura P1.1 relativa alla situazione di carico nulla e bielle indeformate) determinare le reazioni vincolari del vincolo in A e le azioni interne delle 14 bielle Come già affermato nel Capitolo 7, questi due aspetti della soluzione non sono indipendenti. Poiché gli strumenti di calcolo in nostro possesso non permettono un analisi rigorosa del problema esposto, in questo esercizio ci limiteremo ad analizzare la trave di copertura. Anche in questo caso lo schema scelto è da assumersi come schema semplificato di un problema reale complesso. I carichi schematizzati presentano valori differenti di intensità, vista la complessità dell intero sistema e l impossibilità di affrontarlo in modo rigoroso essi non possono che essere considerati indicativi e non interpretativi del valore dei carichi realmente applicati alla struttura.

2 Copyright 004 The Companies srl a trave di copertura a forma disegnata da e Corbusier per le travi di copertura invita a ipotizzare uno schema strutturale che presupponga momenti flettenti nulli alle estremità, dove le contenute dimensioni della trave fanno pensare ad una rigidezza flessionale piuttosto bassa, e momenti flettenti elevati in mezzeria dell asta, dove, al contrario, le dimensioni della trave sono in grado di opporre una buona resistenza alla flessione (sull argomento si veda il Capitolo 8). Se traduciamo le osservazioni in schema strutturale un possibile schema del sistema di copertura potrebbe essere quello riportato in Figura P1.. la cerniera in B non ammette momento, in C il valore del momento flettente sarà presumibilmente modesto e nullo all estremo dell asta; Si avrà momento piuttosto elevato nella parte centrale dell asta dove la trave è stata pensata con una sezione molto alta e quindi dotata di una buona inerzia. D Asta pesante: Trave di Copertura densità di carico p=1/q 4 B C N i N 1 N 13 N N 14 Fig. P1. Trave di copertura: Modello / 3/ 3 B q/ C 4 N N i N 1 N 13 N 14 / 3/ Fig. P1.3 Trave di copertura: Schema Statico o schema strutturale di Figura P1. mostra un sistema isostatico composto da un asta vincolata in B con una cerniera a terra e in C con una biella verticale e caricata con un carico distribuito di intensità q/ dovuto al peso proprio della trave e dalle azioni N i, azioni assiali trasmesse alla trave dalle bielle di sostegno della copertura. Ipotizziamo per tali azioni i valori: N 1 =1.6q; N =0.8q; N 3,.. N 1 =q; N 13 =0.4q; N 14 =1.q. Come già detto nella premessa all esercizio le intensità scelte hanno solo valore di esercitazione e non hanno la pretesa di simulare le intensità dei carichi realmente trasmessi dalla copertura. Si pongano in evidenza le RV incognite come in Figura P1.3. Ora, considerando la trave nella sua configurazione iniziale indeformata, è possibile risolvere il problema scrivendo le tre equazioni cardinali della statica (momento rispetto al punto B):

3 Copyright 004 The Companies srl 3 = = 7q + N i (E1.1) 1 = 1.6q + 1.6q + q + q + 3q q +.q q + 49q Dalle (E1.1) si ricava: = ; = 9.064q; q (E1.) = In Figura P1.4 e P1. sono riportati rispettivamente il sistema equilibrato e i diagrammi delle azioni interne. B q/ C q 9.064q 1.6q 0.8q q 0.4q 1.q Fig. P1.4 Sistema equilibrato / 3/

4 Copyright 004 The Companies srl N/q T/q Fig. P1. Diagramma delle azioni interne M/q 1.8 evidenziazione di uno dei punti dei angolosi presenti nel diagramma di momento flettente Per convenzione il momento viene riportato dalla parte delle fibre tese. Si fa notare al lettore che i punti indicati col simbolo rappresentano dei punti angolosi: in tali punti la derivata prima è discontinua (vedi diagramma di T) e la tangente alla curva cambia pendenza (Fig. P1.). Il diagramma del momento flettente mostra un andamento in accordo con la forma ipotizzata da e Corbusier per la trave e suffraga i commenti fatti in precedenza: sezione molto alta dove il momento flettente è massimo, sezione ridotta dove il momento flettente tende a zero. Studiare il sistema strutturale in funzione delle sollecitazioni significa ottimizzare l uso della materia e delle forme; nell esempio proposto la forma strutturale non solo è ottimizzata ma è anche architettura: la soluzione ideale (ma non facile) per un progetto. Si lascia al lettore la risoluzione numerica dell esercizio supponendo di assegnare: = 7m e q=330kn/m..

5 Copyright 004 The Companies srl Problema. Seconda sala Copertura Trave di copertura bielle Analizzare il sistema in Figura P.1 significa: determinare la configurazione di equilibrio sotto il carico assegnato (diversa da quella rappresentata in Figura P.1 relativa alla situazione di carico nulla e bielle indeformate) determinare le reazioni vincolari del vincolo in E e le azioni interne delle 7 bielle. Fig. P.1 Possibile schema statico per il sistema copertura. a trave di copertura Asta pesante: Trave di Copertura densità di carico: p 1 (traverso), p (montante) G p 1 =/q p =4/q Sollecitazioni dovute ai tiranti a sostegno della copertura Fig.P. Trave di copertura: Modello Fig. P.3 Trave di copertura: Schema Statico a forma disegnata da e Corbusier: sottile all estremo G e alta all estremo H, fa pensare ad uno schema strutturale che ammetta momento nullo in G e momento non nullo in H. Un possibile schema strutturale potrebbe quindi essere quello di Figura P.: il carrello in G non trasmette momento mentre l incastro in H è in grado di generare anche una reazione vincolare di momento. o schema risulta però iperstatico la soluzione del quale richiede l abbandono dello schema rigido e di conseguenza considerazioni sull equilibrio, sulla congruenza e sul legame costituivo che governano il comportamento deformativo del sistema. a soluzione del problema elastico richiede qui l uso di procedure di calcolo che esulano dal contesto di questo libro. Un altro schema strutturale rispettoso delle osservazioni svolte è quello di Figura P.3. Esso è sistema isostatico composto da un asta vincolata in H con un incastro. Nella parte orizzontale la trave è stata caricata con un carico distribuito di intensità p 1 =/q dovuto al suo peso proprio e con le azioni N i, trasmesse dalle bielle di sostegno della copertura, e azioni N i sono assunte di uguale intensità; come già detto nell esercizio precedente, l intensità scelte hanno solo valore di esercitazione e non hanno la pretesa di simulare l intensità dei carichi realmente trasmessi dalla copertura. Il montante verticale è stato caricato con un carico distribuito p =4/q, verticale discendente, che ne schematizza il peso proprio.. Si pongano in evidenza le RV incognite come in Figura P.4. Considerando la trave nella sua configurazione iniziale indeformata, è possibile risolvere il problema scrivendo le tre equazioni cardinali della statica (momento rispetto al punto H): G p 1 =/q p =4/q 10 = 0 N=3/4q = 7 q + q + q (E.1) 4 H N=3/4q q 9 = q 4 H 8 8

6 Copyright 004 The Companies srl Fig. P.4 da cui risulta: 01 8 = q = 10. 0q = q = 33. 8q In Figura P. e P.6 sono riportati rispettivamente il sistema equilibrato e i diagrammi delle azioni interne. G /q 4/q N=0.7q 33.8q H 10.0q 8 Fig. P. Sistema equilibrato N/q T/q M/q Fig. P.6 Diagramma delle azioni interne 33.8 Per convenzione il momento viene riportato dalla parte delle fibre tese. Si fa notare al lettore che, anche in questo caso, i punti indicati col simbolo rappresentano dei punti angolosi: in tali punti la derivata prima è discontinua (vedi diagramma di T) e la tangente alla curva cambia pendenza.

7 Copyright 004 The Companies srl Anche in questo caso il diagramma del momento flettente mostra un andamento in accordo con la forma ipotizzata da e Corbusier per la trave: sezione grossa dove il momento flettente è massimo, sezione ridotta dove il momento flettente tende a zero. Si lascia al lettore la risoluzione numerica dell esercizio assumendo ancora: = 7m e q=330kn/m.