Dimensionamento delle strutture

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1 Dimensionamento delle strutture Prof. Fabio Fossati Department of Mechanics Politecnico di Milano

2 Lo stato di tensione o di sforzo Allo scopo di caratterizzare in maniera puntuale la distribuzione delle reazioni molecolari interne alla sezione S globalmente misurate dalla sollecitazione di definisce TENSIONE o SFORZO nel punto P sulla giacitura definita dal piano della sezione S (di normale uscente x)

3 Lo stato di tensione o di sforzo La TENSIONE o SFORZO nel punto P viene poi normalmente scomposta nelle componenti ortogonale e parallela alla giacitura stessa la componente ortogonale prende il nome di tensione normale e si indica con σ x ; la componente parallela prende il nome di tensione tangenziale e si indica con τ x τ x si può ulteriormente scomporre secondo due direzioni ortogonali appartenenti alla giacitura per le componenti dirette rispettivamente secondo gli assi y e z dette τ xy e τ xz

4 Unità di misura della tensione Le dimensioni fisiche della tensione sono quelle di una forza diviso una lunghezza al quadrato (F L -2 ) l unità di misura corrispondente è il Pascal (Pa): 1 Pa = 1 N/m 2. Nella pratica progettuale si usa spesso il MegaPascal (MPa): 1 MPa = 10 6 N/m 2 = 1 N/mm 2

5 Le travi soggette a sforzo normale La sollecitazione in una sezione S di una trave si riduce al solo sforzo normale N quando la risultante di tutte le forze che precedono (o seguono) la sezione coincide con l asse geometrico della trave, se questa è ad asse rettilineo. Per semplificare il discorso facciamo riferimento a travi prismatiche, di peso trascurabile, soggette a due sole forze esterne, applicate alle due basi estreme della trave e dirette lungo l asse. Tali forze possono produrre trazione o compressione

6 La deformazione X Allungamento (accorciamento) e x = rapporto tra variazione dimensione considerata e valore iniziale e x = Dl/ l Si ammette che sia lo stesso per tutte le sue fibre longitudinali

7 Le travi soggette a sforzo normale Indicato con x l asse della trave è ragionevole supporre, anche in relazione al tipo di deformazione che la trave subisce che in ogni sezione retta di area A l unica componente di tensione diversa da zero sia la tensione normale σ x, la cui risultante deve pertanto equilibrare lo sforzo normale N, definita da:

8 Le travi soggette a sforzo normale Allo scopo di precisare la distribuzione delle σ x nella sezione e il loro valore in ogni punto aggiungiamo le due seguenti ipotesi che, una volta formulate matematicamente, esprimono le condizioni note rispettivamente come equazione di congruenza ed equazione di legame. Prima ipotesi (congruenza): si ammette che l allungamento (o accorciamento) che la trave subisce sia lo stesso per tutte le sue fibre longitudinali e, quindi, che le sezioni rette, inizialmente piane, rimangano piane e parallele. e x = Dl/ l = cost

9 Le travi soggette a sforzo normale Allo scopo di precisare la distribuzione delle σ x nella sezione e il loro valore in ogni punto aggiungiamo le due seguenti ipotesi che, una volta formulate matematicamente, esprimono le condizioni note rispettivamente come equazione di congruenza ed equazione di legame. Seconda ipotesi (legame costitutivo): si ammette che il materiale segua la legge di Hooke ovvero che ci sia proporzionalità diretta tra il carico applicato e la corrispondente variazione di lunghezza ovvero tra la tensione e la deformazione di ciascuna fibra longitudinale s x = E e x

10 Legame costitutivo s x = E e x E = modulo di Young del materiale della trave

11 Il modulo di Young Il modulo di Young è tanto più grande quanto più è rigido il materiale. Esso ha le stesse dimensioni della tensione (essendo la deformazione un numero puro) e si misura pertanto in MPa. s x = E e x Valori tipici per alcuni materiali di impiego comune : acciaio E = MPa calcestruzzo E = MPa legno E = MPa

12 Le travi soggette a sforzo normale Le equazioni di equilibrio, di congruenza e di legame ci permettono quindi di risolvere il problema della determinazione dello stato tensionale nella generica sezione S della trave: s x = E e x e x = Dl/ l

13 Le travi soggette a sforzo normale Se anziché una sezione retta si considera una sezione inclinata di un angolo α (di normale n) la tensione totale sarà ancora diretta lungo l asse della trave ma si potrà scomporre in una tensione normale σ n e in una tensione tangenziale τ n secondo le relazioni:

14 Verifica di resistenza Determinate le tensioni interne è possibile operare la verifica di resistenza della trave che consiste semplicemente nel controllare che in ogni punto la tensione prodotta dalle forze esterne risulti convenientemente minore della tensione che provoca la rottura. Convenientemente minore perché: 1. le massime forze agenti sulla struttura non possono essere previste con esattezza 2. dette forze possono anche agire con non trascurabili effetti dinamici 3. i materiali possono essere sede di difetti interni in grado di ridurne imprevedibilmente la tensione di rottura rispetto ai valori sperimentati 4. le tensioni vengono calcolate su modelli meccanici semplificati anziché sulla struttura reale.

15 Verifica di resistenza Per questi motivi tra la tensione di rottura (σ R ) di un materiale e la sua tensione ammissibile (σ adm ) deve esistere un notevole margine caratterizzato dal cosiddetto coefficiente di sicurezza (k), da taluni denominato coefficiente di ignoranza: σ adm = σ R /k Il coefficiente di sicurezza è naturalmente diverso per i diversi materiali e tanto maggiore quanto più elevate sono le incertezze riguardanti le sue caratteristiche meccaniche: per la muratura, le cui caratteristiche possono essere estremamente variabili, il coefficiente di sicurezza è almeno 5 per il calcestruzzo 3 per l acciaio, prodotto industrialmente e soggetto pertanto a controlli di qualità molto rigorosi, 1.5

16 Valori della tensione ammissibile Per alcuni materiali di impiego comune la tensione ammissibile assume valori grosso modo compresi negli intervalli sotto riportati: acciaio σ adm = MPa calcestruzzo σ adm = 7 14 MPa legno σ adm = 8 10 MPa

17 Le travi soggette a flessione

18 Flessione retta Nella parte convessa della trave, pertanto, le fibre si allungano, nella parte concava si accorciano e alcune conservano la lunghezza originaria: l insieme di queste ultime incontra ciascuna sezione trasversale lungo una retta n che prende il nome di asse neutro e che, stante la coincidenza tra piano di flessione e piano di sollecitazione, risulta ortogonale all asse di sollecitazione

19 Le travi soggette a flessione considerato un tronco di lunghezza infinitesima dx, si indica con Δ(η) la variazione di lunghezza della generica fibra distante η dall asse neutro, tale variazione di lunghezza sarà proporzionale al raggio della circonferenza alla quale appartiene la fibra deformata e ciò consente di determinare la deformazione della medesima fibra (ovvero la sua variazione di lunghezza rapportata alla lunghezza iniziale).

20 Le travi soggette a flessione

21 Le travi soggette a flessione Dalla 2^ equazione:

22 Verifica di resistenza

23 Le travi soggette a taglio T T T T

24 Le travi soggette a taglio Se la trave è a sezione rettangolare Distribuzione parabolica delle t t 6T bh 3 h 4 2 y 2 t max 3 2 T bh 1.5 T A La τ (max) si raggiunge in corrispondenza dell asse neutro (y = 0) e vale una volta e mezzo il valore della tensione media sull intera sezione

25 Le travi soggette a torsione

26 Le travi soggette a torsione I 0 R 2 4