La modellazione delle strutture

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1 La modellazione delle strutture 1

2 Programma Introduzione e brevi richiami al metodo degli elementi finiti La modellazione della geometria La modellazione degli elementi strutturali I collegamenti ed i vincoli La modellazione dei materiali La modellazione dei carichi L'analisi della struttura L'interpretazione dei risultati La validazione del calcolo 2

3 Introduzione e brevi richiami al metodo degli elementi finiti 1. I tre cicli della progettazione 2. Il concetto di modellazione 3. L approccio al calcolo strutturale con gli elementi finiti 4. I dati minimi per un modello 5. Esempio di modellazione con Axis LT 6. I metodi di soluzione delle strutture 7. Analisi matriciale delle strutture 8. Il metodo generale agli elementi finiti

4 I tre cicli della progettazione 4

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11 Il concetto di modellazione 11

12 La modellazione delle strutture Un modello matematico è una rappresentazione formale di idee o conoscenze relative ad un fenomeno finalizzata alla comprensione, e controllo del fenomeno E.Malinvaud, Méthod statistiques de l économetrie 12

13 Relazione tra realtà e rappresentazione Ogni rappresentazione impoverisce ed esalta la realtà (la bontà della rappresentazione dipende dagli obiettivi) 13

14 Relazione tra realtà e rappresentazione Realtà fisica (percepita attraverso i sensi) Rappresentazione FEM (telaio spaziale che coglie gli aspetti ingegneristici del problema, non quelli estetici) 14

15 La modellazione delle strutture La rappresentazione solida dei modelli parte da linee e superfici in cui l effetto 3D è dato da sezioni e spessori 15

16 La modellazione delle strutture Problema: calcolo deformazione di un solaio in c.a. (ANALISI DELLA REALTA ) ASTRAZIONE E RAPPRESENTAZIONE DEL MODELLO NELLE SUE COMPONENTI Analisi del modello di calcolo: 1. Ipotesi: strutture integre 2. Ipotesi: strutture fessurate INTERPRETAZIONE E VALIDAZIONE DEI RISULTATI RISPETTO ALLA REALTA 16

17 L approccio al calcolo strutturale con gli elementi finiti 17

18 La modellazione delle strutture In generale la soluzione esatta è complessa quindi sono limitate a strutture semplici. 18

19 La modellazione delle strutture L evoluzione storica del calcolo strutturale: dallo studio del continuo (matematici 800) con pochi casi risolti in modo esatto ai modelli discreti, approssimati, grazie all informatica 19

20 La modellazione delle strutture Modello continuo - di difficile soluzione teorica per i casi generici (equazioni differenziali): Modello discreto agli Elementi Finiti - metodo approssimato ma adatto per qualsiasi tipo di struttura (da equazioni differenziali a equazioni algebriche - FEM): 20

21 La modellazione delle strutture Giulio Cesare: Divide et impera 21

22 La modellazione delle strutture Modello fisico continuo attraverso idealizzazione e discretizzazione si giunge al modello discreto (FEM) Da Felippa: Introduction to FEM 22

23 Dal continuo al discreto Vantaggio Metodo FEM Facile interpretazione fisica Basi matematiche solide Simulazione di strutture complesse Ampia gamma di problemi esaminati (lineare, non lineare, dinamica, instabilità, sismica.) Software affidabili e verificati 23

24 Dal continuo al discreto Teorema fondamentale: FEM = SOFTWARE = FIDUCIA Corollari: (questioni CNDDN * ) 1. E necessaria la conoscenza dei concetti fondamentali del metodo ad elementi finiti 2. Per avere fiducia bisogna conoscere il software 2.1 Conoscere le scelte fatte dal progettista del software (area di applicazione e limiti) 2.2 Conoscere i comandi del software * (Come Non Dormire Di Notte) 24

25 Dal continuo al discreto 3. Saper applicare il software al caso in esame (saper modellare le strutture) 3.1 Rappresentare correttamente la struttura 3.2 Saper interpretare i risultati 25

26 I dati minimi per un modello 26

27 La modellazione delle strutture Componenti minimi ed essenziali di un modello: 1. Elemento lineare Tipo di elemento (bielle) Nodi di riferimento Materiale Geometria sezione Vincoli interni tra elementi 4. Sistema di riferimento locale 2. Coordinate Nodi x, y, z 3. Carichi (concentrati, uniformi, termici, coazioni) 5. Sistema di riferimento assoluto 6. Gradi di libertà dei nodi 7. Vincoli esterni 27

28 La modellazione delle strutture Componenti minimi ed essenziali di un modello: 1. Superfici:. Tipo di elemento (membrana, guscio) Nodi di riferimento Materiale Spessore Vincoli interni tra elementi 2. Coordinate Nodi x, y, z 4. Sistema di riferimento locale 5. Sistema di riferimento assoluto 3. Carichi (concentrati, uniformi, termici, coazioni) 6. Gradi di libertà dei nodi 7. Vincoli esterni 28

29 La modellazione delle strutture Modalità di input 1: dati singoli (nodi, linee, sezioni, materiali) 29

30 La modellazione delle strutture Modalità di input 2: oggetti strutturali completi Si introducono più informazioni contemporaneamente Pilastri e travi: nodi, sezione, materiali, vincoli interni, sistema locale, DOF Superfici (dominio per meshatura automatica, spessore, materiale, sistema locale, vincoli interni, DOF) 30

31 Esempio di modellazione con Axis LT 31

32 I metodi di soluzione delle strutture 32

33 Metodi di analisi strutturale 1. Metodo delle forze Le sollecitazioni sono incognite Ricerca unica configurazione congruente tra tutte le possibili equilibrate. Incognite non univoche: due possibili soluzioni Soluzione 1 Soluzione 2 2. Metodo spostamenti Gli spostamenti sono incogniti Ricerca unica configurazione equilibrata tra le tutte le possibili congruenti. Incognite univoche. Soluzione univoca 33

34 Metodi di analisi strutturale Il calcolo FEM si basa sul calcolo matriciale: è particolarmente adatto per il calcolo automatico delle strutture (una cella corrisponde ad un cella di memoria) If R = S Then a11 = q*l^2/6 Else a22 = q*l/2 End If 34

35 Metodi di analisi strutturale Soluzioni per il calcolo automatico delle strutture: 1. Analisi matriciale delle strutture o teoria tecnica della trave; limitato a telai piani e spaziali, metodo esatto. 2. Metodo FEM: risolve qualsiasi struttura, metodo approssimato; usato non solo per il calcolo strutturale: diffusione termica, potenziale elettrico, ecc. 3. Altri metodi: BEM, analisi al contorno; FDM, differenze finite; FDV, volumi finiti, ecc. 35

36 Analisi matriciale delle strutture 36

37 Analisi matriciale delle strutture E necessario esprimere in linguaggio matematico le condizioni fisiche del modello 1. Principio di congruenza Mancanza di rotture e di compenetrazioni di materiale Le aste che hanno un nodo in comune assumono lo stesso spostamento (a meno di svincoli tra asta e nodo) Gli angoli tra gli elementi si mantengono costanti 90 37

38 Analisi matriciale delle strutture 2. Principio di equilibrio (globale e per i nodi) Σ M = 0 Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 I nodi sono i punti di passaggio delle sollecitazioni 38

39 Analisi matriciale delle strutture 3. Legame costitutivo del materiale Elastico lineare Elastico non lineare Elastico plastico σ = E ε 39

40 Analisi matriciale delle strutture 4. Principio di sovrapposizione degli effetti Effetti composti come somma di carichi elementari + = 5. Applicazione dei carichi in modo pseudo-statico Se varia con rapidità: analisi dinamica 40

41 Analisi matriciale delle strutture 6. Ipotesi piccoli spostamenti La condizione di equilibrio è espressa nella configurazione iniziale e non finale. Non sempre l ipotesi è verificata: per alcune strutture l equilibrio va ricercata nella configurazione finale deformata (effetti del II ordine in analisi non lineare) 41

42 Analisi matriciale delle strutture 7. Definizione delle convenzioni Segno per orientamento elementi (assi locali), carichi, sollecitazioni, spostamenti. 42

43 Analisi matriciale delle strutture Consideriamo un telaio semplice con carico distribuito che induce deformazioni sulla struttura (i nodi ruotano e si spostano)

44 Analisi matriciale delle strutture Le sollecitazioni si distribuiscono in funzione del rapporto tra le rigidezze degli elementi 44

45 Analisi matriciale delle strutture Principio di sovrapposizione degli effetti: = + 45

46 Analisi matriciale delle strutture 1. Isoliamo l asta orizzontale e imponiamo incastri ai nodi: µ 1 µ 2 ρ 1 ρ 2 s 0 =reazioni d incastro perfetto nel sistema locale 46

47 Analisi matriciale delle strutture 2. Imponiamo rotazioni e spostamenti ai nodi che generano sollecitazioni La soluzione del problema si ottiene costruendo un sistema di equazioni che esprime l equilibrio dei nodi con gli spostamenti incogniti. 47

48 Analisi matriciale delle strutture Sollecitazioni sono funzione di carichi e spostamenti Per l ipotesi di comportamento elastico le relazioni tra sollecitazioni e deformazioni sono lineari 48

49 Analisi matriciale delle strutture Esprimendo il tutto in termini matriciali: e quindi s = s 0 + k x s = sollecitazioni negli elementi (M 1 R 1 M 2 R 2 ) s 0 = reazioni d incastro perfetto (µ 1 ρ 1 µ 2 ρ 2 ) K = matrice di rigidezza dell elemento (k i,j ) x = spostamenti incogniti (ϕ 1 u 1 ϕ 2 u 2 ) 49

50 Analisi matriciale delle strutture s 0 =reazioni d incastro perfetto nel sistema locale: M 1 M 2 R 1 R 2 50

51 Analisi matriciale delle strutture k = matrice di rigidezza dell elemento, si ottiene applicando una distorsione unitaria per volta agli estremi dell elemento k 11 k 21 k 12 k 32 k 21 k 31 k 22 k 42 Colonna 1 Colonna 2 51

52 Analisi matriciale delle strutture k = matrice di rigidezza dell elemento, si ottiene applicando una distorsione unitaria per volta agli estremi dell elemento k 13 k 33 k 14 k 34 k 23 k 43 k 24 k 44 Colonna 3 Colonna 4 52

53 Analisi matriciale delle strutture Esplicitazione dei dati per una asta singola, espressi in funzione delle incognite (spostamenti x) s = s 0 + k x 53

54 Analisi matriciale delle strutture Matrice di rigidezza per una trave spaziale (12x12) Prende in conto sforzo normale, torsione, momento e taglio nei piani y e z) 54

55 Analisi matriciale delle strutture Esame della struttura intera 1. Definizione delle incognite (spostamenti dei nodi) u 2 2 u u 1 φ 2 φ 1 u

56 Analisi matriciale delle strutture Spostamenti nodi nel piano: 3 gradi di libertà Spostamento X Spostamento Y Y Rotazione Z 56

57 Analisi matriciale delle strutture Spostamenti nodi nello spazio: 6 gradi di libertà X Y Z X φ y φ x Y Z φ z 57

58 Analisi matriciale delle strutture Esame della struttura intera 1. Definizione delle incognite Semplificazioni per elementi inestensibili: u 1 = u 3 u 2 = u 4 = 0 Tabella dei gradi di libertà (DOF) u 2 u 1 u 4 φ 1 u 3 φ 2 58

59 Analisi matriciale delle strutture Esame della struttura intera Blocchiamo tutti i nodi e studiamo le due strutture separatamente: y = + y 0 K x Anche in questo caso la relazione è lineare: y = y 0 + K x y = sollecitazioni sui nodi y 0 = reazioni incastro perfetto K = matrice di rigidezza globale x = spostamenti incogniti (ϕ i, u i ) 59

60 Analisi matriciale delle strutture Sbloccando i nodi, le reazioni di incastro perfetto si distribuiscono sugli elementi in base alle rigidezze J 1 e J 2, in modo che il nodo sia in equilibrio q M = M 1 + M 2 M M - M 1 - M 2 =0 M 2 M 1 J 1 J 2 60

61 Analisi matriciale delle strutture Analisi globale della struttura 2. Si scrivono le equazioni di equilibrio ai nodi in funzione delle incognite (spostamenti) sommando il contributo dei carichi esterni (attraverso le reazioni di incastro) e quello degli elementi convergenti espresso dalla rigidezza degli elementi u 2 φ u Reazione incastro perfetto Componente flessionale asta 1 Componente flessionale asta 2 -ql^2 /12 + φ1 * k φ1 * k2 11 = 0 ql^2 /12 + φ2 * k φ2 * k3 11 = 0

62 Analisi matriciale delle strutture Costruzione della matrice di rigidezza globale della struttura Matrici di rigidezza k aste u 2 φ1 1 2 u 3 4 u 1 2 φ 2 3 u3 1 4 Matrice di rigidezza globale K Incognite x φ 1 u 1 u 2 φ 2 u 3 u 4 La matrice di rigidezza globale si ottiene da quella dei singoli elementi per somma dei termini omologhi che legano i gradi di libertà (spostamenti) dei nodi comuni tra gli elementi 62

63 Analisi matriciale delle strutture = y 0 + K x y = sollecitazioni totali ai nodi y 0 = reazioni d incastro perfetto K = matrice rigidezza completa x = spostamenti incogniti Il sistema viene posto = 0 in quanto la struttura è equilibrata Gli spostamenti si ottengono invertendo la matrice di rigidezza globale della struttura per il vettore delle reazioni di incastro perfetto. 63

64 Analisi matriciale delle strutture Calcolo delle sollecitazioni agli estremi degli elementi Noti gli spostamenti x, si calcolano le sollecitazioni agli estremi delle aste tramite l espressione: s (t)= s o(t) + k (t) * x L operazione si applica per tutte le aste e per ogni condizione di carico 64

65 Analisi matriciale delle strutture Calcolo delle sollecitazioni lungo gli elementi 1. Ogni elemento viene reso isostatico, estrapolandolo dall insieme della struttura; 2. Si applicano le sollecitazioni calcolate all estremità; 3. Noto il carico si calcolano le sollecitazioni e le deformazioni lungo l asta. M(x) = M1 qx 2 /2 + R1 x M1 R1 x 65

66 Analisi matriciale delle strutture Attenzione: non tutti i software FEM effettuano questo calcolo, alcuni si limitano al calcolo delle sollecitazioni ai nodi. Per controllare occorre effettuare una mesh e confrontare i risultati con lo stesso modello intero: 66

67 Analisi matriciale delle strutture Il metodo calcola gli spostamenti dei nodi: gli spostamenti lungo l elemento sono un calcolo a parte, anche in questo caso è bene controllare confrontando due modelli: 67

68 Analisi matriciale delle strutture L equilibrio delle forze ai nodi avviene nel sistema assoluto, se l asta è inclinata occorre riportare i valori delle reazioni e della matrice di rigidezza dal sistema locale al sistema assoluto Rotazione dei valori di incastro e della matrice di rigidezza nel sistema assoluto: Reazioni d incastro perfetto nel sistema assoluto: s 0 n = ql 2 senϕ e ql 2 cos ϕ e ql 12 2 ql 2 senϕ e ql 2 cos ϕ e ql 12 2 T 68

69 Analisi matriciale delle strutture Le sollecitazioni sono riportate secondo il sistema di riferimento locale. Attenzione al verso! Sollecitazione di taglio 69

70 Il metodo generale agli elementi finiti 70

71 Il metodo FEM L analisi matriciale delle strutture può essere considerata come un caso particolare, semplificato, del metodo più generale agli elementi finiti, che dispone di più tipi di elementi (lineari e di superficie) e di analisi (statica lineare e non lineare, dinamica, sismica, instabilità, ecc.) 71

72 Il metodo FEM Confronto tra metodo matriciale e metodo FEM CALCOLO MATRICIALE METODO FEM GENERALE Individuazione elementi finiti Individuazione elementi finiti Calcolo matrice di rigidezza in modo diretto Definizione delle funzioni di forma e calcolo matrice di rigidezza (approssimata) Calcolo reazioni incastro perfetto Calcolo dei carichi ai nodi (approssimati) Costruzione della matrice globale della struttura Soluzione del sistema di equazioni e calcolo spostamenti Calcolo sollecitazioni e spostamenti negli elementi Costruzione della matrice globale della struttura Soluzione del sistema di equazioni e calcolo spostamenti Stress recovery: calcolo deformazioni, sollecitazioni e tensioni (approssimate) e loro adattamento 72

73 Fine 73