Esercitazione 5 Dinamica del punto materiale

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1 Problema 1 Un corpo puntiforme di massa m = 1.0 kg viene lanciato lungo la superficie di un cuneo avente un inclinazione θ = 40 rispetto all orizzontale e altezza h = 80 cm. Il corpo viene lanciato dal punto più basso del cuneo con una velocità iniziale v 0. La superficie del cuneo su cui scivola il corpo puntiforme presenta un coefficiente di attrito dinamico µ k = 0.5. Sapendo che il cuneo, che potrebbe scivolare senza attrito sul piano di appoggio, è mantenuto in quiete per mezzo di una forza esterna, determinare: a) il valore di v 0 affinché il corpo dopo aver raggiunto la sommità del cuneo ricada al suolo ad una distanza d = 30 cm dal cuneo stesso; b) il modulo della forza esterna che deve essere utilizzata per mantenere il cuneo in quiete durante la salita del corpo puntiforme secondo quanto calcolato al punto a). [La soluzione di questo esercizio è disponibile sul libro di esercizi consigliato.] Giannozzi Giugliarelli Fisica Generale I, AA /03/ / 13

2 Problema 2 Un corpo puntiforme di massa m = 1.0 kg viene lanciato lungo la superficie di una lastra avente massa M = 4.0 kg e lunghezza L = 120 cm. Il corpo viene lanciato lungo la lastra con una velocità iniziale v 0. La superficie della lastra su cui scivola il corpo puntiforme presenta un coefficiente di attrito dinamico µ k = 0.4. Supponendo che la lastra venga mantenuta ferma: a) determinare il valore di v 0 affinché il corpo raggiunga esattamente la fine della lastra senza cadere da essa. Supporre poi che la lastra possa scivolare senza attrito sul piano di appoggio e che ora, quando il corpo puntiforme viene lanciato su di essa con la velocità iniziale v 0 calcolata al punto a), essa sia libera di muoversi. Determinare: b) la velocità finale del sistema lastra corpo e la distanza che il corpo percorre lungo la lastra. [La soluzione di questo esercizio è disponibile sul libro di esercizi consigliato.] Giannozzi Giugliarelli Fisica Generale I, AA /03/ / 13

3 Problema 3 Un cono, di altezza H = 30 cm e raggio di base R = 10.0 cm, è disposto verticalmente con il vertice in basso e ruota a velocità angolare ω 0 intorno al suo asse (vedi figura). Sulla sua superficie interna è poggiato un corpo puntiforme che ruota insieme al cono. Il corpo è ad una quota h = 15 cm al disopra del vertice del cono ed è in equilibrio statico rispetto ad esso. Determinare: a) la velocità angolare ω 0 del cono supponendo che la sua superficie non presenti attrito; b) entro quali limiti può essere variata la velocità angolare del cono mantenendo il corpo in equilibrio sempre alla quota h, nel caso in cui la superficie del cono presenti attrito con µ s = 0.2. [La soluzione di questo esercizio è disponibile sul libro di esercizi consigliato.] Giannozzi Giugliarelli Fisica Generale I, AA /03/ / 13

4 Problema 4 Si abbia una guida circolare di raggio R (come quella qui a fianco) disposta orizzontalmente (la figura corrisponde alla vista dall alto). Un corpo puntiforme di massa m, posto all interno della guida, viene lanciato lungo la guida stessa con una velocità iniziale di ampiezza v 0. Supponendo che la guida sia mantenuta fissa, e che tra corpo e guida sia presente un coefficiente di attrito dinamico µ k = 0.10, si determini: a) la legge con cui varia la velocità del corpo durante il suo moto circolare; b) dopo quanti giri la velocità del corpo si sarà ridotta ad 1/10 di quella iniziale. [La soluzione di questo esercizio è disponibile sul libro di esercizi consigliato.] Giannozzi Giugliarelli Fisica Generale I, AA /03/ / 13

5 Problema 5 Nella figura vediamo una corda che passa su due pulegge prive di massa e di attrito e un peso di massa m = 20 kg agganciato alla puleggia inferiore, mentre una forza F F F è applicata manualmente all estremità libera della corda. a) Quale dev essere l intensità di F F F per far salire il peso a velocità costante? b) Per far salire il peso di 2.0 cm, di quanto dovrà spostarsi la mano dell operatore? c) Qual è il lavoro compiuto sul peso durante questo spostamento dall operatore? d) E dalla forza di gravità? Soluzione Se il peso si muove di moto uniforme verso l alto, essendo questo un moto con accelerazione nulla, la somma delle forze che agiscono su di esso deve essere nulla! Perciò, essendo il peso del corpo equilibrato da 2 volte la tensione, T della corda, dovremo avere T = 1 2 mg Quindi, essendo anche F = T avremo F = T = 1 mg = 98.0 N. 2 Quando il peso sale di 2.0 cm, la mano dell operatore deve abbassarsi di 4.0 cm. Infatti, ogni spostamento della corda verso il basso y (effettuato dall operatore) si distribuisce equamente sui due lati della puleggia a cui è agganciato il peso, che quindi sale di una quota pari a y/2. Il lavoro compiuto dall operatore e dalla forza di gravità sono L o = F y = 1 mg y = 3.92 J; 2 Lg = mg y = 3.92 J. 2 Giannozzi Giugliarelli Fisica Generale I, AA /03/ / 13

6 Problema 6 Un blocchetto di massa m può scorrere lungo la pista a spirale in figura. a) Se è lasciato cadere da fermo dal punto P, quale sarà la forza netta che agisce su di esso nel punto Q? b) Da quale altezza sopra il punto più basso della spirale si dovrebbe lasciar cadere il blocchetto per far si che stia per perdere il contatto con la pista nel punto più alto del ricciolo? Soluzione Dalla conservazione dell energia meccanica, abbiamo mgh = mgr mv2 Q mv 2 Q = 2mg(h R) Le forze che agiscono sul blocchetto sono la forza gravitazionale, m g g g, e la reazione normale della pista, N N. N Nel punto Q, essendo m g g g tangente alla pista, la normale N deve essere pari alla forza centripeta, F c, necessaria a tenere il blocchetto sulla pista. Cioè N Q = F c = m v2 Q R = 2mg h R R Perciò la forza complessiva sul blocchetto sarà F F F Q = N N NQ + m g g g F Q = N 2 Q + m2 g 2 = mg R 4(h R) 2 + R 2 In punti diversi della traiettoria, anche il peso del blocchetto contribuisce alla forza centripeta. In effetti (vedi figura) è mv 2 2 mv = N mg cosθ N = + mg cosθ R R Giannozzi Giugliarelli Fisica Generale I, AA /03/ / 13

7 Problema 6 continuazione della soluzione Se vogliamo che nel punto più alto del ricciolo (θ = π) il blocchetto stia per perdere il contatto, allora dovrà essere N = 0. Quindi mv 2 R mg = 0 mv2 = mgr Perciò, dalla conservazione dell energia, otteniamo mgh = 2mgR mv2 = 2mgR mgr = 5 2 mgr h = 5 2 R. Giannozzi Giugliarelli Fisica Generale I, AA /03/ / 13

8 Problema 7 Una catena, come si vede in figura, è tenuta ferma su un tavolo privo di attrito mentre un quarto della sua lunghezza penzola dal bordo del tavolo. Se la catena ha una lunghezza totale L e una massa m, quanto lavoro è richiesto per tirare indietro fino sul piano del tavolo la parte penzolante? Soluzione Si noti che ogni elementino di catena, di lunghezza dh e ad una quota h al di sotto del piano del tavolo, una volta portato sul tavolo guadagna un energia potenziale gravitazionale pari a du = dm gh dove dm è la massa dell elementino di catena. Notando che dm = m L dh, sommando tutti i contributi si ottiene che il guadagno complessivo in energia potenziale è U = du = m L/4 L g hdh = m ( ) L 2 0 L g1 = mgl Ovviamente tale quantità è anche pari al lavoro che si deve compiere per issare la catena. Giannozzi Giugliarelli Fisica Generale I, AA /03/ / 13

9 Problema 8 Un punto materiale scivola sulla pista visibile in sezione in figura, con le estremità innalzate rispetto alla parte centrale, che è piano e orizzontale ed ha lunghezza L. Le due parti curve sono prive di attrito, mentre per la parte piana il coefficiente di attrito dinamico è µ k = Il corpo è lasciato libero in A, all altezza h = L/2 rispetto al tratto piano. Dove va a fermarsi il punto materiale? Soluzione Il corpo si fermerà quando tutta l energia potenziale iniziale è stata dissipata dalla forza di attrito sul tratto piano. Tale forza è sempre opposta alla direzione di moto ed ha intensità pari a f k = µ k N = µ k mg Se indichiamo con x la distanza complessivamente percorsa in orizzontale dal punto materiale, l energia dissipata sarà pari al lavoro compiuto dalla forza di attrito, pari a f k x. Quindi dovrà essere mg L 2 = f k x = µ k mg x x = L 2µ k = 2.5L Ciò significa che il punto materiale si ferma nel centro del tratto piano, la seconda volta che lo percorre verso destra. Giannozzi Giugliarelli Fisica Generale I, AA /03/ / 13