Integrali. Primitive di una funzione di una variabile

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1 Integrali Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 1 Primitive di una funzione di una variabile Sia f() una funzione definita in un intervallo X R. Una primitivadi f()su Xè una qualunque funzione F : X R soddisfacente la condizione D(F()) = F' () = f() Es. la funzione f() = cos ha come primitiva la funzione F() = sen in quanto per ogni R si ha D(sen) = cos Se F è una primitiva di f, e c è una costante, anche la funzione F() + c è una primitiva di f. Es. la funzione f() = cos ha come primitive le funzioni F() = sen + c per ogni valore di c, in quanto si ha D(sen + c) = cos Teorema: ogni funzione continua e limitata in un intervallo X R è dotata di primitive. Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 2 1

2 Integrale indefinito L insieme di tutte le primitive di una funzione f() si chiama integrale indefinito di f() e si indica con il simbolo: Se F() è una primitiva di f(), allora l integrale indefinito di f() è: = + L integrale indefinito è determinato a meno di una costante additiva c arbitraria. Dal momento che ( )=, l operazione di integrazione indefinita si può considerare come l operazione inversa della derivazione. Es. ( )= + = Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 3 Se k è una costante: Proprietà integrali indefiniti = Se f e g sono due funzioni continue nell intervallo X R : +() =()+() Es. ( + +) = + += = Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 4 2

3 Integrali immediati = + ( ) + = += log + = = + = + = + =+ = + = + = + =+ = + + = + = + += + ± = + ± + Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 5 Integrali immediati generalizzati () ()= [()] + + ( ) () =() + () () ()= () log + () ()= () + = ()+ () =()+ () = + () = () + () () = ()+ () () + = () + () Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 6 3

4 Integrazione per decomposizione in somma In molti casi il calcolo dell integrale di una funzione si può ricondurre al calcolo di integrali noti o di tipo più semplice. Un metodo consiste nel decomporre la funzione da integrare nella somma di due o più funzioni. Es =2 = + = = + = = =1 2 (4+5) = = = = Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 7 Integrazione per parti - 1 Siano f e g due funzioni dotate di derivata continua in un intervallo I R. Allora si ha: = Es. considerando f()= e g'()=cos g() = sen = 1 = ++ Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 8 4

5 Integrazione per parti - 2 = Es. considerando f()=sen e g'()=e g() = e = (a) Per calcolare si applichi nuovamente l integrazione per parti con f()=cos e g'()=e g() = e = + (b) Sostituendo (b) in (a): = 2 = = Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 9 Integrazione per sostituzione Si sostituisce una parte della funzione integranda con una nuova variabile. Es. ponendo =, cioè = t 2, si ha d = d(t 2 ) = 2tdt =cos e sostituendo = =2 + 2 =2cos =2 + Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 10 5

6 Integrale definito - 1 Sia f() una funzione continua e non negativa nell intervallo [a,b]. Si voglia calcolare l area del rettangoloide (o trapezoide) di base [a,b], cioè l area della superficie delimitata superiormente dalla f(), lateralmente dalle due rette verticali =a e =b, e inferiormente dall asse delle. f() a b Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 11 Integrale definito - 2 Si divida l intervallo [a,b] in n intervalli parziali di ampiezza =. Si indichi con ξ i l ascissa di un punto interno all i-esimo intervallo. Si definisce somma integrale = S dipende dall ampiezza degli intervalli parziali. Se f() continua in [a,b], esiste ed è finito il limite per che tende a zero della S, che si definisce integrale definito della f() tra gli estremi a e b = f() S ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 ξ 6 Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 12 6

7 Segno dell integrale definito Il segno dell integrale definito dipende dal segno della funzione integranda =f() nell intervallo di integrazione [a,b]. Se =f() è sempre positiva in [a,b], allora l integrale definito è positivo. Se =f() è sempre negativa in [a,b], allora l integrale definito è negativo. Se =f() ha segno variabile in [a,b], allora l integrale definito è dato dalla somma di addendi positivi e addendi negativi. a + + f() - - b Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 13 Alcune proprietà dell integrale definito Se F() è una primitiva di f(), allora l integrale definito di f() tra gli estremi a e b è: = () Invertendo gli estremi l integrale cambia segno: = Proprietà additiva: + = Linearità: + = + 1 teorema della media: sia f() continua in [a,b] e siano m e M rispettivamente il minimo e il massimo assoluto di f() in [a,b]. Si ha: ( ) ( ) 2 teorema della media: sia f() continua in [a,b]. Esiste un punto c [a,b] tale che: () ( ) Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 14 7

8 2+3 = Esempio calcolo integrale definito =2 +3 = = =3+3=6 +3 = Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 15 Esempio calcolo integrale definito = = 2 0=1 0=1 =cos Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 16 8

9 Esempio calcolo integrale definito = =2 0=0 0=0 =cos Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 17 Integrale definito della distribuzione normale 1 2 () = 1 ; = ; = Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 18 9

10 Area regione di piano delimitata da due curve Si considerino due funzioni f 1 () e f 2 (); l area della regione di piano delimitata dalle due curve è data dalla differenza tra l area del trapezoide definito da f 1 () e l area del trapezoide definito da f 2 () : = = + f 1 () S a f 2 () b Paolo Montanari Appunti di Matematica Integrali 19 10