Equazioni differenziali lineari

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1 Sito Personale di Ettore Limoli Lezioni di Matematica Prof. Ettore Limoli Sommario Lezioni di Matematica... Equazioni differenziali lineari... Generalità... Equazione differenziale lineare omogenea del ordine... Esempio... Equazioni differenziali lineari non omogenee del ordine... Esempio... 4 Esempio... 5 Generalità Una espressione del tipo: Equazioni differenziali lineari [E ] a n () N + a n- () N- + + a () + a 0 () = f() dove è una funzione incognita che figura con le sue derivate fino all ordine N, si chiama equazione differenziale lineare dell n-esimo ordine. Se l equazione è del tipo: [E ] a n () N + a n- () N- + + a () + a 0 () = 0 allora l equazione differenziale lineare si dice omogenea. Se i coefficienti a i () sono costanti per ogni valore di i, l equazione si dirà a coefficienti costanti. Equazione differenziale lineare omogenea del ordine Un equazione differenziale lineare omogenea del ordine è del tipo: [E ] a () + a 0 () = 0. Si verifica subito che si tratta di un equazione differenziale a variabili separabili. Infatti si può scrivere:

2 a0( ) ' a Ed, essendo = d/, separando le variabili, si ha: d a0( ) a Si può quindi procedere passando all integrale di ambo i membri per ottenere. Pertanto l integrale generale sarà del tipo: [E 4] k e a0 a dove k è una qualsiasi costante arbitraria. Se è nota la condizione iniziale 0 = ( 0 ) imponendola alla [E 4] si determina il valore di k = k 0 che, sostituito nella [E 4] ci fornirà un integrale particolare della nostra equazione differenziale. Si ricorda che il numero di condizioni iniziali da dare è uguale all ordine dell equazione differenziale. Quindi, ad esempio, in un equazione differenziale del ordine si daranno due condizioni iniziali: 0 = ( 0 ), 0 = ( 0 ) ossia il valore che assume la funzione in 0 e il valore assunto dalla derivata prima. Esempio Si determini l integrale generale dell equazione differenziale: [E 5] = 0. Separando le variabili si ha: d Passando agli integrali d

3 da cui, integrando si ha: ln c ; Quindi, passando agli esponenziali: e c ; Ricordando le proprietà delle potenze (prodotto di potenze aventi la stessa base) e e c ; posto k = e c, si ha: [E 6] k e dove k è un qualsiasi numero reale (positivo, negativo o nullo). La famiglia di funzioni [E 6] rappresenta l integrale generale dell equazione differenziale [E 5]. Imponiamo, ad esempio, la condizione iniziale: (0) = Ossia, poniamo = 0 e = nell integrale generale [E 6] ; per cui: = k e 0 ; ossia k =. Sostituendo il valore di k trovato nell integrale generale [E 6], otteniamo l integrale particolare e della nostra equazione differenziale [E 5]. Equazioni differenziali lineari non omogenee del ordine Un equazione differenziale lineare non omogenea del ordine ha equazione del tipo: [E 7] a () + a 0 () = f() Si consideri l equazione omogenea associata che è data da:

4 [E] a () + a 0 () =0. Questa equazione, come abbiamo visto, ha integrale generale dato da: [E 4] k e a0 a Il metodo che utilizzeremo, che è noto come metodo di Lagrange o della variazioni delle costanti arbitrarie, consiste nel considerare l integrale generale dell omogenea associata come soluzione particolare di [E 7] in cui k non è una costante ma una variabile. Si impone che la [E 4] sia soluzione della [E 7] e si risolve l equazione differenziale ottenuta di incognita k. Sostituendo il k, così determinato, nella [E 4] si otterrà l integrale generale cercato. Illustriamo meglio il procedimento attraverso qualche esempio. Esempio Si voglia risolvere l equazione differenziale: [E 8] = L omogenea associata è data da = 0 Separando le variabili si ha: Integrando: d ln = ln + c Passando agli esponenziali: [E 9] = k dove si è posto k = e c. Supponiamo che k, anziché essere costante, sia una variabile e imponiamo che [E 9] sia soluzione dell equazione [E 8]. Poiché la derivata di [E 9] è: = k + k Sostituiamo nell equazione generale [E 8] (k + k) k = da cui si ottiene k = e quindi k = + c. Sostituendo il valore di k trovato nella [E 9] otteniamo: 4

5 [E 0] = ( + c) che è l integrale generale dell equazione completa [E 8]. L integrale generale [E 0] rappresenta, al variare di c, una famiglia di parabole, avente punto base l origine, rappresentate nella sottostante Figura. Figura Esempio Si voglia risolvere l equazione differenziale: [E ] cos + sen = ; con la condizione iniziale: [E ] () =. L equazione omogenea associata è: cos + sen = 0; da cui, separando le variabili, si ha: d sen cos Integrando ambo i membri, si ha: d sen cos ossia ln = ln cos + c 5

6 da cui, ponendo k = e c, si ha: [E ] = k cos Imponiamo che [E ] sia soluzione dell equazione completa [E ]. Essendo: = k cos k sen ; sostituendo nella equazione completa [E ], si ha: (k cos k sen ) cos + k sen cos = ; ossia cos k' e quindi k = tg + c. Sostituendo il valore di k trovato nella [E ], si ha l integrale generale della [E ]: = (tg + c) cos ossia [E 4] = sen + c cos Imponiamo, infine, nella [E 4] che sia soddisfatta la condizione iniziale [E ], otteniamo: = sen + c cos ; da cui, essendo sen = 0 e cos = -, si ha: c = -. Sostituendo il valore di c, così determinato, nell integrale generale [E 4], si ottiene l integrale particolare della [E ]: = sen cos. prof. Ettore Limoli 6