Relazione di fine tirocinio. Andrea Santucci

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1 Relazione di fine tirocinio Andrea Santucci 10/04/2015

2 Indice Introduzione ii 1 Analisi numerica con COMSOL R Il Software Geometria Materiale Scelta della Fisica Reticolo di calcolo Tipologia di analisi Analisi numerica di buckling di una asta soggetta a compressione Definizione del problema Calcolo del carico critico Determinazione della curva di carico Effetti dell imperfezione i

3 Introduzione Il tesista Andrea Santucci ha svolto attività di tirocinio presso il laboratorio LaMS (Laboratorio di Modellazione e Simulazione) internamente all Università degli Studi di Roma Tre. L attività di tirocinio è stata svolta tra i mesi di Dicembre e Febbraio dell Anno Accademico Il tirocinio ha avuto la finalità di acquisire le conoscenze utili alla modellazione di problemi legati alla Meccanica delle Strutture tramite il Software COMSOL R. Il codice di calcolo è stato utilizzato per analizzare alcuni problemi tipo dell Ingegneria Civile e successivamente per il lavoro costituente la Tesi di Laurea. Di seguito verrà dapprima introdotto il codice di calcolo e dunque verrà introdotto un esempio di applicazione tra quelle realizzate durante il tirocinio. ii

4 Capitolo 1 Analisi numerica con COMSOL R Come è stato introdotto precedentemente il tirocinio ha riguardato la modellazione numerica tramite il software COMSOL R. Di seguito viene richiamata una breve introduzione all uso di questo Software. Figura 1.1: Comsol 1.1 Il Software L interfaccia del software si presenta come illustrato nella figura 1.2 nella pagina seguente, come si nota sulla sinistra è presente un insieme di nodi, nei quali occorre effettuare le seguenti definizioni: 1. Geometria; 2. Materiale; 3. Fisica in cui annegare il corpo analizzato; 4. Reticolo di calcolo; 5. Tipologia di analisi; queste corrispondono essenzialmente alle definizioni che occorre effettuare per risolvere un generico problema fisico, a meno del reticolo di calcolo (mesh) che deriva dalla metodologia di risoluzione delle equazioni che regolano il problema. Nei seguenti paragrafi vengono analizzati in maniera sommaria i singoli nodi correlandoli alle equazioni e le definizioni da effettuarsi per un problema di Meccanica Strutturale. 1

5 Figura 1.2: Interfaccia Grafica COMSOL 5.0a R Figura 1.3: Menù per la definzione della geometria in COMSOL 5.0a R Geometria Evidentemente, la prima cosa da effettuare consiste nella definizione della dimensione del problema, ovvero occorre definire se il problema che si vuole analizzare, per la fisica o per la geometria, occorre studiarlo tridimensionalmente o se sia possibile ridurlo ad un problema bidimensionale o monodimensionale. Noto ciò, sarà possibile definire la geometria del sistema tramite l utilizzo di elementi primitivi direttamente all interno di COMSOL (Figura 1.3) o in alternativa tramite l utilizzo di software CAD esterni e dunque importarla Materiale Una volta definita la Geometria del sistema il passo successivo è definire il legame costitutivo da assegnare ai materiali costituenti il corpo in oggetto. Come è noto questo equivale a definire un tensore del quarto ordine C definito come segue: S = CE dove S è il tensore degli sforzi mentre E è quello delle deformazioni. Questa definzione può essere effettuata in due modi in COMSOL: Tramite la definizione delle componenti del tensore elastico C; Tramite la libreria di materiali presente direttamente nel software; 2

6 1.1.3 Scelta della Fisica COMSOL è un software in cui è possibile studiare problemi non solo legati alla meccanica strutturale ma anche altri problemi fisici (esempio: termodinamica, elettromagnetismo ecc.). Quelli d interesse nel caso in oggetto sono i soli legati alla meccanica delle strutture, i quali possono essere risolti con i moduli riportati nella Figura 1.4, come si nota, tra gli altri, sono presenti il modello di solido 3D, quello di guscio e quello di trave. Di seguito vengono richiamate le principali equazioni della teoria dell elasticità e quindi viene indicato come fornire le indicazioni necessarie al software per risolverle. Figura 1.4: Tipologie di fisica per la meccanica strutturale Nel caso della meccanica strutturale, in uno spazio tridimensionale, come è noto, le equazioni di equilibrio sul corpo e sul bordo sono le seguenti: divs + b = 0 S n = t sul corpo sul bordo (1.1) Dove b è il vettore che rappresenta le forze per unità di volume, n la normale al bordo e infine t le forze per unità di area applicate sul bordo del corpo. Eviedentemente, essendo le 1.1 un sistema di equazioni differenziali, occorre associare ad esso delle condizioni al contorno. Alle equazioni di equilibrio si aggiungono le relazioni di congruenza: E = 1 2( u + ( u) T ) sul corpo u = u sul bordo (1.2) Dove E è il tensore delle deformazioni, u il vettore che rappresenta il campo degli spostamenti e u gli spostamenti assegnati sul bordo. Sia le 1.1 che le 1.2 sono implementate nella fisica Solid Mechanics (evidentemente negli altri moduli presentati nella figura 1.4 saranno presenti le equazioni equivalenti a quelle presentate in precedenza per i gusci, le travi ecc.) ciò comunque non toglie che sia possibile definirle direttamente all interndo del software per componenti attraverso la fisica "Mathematics". Definite dunque le equazioni da risolvere sul dominio, il passo successivo corrisponde nella definizione delle condizioni al contorno e i carichi (nel caso di problemi dinamici occorrerà 3

7 Figura 1.5: Tipologie di bordo Figura 1.6: Esempio di assegnazione su bordo bidimensionale aggiungere anche condizioni iniziali evidentemente). Sia nel caso dei carichi che nel caso di condizioni al contorno, la definizione è differenziata a seconda della dimensione del bordo stesso (3D, 2D o 1D) come si può notare dall figure 1.5 e 1.6 dove; in quest ultima, sono riportate le possibili assegnazioni nel caso di un bordo 2D Reticolo di calcolo COMSOL è un software che risolve problemi fisici tramite il FEM, ovvero non risolve le equazioni viste al paragrafo maniera esatta sul dominio ma piuttosto su un reticolo e dunque la soluzione risulterà discreta ed approssimata. La risoluzione del dominio può essere definita dall utente o direttamente dal software in funzione del tipo di problema analizzato. Figura 1.7: Esempio di discretizzazione del dominio di calcolo 4

8 1.1.5 Tipologia di analisi Figura 1.8: Tipologie di analisi Le tipologie di analisi permesse in COMSOL, per un problema di meccanica strutturale, sono quelle riportate nella figura 1.8, tra le principali si ricordano: Instabilità lineare; Statica; Dinamica; Modale; 5

9 Capitolo 2 Analisi numerica di buckling di una asta soggetta a compressione Tra i casi trattati durante il tirocinio, ne si riporta un esempio riguardante il problema di instabilità di una trave soggetta a carico assiale. Questo può essere risolto o tramite il modulo di linear buckling presente all interno del software o in alternativa procedendo con un analisi non lineare al passo in modo tale da seguire il comportamento della struttura e dunque ottenere tutto il percorso di carico e non solo i carichi critici e le relative deformate. Di seguito viene definito l esempio in oggetto dal punto di vista geometrico e quindi vengono applicati i due approcci appena indicati. 2.1 Definizione del problema Quello che si vuole fare è determinare il carico critico della trave riportata nella figura 2.1 nella pagina seguente, questa si tratta di una trave vincolata all estermo di sinitra con un incastro e a quello di destra con un carrello, in particolare all estermo di sinistra sono bloccati tutti gli spostamenti e le rotazioni mentre per l estremo di destra sono bloccati gli spostamenti nel piano della sezione. Dal punto di vista geometrico la trave possiede una luce pari a 11 m ed una sezione a C di altezza esterna pari a 75 cm e larghezza esterna pari a 25 cm, lo spessore è posto pari a 2.6 cm. Come si nota dalla figura 2.1 nella pagina successiva, non è stato realizzato un modello monodimensionale, ma piuttosto un modello tridimensionale in un cui ogni elemento della trave è stata definita come un elemento shell incastrato a quello limitrofo. Il reticolo di calcolo che è stato adottato è riportato nella figura 2.2 nella pagina seguente, si tratta di una mesh rettangolare di dimensione minima pari a 12 cm. Il materiale adottato è l acciaio, dunque caratterizzato da un modulo elastico pari a E = 210 GP a e modulo di Poisson ν = 0.3. Il modello è stato caricato con un carico assiale baricentrico all estermo destro (quello in cui è presente il carrello). Di seguito vengono riportati i risultati ottenuti dalle analisi. 6

10 Figura 2.1: Oggetto dell analisi Figura 2.2: Discretizzazione del dominio adottata 7

11 Figura 2.3: Primo modo di instabilità 2.2 Calcolo del carico critico Come già introdotto, una prima possibilità per il calcolo del carico critico è quella di impiegare il modulo di linear buckling presente all interno del software. Questo tipo di analisi fornisce i risultati riportati nella figura 2.3, come si nota corrisponde al classico modo di sbandamento laterale del problema euleriano. Il primo carico critico risulta essere pari a: N (1) cr = kn (2.1) il quale è analogo a quello derivante dalla nota relazione di Eulero ( 2.3), N (1) creul = π2 EJ min L 2 0 (2.2) infatti note le caratteristiche geometriche della sezione: J min = m 4 E = 210 GP a β = 0.7 L 0 = βl = 7.7 m (2.3) Si ha che: N (1) creul = 5824 kn (2.4) Dunque tra i due è presente una differenza trascurabile, ovvero pari al 3%. 2.3 Determinazione della curva di carico Nel paragrafo precedente è stato calcolato il solo carico critico, in altenativa quello che è possibile fare è calcolare tutto il percorso di carico della struttura, ciò è possibile farlo controllando gli spostamenti. In particolare quello che si può fare è definire il carico 8

12 tramite un equazione all interno del software come quella riportata nella 2.5 P ( ū(p ), inc ) = 0 (2.5) dove ū(p ) è lo spostamento di un punto della trave funzione del carico applicato, mentre inc corrisponde al parametro di controllo del sistema, ovvero quello che viene incrementato per portare avanti l analisi. In sostanza in questo modo l analisi è effettuata seguento al passo il comportamento della struttura incrementando il parametro inc e di conseguenza lo spostamento del punto considerato e dunque il software di conseguenza calcola il carico corrispondente in modo tale da poter seguire l instabilità dell elemento. Nel caso in oggetto quello che è stato fatto è imporre al software di portare avanti un analisi in modo tale che il carico sia definito attraverso la seguente equazione: ū(p ) inc = 0 (2.6) dove ū(p ) è stato posto pari allo spostamento orizzontale (nella direzione y secondo il sistema di riferimento riportato nella figura 2.2 a pagina 7). Per ottenere risultati da questo tipo di analisi e perché siano utili per studiare il problema di instabilità occorre in aggiunta fornire anche un imperfezione, ovvero un azione esterna aggiuntiva al carico tale che venga attivata la forma di instabilità interessata (comunque piccola rispetto ai carichi agenti affinché non alteri la soluzione). Nel caso in oggetto è stata aggiunta un ulteriore azione nel nodo caricato, in particolare è stata aggiunto un carico aggiuntivo solo sul bordo mostrato nella figura 2.4 nella pagina successiva, in questo modo dunque si è aggiunto una piccola azione flettente instabilizzante. Il valore di questa imperfezione è tale da decrescere esponenzialmente all aumentare del carico (e dunque dello spostamento in mezzeria, per come si è definto il problema).a tal fine si guardi il paragrafo a pagina 12. I risultati ottenuti sono riportati nella figura 2.1 a pagina 11 come si nota l andamento della curva di carico è caratterizzato da un salto iniziale corrispondente all innesco del buckling, dunque si ha una leggera crescita del carico all aumentare dello spostamento e quindi un ramo di decrescita, il quale dimostra che il percorso di carico risulta essere instabile. Sucessivamente, superati i 3 m di spostamento, si ha l innesco di moti locali d instabilità, infatti durante il ramo decadente si nota una perdita di forma della sezione. Nella figura 2.5 nella pagina seguente è riportata la deformata della trave in corrispondenza del picco riscontrato dall analisi, ovvero il carico critico, il quale risulta essere pari a: N (1) crcomsol = kn (2.7) come si nota è molto vicino a quelli riportati al paragrafo precedente (relazioni 2.1 e 2.4 nella pagina precedente), infatti la differentra tra quello determinato con il modulo predisposto in COMSOL risulta essere minore dell 1%, mentre nel caso del modello di Eulero non superiore al 3%. Il modo di instabilità locale che si incontra successivamente, è quello rappresentato nella figura 2.6 nella pagina seguente, ovvero dapprima viene persa la forma della sezione in 9

13 Figura 2.4: Imperfezione Figura 2.5: Deformata corrispondente al picco (carico critico) corrispondenza dell incastro e successivamente in corrispondenza della mezzeria e dunque nella sezione di carico Effetti dell imperfezione Precedentemente è stato introdotto che per avere risultati accettabili da un analisi al passo come quella effettuata occorre fornire un "imperfezione" in modo tale da attivare il modo che si vuole studiare. In particolare si è introdotto che l imperfezione è stata fornita con un ulteriore carico eccentrico come riportato nella figura 2.4 a pagina 10, a questo è stato assegnato il seguente valore: 0.01 F e 100 inc (2.8) dove F è la forza che viene applicata al modello e inc è il parametro di incremento dell analisi, in questo modo l imperfezione tende a zero subito dopo aver innescato il modo di buckling. Quello che si nota è che all aumentare dell imperfezione la rigidezza iniziale della curva 10

14 11 Tabella 2.1: Curva di carico

15 Figura 2.6: Modo di buckling locale di carico risulta più bassa e dunque il modo di buckling viene attivato prima. Questo effetto può essere notato nella figura 2.2 nella pagina seguente, nella quale è raffrontata la curva ottenuta dall analisi con l imperfezione 2.9 (riportata nella figura 2.1 nella pagina precedente) con la curva ottenuta (a parità di ogni altra condizione) con un imperfezione pari a: F e 100 inc (2.9) ovvero pari a 100 volte di quella utilizzata nell analisi precedente. In questo modo la forma di buckling viene attivata precedentemente e dunque il carico critico risulta molto più basso di quello visto in precedenza. Questo tipo di effetto risulta particolarmente interessante soprattuto per le strutture in acciaio, la quali possono essere caratterizzate da imperfezioni geometriche iniziali non trascurabili. Bisogna inoltre notare che comunque l effetto dell imperfezione in questo caso risulta essere interessante solo per piccoli spostamenti proprio per come è stata definita, infatti giunti al carico critico l andamento delle due curve risulta perfettamente analogo. 12

16 13 Tabella 2.2: Curva di carico