Analisi Matematica I

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1 Università degli Studi di Genova Facoltà di Ingegneria - Polo di Savona via Cadorna 7-7 Savona Tel Fax Analisi Matematica I Testi d esame e Prove parziali Analisi Matematica I - (Genova) - 6 ottobre pag. 2 Analisi Matematica I - (Genova) - corso C - a prova - 2 febbraio pag. 5 Analisi Matematica I - (Genova) - corso C - 2 a prova - 27 maggio pag. 8 Analisi Matematica I - (Genova) - 4 luglio pag. PlainTex - DviPdf.2 op - 6 Maggio 22 OP

2 2 Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA I - 6 ottobre h Si consideri la funzione u(x, y) = sin x sin y x y a) Disegnare il dominio di u. Deve essere sin x, sin y, x y ; per cui il dominio di u risulta D = (x, y) R 2 : 2kπ x π + 2kπ, 2kπ y π + 2kπ, k Z, x y } b) Calcolare, se esiste, lim x 2 u(x, 2). Risulta applicando ad esempio L Hopital lim u(x, 2) = lim x 2 x 2 sin x sin 2 x 2 cos x = lim x 2 2 sin x = cos 2 2 sin 2 = c) Calcolare, se esiste, u(2, ). da cui Si ha u(2, ) = (u x (2, ), u y (2, )) = u x (x, y) = (x y) cos x/(2 sin x) ( sin x sin y) (x y) 2 u y (x, y) = (x y) cos y/(2 sin y) + ( sin x sin y) (x y) 2 ( cos 2 2 sin 2 ( sin 2 sin ), cos 2 sin + ( sin 2 ) sin )

3 Analisi Matematica I 3 d) Scrivere, se esiste, l equazione del piano tangente al grafico di u in P = (2, ). Poiché il punto (2, ) appartiene all interno del dominio di u, dove la funzione è di classe C, (in quanto composta di funzioni di classe C ), il piano tangente esiste e la sua equazione è z = u(2, ) + u x (2, )(x 2) + u y (2, )(y ) = = ( sin 2 ( cos 2 sin ) + 2 sin 2 ( sin 2 ) ( cos sin ) (x 2) + 2 sin + ( sin 2 ) sin ) (y ) e) Tracciare il grafico di f(x) = u(x, ) in [ 3π, 3π]. Poiché f(x) = sin x x, f risulta definita per x [2kπ, π + 2kπ], k Z, x ; inoltre f(kπ) = k Z\}, lim x f(x) = +, segno f(x) = segno x. Osservato che f(x) / x e che le due funzioni si toccano per x = 2kπ + π/2, il grafico di f è ( Studio della derivata prima: si ha f x cos x 2 sin x (x) = 2x 2 sin x da cui f è crescente se x cos x 2 sin x e ciò si verifica nelle zone punteggiate del seguente grafico:)

4 4 Analisi Matematica I Sia f(x) = ex2 x f) Stabilire se f è prolungabile per continuità in. f risulta prolungabile per continuità in, essendo e x2 lim x x = poiché il numeratore è infinitesimo di ordine 2, mentre il denominatore è infinitesimo di ordine. g) Stabilire se l eventuale prolungamento g di f è derivabile in R. g è sicuramente derivabile per x, in quanto composta di funzioni derivabili. Per x = si ha lim h + g(h) g() h = lim h + e h 2 h h =, lim h g(h) g() h = lim h e h 2 h h = per cui g non è derivabile in. Si consideri ora il problema differenziale y (x) = g(x) y() = y () = h) Giustificare esistenza ed unicità di y e determinarne il dominio. La soluzione esiste ed è unica, definita su tutto R, in quanto si tratta di un problema di Cauchy, lineare del secondo ordine, a coefficienti costanti, con termine noto continuo su tutti i reali. i) Stabilire se la soluzione y C 3 (R). La soluzione non è di classe C 3 in quanto, se lo fosse, si avrebbe y (x) = g (x), e g non è derivabile in, come si è visto sopra. j) Determinare un polinomio p ed un δ > tali che p(x) approssimi y(x) a meno di 2 se x δ. Utilizzando la formula di Taylor di ordine zero, con il resto di Lagrange, si ottiene e x2 = + e c x 2, < c < x 2 e supponendo < c < x 2 < δ 2 < si ha e x2 g(x) = x = ec x e δ 2 δ 3δ x x y (x) = g(t)dt 3δdt 3δ x 3δ2 x x y(x) = y (t)dt 3δ 2 dt 3δ2 x 3δ 3 Il polinomio cercato può quindi essere p(x) = e δ = 3 3.

5 Analisi Matematica I 5 ANALISI MATEMATICA I - Corso C - Prima prova parziale - 2 Febbraio h Si consideri la successione definita da an+ = sin a n a = a) Stabilire se a n è monotona. Si ha < a n per ogni n; infatti, per induzione < a e se < a n si ha < a n+ = sin a n. Pertanto a n+ = sin a n < a n per cui la successione è decrescente. b) Determinare, se esistono, supa n }, infa n }, maxa n }, mina n }. Essendo a n decrescente e limitata esiste lim a n = α R e da a n+ = sin a n, passando al limite si ha Ne segue che α = sin α ovvero α =. maxa n } = supa n } = a =, infa n } = lim a n = mentre mina n } non esiste, essendo sempre a n >. c) Determinare, al variare di α R, l ordine di infinitesimo, per x di αe x cos(x 2 ) + α. Si ha αe x cos(x 2 ) + α = α(e x ) + ( cos(x 2 )) Ricordando le proprietà della somma di infinitesimi, osservato che e x è infinitesima di ordine, mentre cos(x 2 ) è infinitesima di ordine 4, si ha che la funzione richiesta è infinitesima: di ordine se α di ordine 4 se α = Si consideri la funzione d) Verificare che h è invertibile in [, + ). h(x) = 2e x x Essendo h derivabile e h (x) = 2e x > per ogni x, la funzione risulta strettamente crescente in [, + ) e quindi invertibile. e) Detta k la sua inversa, calcolare, se esistono, k(2) e k (2). Si ha k(2) = x se e solo se h(x) = 2e x x = 2 ovvero, in [, + ), con x = ; quindi k(2) =. Inoltre, dal teorema di derivazione della funzione inversa k (2) = h () =

6 6 Analisi Matematica I Sia f(x) = arctan x 2 2x + arctan(x2 2x) f) Determinare insieme di definizione, di continuità e di derivabilità di f. La funzione risulta definita per x 2 2x ovvero per x e x 2. In tale dominio f risulta continua e derivabile in quanto composta di funzioni continue e derivabili. g) Calcolare la derivata di f e disegnare il grafico di f. Si ha, per x e x 2 f (x) = ( + x 2 2x ) 2 (x 2 2x) 2 (2x 2) + + (x 2 (2x 2) = 2x) 2 per cui la funzione risulta costante nei tre intervalli che formano il dominio (, ), (, 2), (2, + ) Essendo f() = arctan( ) + arctan( ) = π 2 e lim x + f(x) = lim x f(x) = π 2 il grafico risulta h) Verificare, usando la definizione di limite, che Si tratta di verificare che x 5 + lim x + x 2 + = + ɛ > δ ɛ > : x > δ ɛ x5 + x 2 + > ɛ Poiché x + è lecito supporre x > ovvero x 2 > per cui x 5 + x 2 + x5 2x 2 = x3 2. Sarà quindi sufficiente scegliere x in modo che x3 2 > ɛ ovvero x > 3 2ɛ da cui, ricordando che x >, δ ɛ = max, 3 2ɛ}.

7 Analisi Matematica I 7 Data la funzione g : R R il cui grafico è i) Disegnare i grafici di g( x + ) e di g( x + ) Il primo grafico è ricavato mediante una traslazione a sinistra di (g(x+)) e quindi, scartando la parte di ascissa negativa, utilizzando una simmetria rispetto all asse y. Il secondo utilizzando prima la suddetta simmetria (g( x )) e quindi traslando a sinistra di. j) Disegnare i grafici di g (x) e di g(ln x). Dal grafico di g si deduce che, per x <, g è crescente, e quindi g (x) > ; mentre, per x >, g è decrescente, ovvero g (x) <. Inoltre g () = e lim x ± g(x) =. Per quel che riguarda il secondo grafico si ha intanto x > ; inoltre lim x g(ln x) = lim x g(x) mentre lim x + g(ln x) = lim x + g(x) ; essendo poi il logaritmo una funzione crescente la composta sarà crescente per ln x <, ovvero x < e e decrescente per x > e. Infine g(ln x) = se e solo se ln x = ovvero x =

8 8 Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA I - Corso C - Seconda prova parziale - 27 Maggio h Si consideri il problema di Cauchy y (x) = 6x 2 y(x) y(x ) = a) Stabilire per quali x R esiste un unica soluzione del problema dato. Si tratta di un problema a variabili separabili con f(x) = 6x 2 definita e continua su tutto R, e g(y) = y definita e di classe C per y > ; pertanto essendo y =, per il teorema di esistenza ed unicità, esiste una ed una sola soluzione del problema dato, per ogni x R. b) Se x = determinare, se esistono, le soluzioni del problema, precisandone il dominio. Separando le variabili, per y(x) >, si ottiene y (x) y(x) = 6x 2 ed integrando tra ed x ovvero x y (t) y(t) dt = x 2 y(x) 2 y() = 2x 3 da cui 6t 2 dt y(x) = + x 3 Elevando al quadrato i due membri, dopo aver osservato che + x 3 > cioè x >, si ottiene y(x) = ( + x 3 ) 2, x >. (Si noti che la soluzione è prolungabile, in modo unico, con y(x) = per x ). c) Disegnare il grafico delle soluzioni relative al punto b). ) Determinare un numero razionale che approssimi ln(.2) a meno di. Dalla formula di Taylor, con resto di Lagrange, si ha con c [, x]. Pertanto ln( + x) = x x2 2 + x3 xn ( )n+ 3 n + x n+ ( )n+2 (n + )( + c) n+ ln.2 =.2 (.2)2 2 + (.2) ( ) n+ (.2)n n + ( )n+2 (.2) n+ (n + )( + c) n+

9 Analisi Matematica I 9 con < c <.2. Poiché ( ) n+2 (.2) n+ (n + )( + c) n+ (.2) n+ n + sarà sufficiente scegliere n in modo che ovvero n = 3. Il valore razionale richiesto è quindi Data la funzione a) Determinarne il dominio, (.2) n+ n = = f(x) = 4 x x 3 + cos(t) (t 4) 3 t 5 dt La funzione integranda è definita e continua (e quindi integrabile) in (, ) (, 4) (4, + ). Inoltre lim 3 + cos(t) t (t 4) 3 t 5 = + di ordine 3 mentre lim 3 + cos(t) t 4 (t 4) 3 t 5 = + di ordine Pertanto l integranda risulta integrabile (anche in senso improprio) in (, 4) (4, + ). Dovrà allora essere x < 4 4 x < 4 ovvero < x < 4. oppure x > 4 4 x > 4 b) Stabilire l insieme di continuità e di derivabilità. Essendo gli estremi di integrazione due funzioni continue e derivabili, f risulta continua in tutto il suo dominio (perché l integranda è integrabile) e derivabile per x e 4 x essendo l integranda continua per t (per t = l integranda è infinita). Pertanto l insieme di continuità è (, 4) e l insieme di derivabilità è (, ) (, 3) (3, 4). c) Calcolare, se esiste f (x). Dal teorema fondamentale del calcolo integrale e dalla formula di derivazione delle funzioni composte si ha, se x (, ) (, 3) (3, 4) f 3 + cos(4 x) (x) = ( x) 3 (4 x) cos(x) (x 4) 3 x 5 Stabilire per quali h e k reali l insieme delle soluzioni del problema y (x) + ky (x) + y(x) = k 2 lim x + y(x) = h è uno spazio vettoriale. Affinché l insieme delle soluzioni dell equazione differenziale lineare sia uno spazio vettoriale è necessario e sufficiente che l equazione stessa sia omogenea, cioè che sia k = 2. E pure immediato verificare, utilizzando la stessa definizione di spazio vettoriale, che affinché sia soddisfatta pure la seconda condizione, deve essere h =. (Se lim x + y(x) = e lim x + z(x) =, anche lim x + y(x) + z(x) = e lim x + αy(x) = α R).

10 Analisi Matematica I Si considerino le funzioni ANALISI MATEMATICA I - 4 Luglio h h(x) = x 4 + 8x + k e g(x) = h(x) a) Stabilire per quali k R, la funzione h ha punti di massimo o di minimo globale. Si ha, per ogni k R, h : R R, continua, lim h(x) = + x ± per cui h non è limitata superiormente (e quindi non ammette massimo globale), mentre, per il teorema di Weierstrass generalizzato, ammette minimo assoluto, per ogni k R. b) Stabilire per quali k R, g ha primitive in R. g ha primitive in R se risulta continua in R (e solo se, essendo in caso contrario infinita), ovvero se e solo se h(x) = x 4 + 8x + k per ogni x R. Poiché come visto nel punto precedente h ha minimo assoluto, e tale valore è assunto nel punto x = 3 2 (ove si annulla h (x) = 4x 3 + 8) e si ha h( 3 2) = k 6 3 2, si conclude che g ha primitive in R se e solo se k > ovvero k > c) Stabilire per quali k R, g ha primitive in [, + ). Analogamente al punto precedente g ha primitive in [, + ) se e solo se risulta continua in tale intervallo ovvero se e solo se h(x) = x 4 + 8x + k per ogni x. Essendo h crescente per x 3 2, e quindi per x, g ha primitive in [, + ) se e solo se h( ) = k 7 > ovvero k > 7. d) Trovare esplicitamente tutte le primitive di g nel caso k =. Posto k = si ha g(x) = x 4 +8 x, che è definita e continua in (, 2) ( 2, ) (, + ). Utilizzando la decomposizione in fratti semplici si ha x 4 + 8x = a x + b x cx + d x 2 2x + 4 = (a + b + c)x3 + (2c 2b + d)x 2 + (4b + 2d)x + 8a x 4 + 8x da cui a + b + c = 2c 2b + d = 4b + 2d = 8a = che risolto fornisce a = 8, b = 24, c = 2, d = 2 ; pertanto x 4 + 8x = ( 3 24 x x + 2 2x 2 ) x 2 2x + 4. Una primitiva di g è quindi 24 ln x 3 (x + 2)(x 2 2x + 4) = 24 ln x 3 x 3 + 8

11 Analisi Matematica I Tutte le primitive di g in (, 2) ( 2, ) (, + ) sono pertanto 24 x3 24 ln 24 ln x3 x c, se x < 2 x c 2, se 2 < x < x3 ln x c 3, se x > Si consideri ora il problema y (x) = g(x) y() = y () = e) Stabilire per quali k R il problema ha soluzioni in tutto R, e quante. Il problema ha soluzioni in R se e solo se g ha primitive in R, poiché y è la primitiva di g che soddisfa y () = e di conseguenza y è la primitiva di x g(t)dt che soddisfa y() = cioè x ( s ) y(x) = g(t)dt ds Pertanto il problema dato ha una ed una sola soluzione per k > (vedi punto b) ). Si consideri l equazione differenziale dove α è un parametro reale e f(x) = y (x) + αy(x) = f(x) 6e x α, se x + 5 sin x, se x > a) Nel caso α =, trovarne tutte le soluzioni in (, ) ed in (, + ). Con α = l equazione omogenea y (x) + y(x) = ha soluzioni y(x) = c sin x + c 2 cos x, c, c 2 R Per x < una soluzione particolare va cercata del tipo Ae x + B e sostituendo nell equazione si ottiene A = 3, B =. Per x >, essendo ±i una soluzione del polinomio caratteristico, una soluzione particolare sarà del tipo C + x(d sin x + E cos x) e sostituendo si ottiene C =, D =, E = 5 2. Pertanto le soluzioni richieste sono, per c, c 2, c 3, c 4 R y(x) = c sin x + c 2 cos x + 3e x, se x < y(x) = c 3 sin x + c 4 cos x 5 2 x cos x +, se x > b) Nel caso α =, trovare le funzioni derivabili in tutto (, + ), che sono soluzioni in (, ) (, + ). Ricordando che, per essere derivabili, devono essere anche continue in, dovrà essere lim x y(x) = c = lim x + y(x) = c 4 +, lim x y (x) = c 3 = lim x + y (x) = c 3 5 2

12 2 Analisi Matematica I da cui, con c, c 2 R c sin x + c y(x) = 2 cos x + 3e x, se x < (c ) sin x + (c 2 8) cos x 5 2 x cos x +, se x > c) Nel caso α =, stabilire se esistono funzioni derivabili due volte in tutto (, + ), che sono soluzioni in (, ) (, + ). mentre Poiché y (x) = f(x) y(x), si ha, (dovendo essere y continua) lim y (x) = lim f(x) y(x) = 5 y() x x lim y (x) = lim f(x) y(x) = y() x + x + per cui, essendo tali limiti sempre diversi, y non può mai essere derivabile due volte in. d) Determinare per quali α R è applicabile il teorema di esistenza ed unicità al problema con dati iniziali y() =, y () = 4. Trattandosi di un problema di Cauchy lineare, per poter applicare il teorema di esistenza ed unicità si deve avere f continua in R. Poiché lim f(x) = 6 α e lim f(x) = x x + dovrà essere α = 4 e) Per i valori di α risultanti dal punto precedente, trovare esplicitamente la soluzione. Con α = 4 l omogenea associata diventa che ha soluzioni y 4y(x) = y(x) = c e 2x + c 2 e 2x mentre per le soluzioni particolari, in modo simile a quanto visto al punto a) si ha, per x <, y(x) = 2e x, e per x >, y(x) = 3 sin x 5 2. Pertanto le soluzioni dell equazione sono, con c, c 2, c 3, c 4 R y(x) = Imponendo le condizioni iniziali si ottiene c e 2x + c 2 e 2x 2e x, se x < c 3 e 2x + c 4 e 2x 3 sin x 5 2, se x > lim x y(x) = c + c 2 3 = lim x y (x) = 2c + 2c = 4 lim x + y(x) = c 3 + c = lim x + y (x) = 2c 3 + 2c 4 3 = 4 che risolto fornisce c = 3, c 2 =, c 3 = 3 2, c 4 = e quindi la soluzione è 3e y(x) = 2x 2e x, se x 3 2 e 2x + e 2x 3 sin x 5 2, se x >