EQUAZIONI DIFFERENZIALI

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Pio Parodi
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1 Indice 1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Equazioni fisicamente significative A cosa servono? Legge di Newton Legge di Hooke Pendolo semplice Moto armonico semplice Alcune ED lineari di ordine 2 a coeff. costanti Massa-molla-ammortizzatore Oscillazioni smorzate libere Oscillazioni forzate Risonanza Battimenti Soluzione di ED lineari di ordine 2 a coeff. costanti Equazioni omogenee Soluzione generale dell equazione omogenea Equazioni non omogenee Soluzioni particolari Problema di Cauchy Problema di Cauchy con equazione omogenea ED non omogenea con costante ED non omogenea con forzante armonica CALCOLO VETTORIALE Vettori applicati Richiami teorici Problemi Sistemi di vettori applicati Richiami Equivalenza e riducibilià Centro di un sistema di vettori applicati paralleli Problemi sui sistemi di vettori applicati Torsori Richiami

2 vi INDICE 3 CINEMATICA del PUNTO Traiettoria e legge oraria Equazioni del moto Parametro ascissa curvilinea Velocità Accelerazione Triedro fondamentale e accelerazione Significato geometrico della curvatura Piano osculatore locale Problemi di cinematica del punto Moti Piani Generalità Moti centrali Formula di Binet Problemi sui moti piani Composizioni di moti simultanei STATICA del PUNTO Equazioni della statica Condizioni di equilibrio Problemi su condizioni di equilibrio Attrito Generalità Legge di Coulomb dell attrito statico Attrito dinamico Attrito volvente Resistenza di mezzo Attrito statico Problemi Attrito dinamico Problemi DINAMICA del PUNTO Moti con forza centrale CINEMATICA dei MOTI RIGIDI Richiami teorici Definizioni Campo velocità Direzioni solidali fisse nello spazio Campo accelerazione Problemi Moti rigidi particolari Composizioni di moti e di atti di moto rigidi Atti di moto rigido Asse di Mozzi Disco rigido che rotola senza strisciare

3 INDICE vii 7 MOTI RELATIVI Richiami teorici Problemi Punto mobile su piano in caduta libera Punto mobile su una retta in un piano rotante Punto mobile su un asse di una terna rototraslante Punto mobile su un asse solidale a disco rotolante Composizioni di moti simultanei Premessa Moti armonici simultanei su due rette ortogonali GEOMETRIA delle MASSE Massa e baricentro Definizioni Proprietà del baricentro Calcolo di baricentri di figure omogenee Baricentro di asta non omogenea Momenti d inerzia Calcolo di momenti d inerzia Aste Lamine rettangolari Triangolo omogeneo Arco e zone di disco materiali omogenei Momenti d inerzia per corpi con foro Tensore d inerzia Problemi Lamina rettangolare Lamina rettangolare: calcolo di momenti col tensore d inerzia Strutture giroscopiche in lamina quadrata omogenea Pluriquadrato giroscopico CINEMATICA delle MASSE Richiami di teoria Definizioni Teoremi generali Teoremi per il corpo rigido Problemi Asta scorrevole e rotante intorno ag Disco che rotola Semidisco che rotola Due aste incernierate Disco con asta rotolante in piano verticale VINCOLI Vincoli bilaterali Richiami teorici Esempi: spostamenti Spostamenti virtuali Esempi: spostamenti virtuali in coordinate libere

4 viii INDICE Spostamenti elementari in coordinate libere Vincoli unilaterali Richiami teorici Problemi su vincoli unilateri FORZE, LAVORO, POTENZIALE, ENERGIA Richiami dalla teoria Forze posizionali Forze conservative Calcolo di potenziali discreti Potenziale di forza costante Potenziale di forza centrifuga su punto Potenziale di forza elastica su punto Potenziale di interazione elastica tra due punti Potenziali di sollecitazioni continue Potenziale di sollecitazione costante Potenziale di sollecitazione centrifuga EQUAZIONI CARDINALI Equazioni cardinali della dinamica Prima equazione Seconda equazione Osservazione sulle forze interne Equazioni cardinali della statica Premessa di teoria Scala discreta Scala Uso delle equazioni cardinali Punto mobile sopra una retta in piano rotante Generalizzazione: punto su retta inclinata Punto su asta mobile Punto su asta con molla in piano rotante Generalizzazioni dei problemi precedenti Asta e punto con dispositivo motore Asta con dispositivo motore e punto sovrapposto Punto e asta con estremi sugli assi Punti su asse collegati da molla Due punti con molla mobili su circonferenza Disco orizzontale con punto sul bordo Disco rotolante con punto saldato Carrucola e punto con molla Disco rotolante con asta diametrale saldata Punto su lato di lamina triangolare Punto su lato di lamina triangolare con molla Asta fissa in un piano rotante verticale Asta scorrevole e rotante Asta girevole con punto su piano rotante Carrucola con peso e filo Asta rototraslante in terna traslante

5 INDICE ix Asta rotante intorno agscorrevole su asse Disco in piano verticale rotante con molla-punto Asta e disco verticali collegati da molla Asta congmobile in piano rotante PRINCIPIO dei LAVORI VIRTUALI Richiami dalla teoria Vincoli ideali Principio Lavori Virtuali Problemi di statica dei sistemi olonomi Equilibrio del pendolo semplice Punto su circonferenza con molla Uso del PLV in vincoli unilaterali Carrucola con peso, filo e molla EQUAZIONI DEL MOTO Premessa Teorema forze vive Teoria Applicazioni Equazioni di Lagrange Problemi su equazioni di Lagrange Punto su asse rotante Punto su asta con molla Disco che rotola su lamina triangolare mobile Asta in piano rotante Punto libero in piano orizzontale Asta-disco legati da molla Asta rotante intorno agscorrevole su asse STABILITA DI UNA POSIZIONE di EQUILIBRIO e Punto materiale in piano rotante Oscillazioni pendolo composto Disco rotolante con punto saldato Oscillazioni disco-punto su piano verticale Asta rotante intorno a G scorrevole su asse Biforcazioni dell equilibrio Equilibrio del pendolo in piano rotante SISTEMI CON MOTI RELATIVI INTERNI Premessa Punto mobile sopra un asta rotante Punto mobile su bordo disco Punto mobile su asta Disco rotolante su asta Asta e disco con molla in piano verticale DINAMICA del CORPO RIGIDO Rotolamento puro con attrito volvente

6 x INDICE 18 PROBLEMI RICAPITOLATIVI Confronti tra moti relativi Asta in piano con G scorrevole su asse Asta e disco con molla in piano verticale Disco in piano rotante con punto Asta rotante intorno a G mobile su asse Disco orizz.le con punto mobile mobile su un raggio

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