Cosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo?

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1 Cosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo?

2 Idea elementare: 1. fissare un quadratino come unità di misura 2. contare quante volte questo può essere riportato nella figura da misurare. rettangoli figure scomponibili in rettangoli

3 figure equiscomponibili figure equivalenti additività dell'area si può calcolare l'area di tutti i poligoni

4 Qualunque poligono può essere scomposto in triangoli e la sua area ricondotta alla somma delle aree dei triangoli in cui è stato decomposto. Poligoni regolari: scomponendoli in triangoli congruenti è facile calcolare l'area. Poligoni irregolari: basta scomporli opportunamente in triangoli.

5 Area del Cercio Il calcolo dell'area del cercio è molto più complesso in quanto non è possibile scomporre il cercio in triangoli. Cosa vuol dire misurare la lungezza di una curva? Non è possibile riportare un segmento unitario su una curva e dunque contare quante volte esso è contenuto.

6 Idea nuova: procedimento infinito e di limite E' possibile calcolare l'area del cercio per approssimazioni successive mediante poligoni regolari inscritti nel cercio e poligoni regolari circoscritti al cercio. Si dimostra ce: l'area del cercio è uguale al limite comune, quando il numero lati, al quale tendono le successioni formate dalle aree dei poligoni inscritti e circoscritti al cercio.

7 PROBLEMA Il problema ce ci poniamo adesso è quello di determinare l area di una regione del piano ce si trova, in un sistema di assi cartesiani ortogonali, al di sopra dell asse delle ascisse e al di sotto del grafico di una funzione () continua e non negativa al variare della variabile in un intervallo [,] ciuso e limitato.

8 Sia () una funzione definita e continua in un intervallo [,] ciuso e limitato e sia () 0 al variare della variabile in [,]. Si definisce rettangoloide relativo alla funzione la parte di piano compresa tra il grafico di 0 e l asse delle ascisse =(,) : 0 ()

9 Suddividiamo l intervallo [,] in un numero di parti uguali mediante punti di divisione: < < < <

10 In questo modo, suddividiamo l intervallo [,] in intervalli parziali più piccoli e uguali tra loro: [, ],=1,.., ciascuno di ampiezza =

11 Avendo supposto ce () sia una funzione definita e continua nell intervallo [,] ciuso e limitato, in particolare, () risulta definita e continua in ciascuno degli intervalli parziali [, ] Teorema di Weierstrass applicato a ciascun intervallino parziale in ciascuno degli intervalli parziali [, ] la funzione è dotata di minimo e di massimo, con =1,,.

12 A partire dai minimi in ciascuno degli intervalli parziali, si possono costruire rettangoli aventi la base pari all ampiezza di ciascun intervallo parziale e l altezza pari ad.

13 È possibile allora calcolare l area di ciascuno di questi rettangoli. Per esempio l'area del primo è = ( )=

14 l'area del secondo è = ( )=

15 l'area del terzo è = ( )=

16 e quella dell' n-simo è = ( )=

17 Così, la somma delle aree degli rettangoli di altezza, con =1,,, è: =

18 L insieme degli rettangoli di altezza è detto plurirettangolo inscritto nel rettangoloide relativo alla funzione. L area del plurirettangolo inscritto nel rettangoloide è: =

19 A partire dai massimi in ciascuno degli intervalli parziali, si possono costruire rettangoli aventi la base pari all ampiezza di ciascun intervallo parziale e l altezza pari ad.

20 È possibile allora calcolare l area di ciascuno di questi rettangoli. Per esempio l'area del primo è = ( )=

21 l'area del secondo è = ( )=

22 l'area del terzo è = ( )=

23 e quella dell' n-simo è = ( )=

24 Così, la somma delle aree degli rettangoli di altezza, con =1,,, è: =

25 L insieme degli rettangoli di altezza è detto plurirettangolo circoscritto al rettangoloide relativo alla funzione. L area del plurirettangolo circoscritto al rettangoloide è: =

26 Ovviamente si a sempre Cioè, qualunque sia la suddivisione dell intervallo [,] in intervalli parziali, l area del plurirettangolo inscritto è sempre minore o uguale a quella del plurirettangolo circoscritto

27 Teorema. Se () è una funzione definita e continua in un intervallo [,] ciuso e limitato e se () 0 al variare della variabile in [,], allora le somme e anno limite finito per + ed in particolare anno lo stesso limite coincidente con l area del rettangoloide relativo alla funzione : lim = lim =() Def. Il valore comune del limite delle somme ed si definisce integrale definito della funzione () esteso all intervallo [,] e si indica: () = lim = lim

28 In altre parole, assegnata una funzione continua in [,] non negativa in [,] l' integrale definito della funzione () relativamente all intervallo [,] è la misura dell area della regione di piano delimitata dalle rette di equazione =, =, =0 e dalla curva di equazione =(). ()= lim = lim = =() Nelle ipotesi poste, l integrale definito è sempre un numero 0

29 estremo superiore di integrazione variabile di integrazione estremo inferiore di integrazione funzione integranda

30 Osservazione Le somme ed relative ad una funzione (), definita e continua in un intervallo [,], possono essere costruite ance indipendentemente dal segno della stessa funzione () nell intervallo [,] (però, nel caso in cui f cambia segno, le somme ed non rappresentano geometricamente l area del plurirettangolo inscritto e circoscritto al rettangoloide)

31 In generale, vale quindi ce: Teorema. Se () è una funzione definita e continua in un intervallo [,] ciuso e limitato, allora le somme ed anno lo stesso limite finito per + e tale limite è per definizione l integrale definito di relativo all intervallo [,]: () =lim =lim se () 0 in [,] ()= se () cambia segno in [,] l'integrale non a una interpretazione geometrica.

32 Da ciò segue immediatamente ce: l integrale definito relativo ad una funzione () definita e continua in un intervallo [,] ciuso e limitato è un numero: positivo se 0 nell intervallo [,] reale ce può essere ance negativo o pari a zero se la funzione f cambia segno nel proprio intervallo di definizione.

33 Assegnata una funzione () definita e continua in un intervallo [,], se () 0 in [,] Integrale definito della funzione =() relativamente all intervallo [,] è l opposto della misura dell area della regione di piano delimitata dalle rette di equazione =,=, =0 e dalla curva =(). a b

34 In generale assegnata una funzione () definita e continua in un intervallo [,] allora l Integrale definito della funzione =(), relativamente all intervallo [,] è () =

35 dove è la misura dell area della regione del semipiano delle ordinate positive delimitata dalle rette di equazione =,=,=0 e dalla curva = (), la misura dell area della regione del semipiano delle ordinate negative delimitata dalle rette di equazione =,=,=0 e dalla curva =(). a b

36 Esempio sin =0 0 2

37 Se f è una funzione costante allora ()=>0 () =( )

38 In particolare, per ogni funzione definita e continua in [a,b] () =0 () = ()

39 Proprietà dell' integrale definito 1. additività dell'integrale rispetto all'intervallo di integrazione 2. linearità dell'integrale 3. monotonia rispetto alla funzione integranda

40 Additività dell'integrale rispetto all'intervallo di integrazione Sia () definita e continua in [,] e (,). Allora () = () + () Nel caso () 0 questa proprietà a un ciaro significato geometrico. = +

41 Linearità dell'integrale Siano e definite e continue in [,] e [()+()] () () = () = () = () + ()

42 Monotonia rispetto alla funzione integranda Siano e definite e continue in [,] e se () () () se () 0 () () 0, < in particolare si a () ()