Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

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1 libera e vincolata

2 Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata

3 Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di R 3, quindi ad ogni punto dello si associano 3 coordinate (x, y, z) dette ascissa, ordinata e quota. 3/ 92

4 Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di R 3, quindi ad ogni punto dello si associano 3 coordinate (x, y, z) dette ascissa, ordinata e quota. Dati due punti A = (a 1, a 2, a 3 ) e B = (b 1, b 2, b 3 ) la loro distanza è data da d(a, B) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) 2 3/ 92

5 Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di R 3, quindi ad ogni punto dello si associano 3 coordinate (x, y, z) dette ascissa, ordinata e quota. Dati due punti A = (a 1, a 2, a 3 ) e B = (b 1, b 2, b 3 ) la loro distanza è data da d(a, B) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) 2 Il punto medio di AB ha coordinate: ( a1 + b 1 M = 2, a 2 + b 2 2, a ) 3 + b 3 2 3/ 92

6 L equazione di un piano nello è della forma: ax + by + cz + d = 0

7 L equazione di un piano nello è della forma: ax + by + cz + d = 0 Se a = b = d = 0 si ha il piano xy (z = 0); se a = b = 0 si ha un piano parallelo al piano xy

8 L equazione di un piano nello è della forma: ax + by + cz + d = 0 Se a = b = d = 0 si ha il piano xy (z = 0); se a = b = 0 si ha un piano parallelo al piano xy Se b = c = d = 0 si ha il piano yz (x = 0); se b = c = 0 si ha un piano parallelo al piano yz

9 L equazione di un piano nello è della forma: ax + by + cz + d = 0 Se a = b = d = 0 si ha il piano xy (z = 0); se a = b = 0 si ha un piano parallelo al piano xy Se b = c = d = 0 si ha il piano yz (x = 0); se b = c = 0 si ha un piano parallelo al piano yz Se a = c = d = 0 si ha il piano xz (y = 0); se a = c = 0 si ha un piano parallelo al piano xz

10 Una retta nello può essere rappresentata come intersezione di due piani non paralleli, quindi algebricamente, da un sistema di 2 equazioni lineari. r : (o con equazioni equivalenti) { a1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

11 Una retta nello può essere rappresentata come intersezione di due piani non paralleli, quindi algebricamente, da un sistema di 2 equazioni lineari. r : (o con equazioni equivalenti) { a1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 z x y

12 L asse x ha equazioni y = z = 0; l asse y ha equazioni x = z = 0; l asse z ha equazioni x = y = 0.

13 Dato il piano π di equazione π : ax + by + cz + d = 0 il vettore: #» n = (a, b, c) è ortogonale a π (vettore normale al piano).

14 Dato il piano π di equazione π : ax + by + cz + d = 0 il vettore: #» n = (a, b, c) è ortogonale a π (vettore normale al piano). z x y

15 Nello il luogo dei punti equidistanti da un punto dato (centro) si dice sfera. La distanza dei punti della sfera dal centro si dice raggio della sfera. L equazione di una sfera di centro P = (x 0, y 0, z 0 ) e raggio R è: ( ) ( ) ( ) 2 x x y y z z 0 = R 2 z y x

16 Definizione Si chiama R 2 l insieme delle coppie ordinate di numeri reali, ovvero il prodotto cartesiano R R. 9/ 92

17 Definizione Si chiama R 2 l insieme delle coppie ordinate di numeri reali, ovvero il prodotto cartesiano R R. R 2 è in corrispondenza biunivoca con i punti dell ordinario piano euclideo. 9/ 92

18 Definizione Si chiama R 2 l insieme delle coppie ordinate di numeri reali, ovvero il prodotto cartesiano R R. R 2 è in corrispondenza biunivoca con i punti dell ordinario piano euclideo. Generalizzazione: il prodotto cartesiano R 3 = R R R = {(x, y, z) : x, y, z R} cioè l insieme delle terne ordinate di numeri reali è in corrispondenza biunivoca con i punti dello ordinario. 9/ 92

19 Definizione Si chiama R 2 l insieme delle coppie ordinate di numeri reali, ovvero il prodotto cartesiano R R. R 2 è in corrispondenza biunivoca con i punti dell ordinario piano euclideo. Generalizzazione: il prodotto cartesiano R 3 = R R R = {(x, y, z) : x, y, z R} cioè l insieme delle terne ordinate di numeri reali è in corrispondenza biunivoca con i punti dello ordinario. Definizione Spazio reale n-dimensionale è l insieme R n = R... R. n volte 9/ 92

20 Distanza euclidea Definizione Distanza euclidea o distanza tra due punti P 1 (x 1, x 2,..., x n ) e P 2 (y 1, y 2,..., y n ) di R n è d(p 1, P 2 ) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2. 10/ 92

21 Distanza euclidea Definizione Distanza euclidea o distanza tra due punti P 1 (x 1, x 2,..., x n ) e P 2 (y 1, y 2,..., y n ) di R n è d(p 1, P 2 ) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2. Per n = 2 si ha la solita distanza nel piano. 10/ 92

22 Distanza euclidea Definizione Distanza euclidea o distanza tra due punti P 1 (x 1, x 2,..., x n ) e P 2 (y 1, y 2,..., y n ) di R n è d(p 1, P 2 ) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2. Per n = 2 si ha la solita distanza nel piano. 10/ 92

23 Definizione Una funzione reale di due variabili reali è una corrispondenza tra un sottoinsieme D di R 2 (dominio della funzione o insieme di definizione della funzione) e l insieme dei numeri reali, cioè è una legge f che associa a ogni punto P(x, y) D (ovvero a ogni coppia di numeri reali, cioè a ogni vettore #» x = (x, y) D) un numero reale indicato con f (x, y) o f ( #» x ), #» x R 2. Generalità. Limiti e continuità 11/ 92

24 Definizione Una funzione reale di due variabili reali è una corrispondenza tra un sottoinsieme D di R 2 (dominio della funzione o insieme di definizione della funzione) e l insieme dei numeri reali, cioè è una legge f che associa a ogni punto P(x, y) D (ovvero a ogni coppia di numeri reali, cioè a ogni vettore #» x = (x, y) D) un numero reale indicato con f (x, y) o f ( #» x ), #» x R 2. Una funzione reale di n variabili reali è una corrispondenza tra un sottoinsieme D di R n (dominio della funzione o insieme di definizione della funzione) e l insieme dei numeri reali, cioè è una legge f che associa a ogni punto P(x 1, x 2,..., x n ) D (ovvero a ogni n-pla di numeri reali, cioè a ogni vettore #» x = (x 1, x 2,..., x n ) D) un numero reale indicato con f (x 1, x 2,..., x n ) o f ( #» x ), #» x R n. Generalità. Limiti e continuità 11/ 92

25 Definizione f : D R 2 R: f si dirà limitata superiormente se f (D) è un sottoinsieme limitato superiormente di R, cioè se: M R : f (P) M P D Generalità. Limiti e continuità

26 Definizione f : D R 2 R: f si dirà limitata superiormente se f (D) è un sottoinsieme limitato superiormente di R, cioè se: M R : f (P) M P D f si dirà limitata inferiormente se f (D) è un sottoinsieme limitato inferiormente di R, cioè se: m R f (P) m P D Generalità. Limiti e continuità

27 Definizione f : D R 2 R: f si dirà limitata superiormente se f (D) è un sottoinsieme limitato superiormente di R, cioè se: M R : f (P) M P D f si dirà limitata inferiormente se f (D) è un sottoinsieme limitato inferiormente di R, cioè se: m R f (P) m P D Generalità. Limiti e continuità f si dirà limitata se f (D) è un sottoinsieme limitato di R, cioè se: k R f (P) k P D

28 Definizione La funzione f : D R 2 R ammette minimo in D se esiste un punto P 0 tale che f (P 0 ) f (P) P D Generalità. Limiti e continuità

29 Definizione La funzione f : D R 2 R ammette minimo in D se esiste un punto P 0 tale che f (P 0 ) f (P) P D La funzione f : D R 2 R ammette massimo in D se esiste un punto P 1 tale che f (P 1 ) f (P) P D Generalità. Limiti e continuità

30 Definizione La funzione f : D R 2 R ammette minimo in D se esiste un punto P 0 tale che f (P 0 ) f (P) P D La funzione f : D R 2 R ammette massimo in D se esiste un punto P 1 tale che f (P 1 ) f (P) P D Generalità. Limiti e continuità

31 Definizione La funzione f : D R 2 R ammette minimo in D se esiste un punto P 0 tale che f (P 0 ) f (P) P D La funzione f : D R 2 R ammette massimo in D se esiste un punto P 1 tale che f (P 1 ) f (P) P D Generalità. Limiti e continuità Il punto P 0 si dirà punto di minimo, il punto P 1 si dirà punto di massimo.

32 Grafico di una funzione di 2 variabili È impossibile rappresentare geometricamente funzioni di più di 2 variabili, mentre il grafico di una funzione di 2 variabili è una porzione di superficie la cui proiezione sul piano xy è l insieme di definizione di f. Ogni retta perpendicolare al piano xy incontra al più in un punto il grafico di una funzione di 2 Generalità. Limiti e continuità

33 z Generalità. Limiti e continuità x y f(x, y) = sen x cos y

34 z Generalità. Limiti e continuità x y f(x, y) = sen x 2 + y 2 + 1

35 z Generalità. Limiti e continuità x f(x, y) = x 2 + y y

36 Curve di livello Oltre alla rappresentazione nello tridimensionale si usa la rappresentazione mediante curve di livello. Definizione Curva di livello della funzione z = f (x, y) è la curva del piano xy di equazione f (x, y) = c, corrispondente alla proiezione ortogonale sul piano xy dei punti della sezione della superficie di equazione z = f (x, y) con il piano di equazione z = c. Generalità. Limiti e continuità

37 Curve di livello Oltre alla rappresentazione nello tridimensionale si usa la rappresentazione mediante curve di livello. Definizione Curva di livello della funzione z = f (x, y) è la curva del piano xy di equazione f (x, y) = c, corrispondente alla proiezione ortogonale sul piano xy dei punti della sezione della superficie di equazione z = f (x, y) con il piano di equazione z = c. Quindi la curva di livello è la proiezione sul piano xy dei punti della superficie di equazione z = f (x, y) aventi lo stesso valore z. Generalità. Limiti e continuità

38 Curve di livello Oltre alla rappresentazione nello tridimensionale si usa la rappresentazione mediante curve di livello. Definizione Curva di livello della funzione z = f (x, y) è la curva del piano xy di equazione f (x, y) = c, corrispondente alla proiezione ortogonale sul piano xy dei punti della sezione della superficie di equazione z = f (x, y) con il piano di equazione z = c. Quindi la curva di livello è la proiezione sul piano xy dei punti della superficie di equazione z = f (x, y) aventi lo stesso valore z. Le curve di livello della funzione f (x, y) = 1 x 2 y 2 sono circonferenze di raggio 1 c 2 con 0 c 1. Generalità. Limiti e continuità

39 Curve di livello di una funzione rappresentate sulla superficie plot3d and contour Z Generalità. Limiti e continuità Y X

40 Curve di livello di una funzione rappresentate sul piano xy plot3d and contour Z Generalità. Limiti e continuità Y X

41 Consideriamo un altro esempio, la funzione f (x, y) = 2(x 2 + y 2 )e ( x 2 y 2 ) : 2*(x**2+y**2)*exp(-x**2-y**2) Generalità. Limiti e continuità

42 La seguente figura mostra le curve di livello di f (x, y) = 2(x 2 + y 2 )e ( x 2 y 2 ) rappresentate sulla superficie: 2*(x**2 + y**2)*exp(-x**2 - y**2) Generalità. Limiti e continuità

43 La seguente figura mostra le curve di livello di f (x, y) = 2(x 2 + y 2 )e ( x 2 y 2 ) rappresentate sul piano xy: 2*(x**2 + y**2)*exp(-x**2 - y**2) Generalità. Limiti e continuità

44 La seguente figura mostra le curve di livello di f (x, y) = 2(x 2 + y 2 )e ( x 2 y 2 ) rappresentate sia sulla superficie che sul piano xy: *(x**2 + y**2)*exp(-x**2 - y**2) Generalità. Limiti e continuità

45 Limiti e continuità La definizione di limite per una funzione di 2 variabili si ottiene dalla definizione generale Definizione f : D R 2 R, P 0 (x 0, y 0 ) punto di accumulazione per D. Il limite di f per P che tende a P 0 è l R e si scrive lim f (x, y) = l P P 0 se per ogni intorno U di l esiste un intorno V di P 0 tale che per ogni P V, P P 0 si abbia f (x, y) U. Generalità. Limiti e continuità 25/ 92

46 Limiti e continuità La definizione di limite per una funzione di 2 variabili si ottiene dalla definizione generale Definizione f : D R 2 R, P 0 (x 0, y 0 ) punto di accumulazione per D. Il limite di f per P che tende a P 0 è l R e si scrive lim f (x, y) = l P P 0 se per ogni intorno U di l esiste un intorno V di P 0 tale che per ogni P V, P P 0 si abbia f (x, y) U. In generale, [ ] [ ] lim f (x, y) lim lim f (x, y) lim lim f (x, y) P P 0 x x0 y y 0 y y 0 x x 0 Generalità. Limiti e continuità 25/ 92

47 Esempio lim P O xy x 2 + y 2 non esiste Generalità. Limiti e continuità

48 Esempio lim P O xy x 2 + y 2 non esiste Avviciniamoci all origine seguendo la retta di equazione y = mx: lungo tale retta la funzione diventa mx 2 f (x, mx) = (1 + m 2 )x 2 = m 1 + m funzione è costante e lim f (x, mx) = m P O : quindi lungo la retta la m 2. Generalità. Limiti e continuità

49 Esempio lim P O xy x 2 + y 2 non esiste Avviciniamoci all origine seguendo la retta di equazione y = mx: lungo tale retta la funzione diventa mx 2 f (x, mx) = (1 + m 2 )x 2 = m 1 + m funzione è costante e lim P O f (x, mx) = m : quindi lungo la retta la m 2. Ma al variare della retta (cioè di m) varia anche il valore del limite, cioè il limite non esiste. Si osservi che lim x 0 [ ] [ ] lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = 0 y 0 y 0 x 0 Generalità. Limiti e continuità

50 Osservazione Continuano a valere anche per le funzioni di due variabili i teoremi sui limiti visti per le funzioni di una variabile e, in particolare, i teoremi di unicità del limite, di permanenza del segno e i teoremi sulle operazioni con i limiti. Generalità. Limiti e continuità

51 Definizione Una funzione f : D R 2 R si dice continua in P 0 D se lim f (P) = f (P 0 ) P P 0 Generalità. Limiti e continuità

52 Definizione Una funzione f : D R 2 R si dice continua in P 0 D se lim f (P) = f (P 0 ) P P 0 Se f è continua in ogni punto di D si dirà continua in D. Generalità. Limiti e continuità

53 Definizione Una funzione f : D R 2 R si dice continua in P 0 D se lim f (P) = f (P 0 ) P P 0 Se f è continua in ogni punto di D si dirà continua in D. Vale il Teorema di Weierstrass: Una funzione f (x, y) continua in un insieme compatto (cioè chiuso e limitato) D possiede in tale insieme massimo e minimo. Generalità. Limiti e continuità

54 Definizione Una funzione f : D R 2 R si dice continua in P 0 D se lim f (P) = f (P 0 ) P P 0 Se f è continua in ogni punto di D si dirà continua in D. Vale il Teorema di Weierstrass: Una funzione f (x, y) continua in un insieme compatto (cioè chiuso e limitato) D possiede in tale insieme massimo e minimo. Generalità. Limiti e continuità

55 Derivate Definizione f : D R 2 R definita in un intorno del punto P 0 D. Diremo derivata direzionale di f nel punto P 0 nella direzione #» e il limite: f (P 0 + t #» e ) f (P 0 ) lim t 0 t se esiste finito. La derivata direzionale di f in P 0 nella direzione #» e si indicherà con D #» e f (P 0 ). Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor 29/ 92

56 Derivate Definizione f : D R 2 R definita in un intorno del punto P 0 D. Diremo derivata direzionale di f nel punto P 0 nella direzione #» e il limite: f (P 0 + t #» e ) f (P 0 ) lim t 0 t se esiste finito. La derivata direzionale di f in P 0 nella direzione #» e si indicherà con D #» e f (P 0 ). Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Osservazione La derivata direzionale misura il tasso di variazione di f (x, y) quando ci si muove da P 0 seguendo il vettore #» e. 29/ 92

57 Se la direzione del vettore è quella di un asse coordinato la derivata direzionale prende il nome di derivata parziale. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

58 Se la direzione del vettore è quella di un asse coordinato la derivata direzionale prende il nome di derivata parziale. Definizione f : D R 2 R definita in un intorno del punto P 0 = (x 0, y 0 ) D. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

59 Se la direzione del vettore è quella di un asse coordinato la derivata direzionale prende il nome di derivata parziale. Definizione f : D R 2 R definita in un intorno del punto P 0 = (x 0, y 0 ) D. Se la funzione (della sola variabile x) f (x, y 0 ) è derivabile in x 0, si dice che la funzione f (x, y) ammette derivata parziale rispetto a x nel punto (x 0, y 0 ). Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

60 Se la direzione del vettore è quella di un asse coordinato la derivata direzionale prende il nome di derivata parziale. Definizione f : D R 2 R definita in un intorno del punto P 0 = (x 0, y 0 ) D. Se la funzione (della sola variabile x) f (x, y 0 ) è derivabile in x 0, si dice che la funzione f (x, y) ammette derivata parziale rispetto a x nel punto (x 0, y 0 ). Se la funzione (della sola variabile y) f (x 0, y) è derivabile in y 0, si dice che la funzione f (x, y) ammette derivata parziale rispetto a y nel punto (x 0, y 0 ). Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

61 Se la direzione del vettore è quella di un asse coordinato la derivata direzionale prende il nome di derivata parziale. Definizione f : D R 2 R definita in un intorno del punto P 0 = (x 0, y 0 ) D. Se la funzione (della sola variabile x) f (x, y 0 ) è derivabile in x 0, si dice che la funzione f (x, y) ammette derivata parziale rispetto a x nel punto (x 0, y 0 ). Se la funzione (della sola variabile y) f (x 0, y) è derivabile in y 0, si dice che la funzione f (x, y) ammette derivata parziale rispetto a y nel punto (x 0, y 0 ). Le derivate parziali sono date dai seguenti limiti (se esistono finiti): Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor lim Δx 0 f (x + Δx, y 0 ) f (x 0, y 0 ) f (x 0, y + Δy) f (x 0, y 0 ) ; lim Δx Δy 0 Δy

62 Le derivate parziali sono indicate con uno dei seguenti simboli: f x(x 0, y 0 ); D x f (x 0, y 0 ); f y(x 0, y 0 ); D y f (x 0, y 0 ); f x (x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

63 Le derivate parziali sono indicate con uno dei seguenti simboli: f x(x 0, y 0 ); D x f (x 0, y 0 ); f y(x 0, y 0 ); D y f (x 0, y 0 ); f x (x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) Definizione Il vettore che ha per componenti le derivate parziali di f si dice gradiente di f calcolato in (x 0, y 0 ) e si indica con uno dei simboli: Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor f (x 0, y 0 ); Df (x 0, y 0 ); gradf (x 0, y 0 )

64 Per poter calcolare le derivate parziali di f in un punto (x 0, y 0 ) è necessario che anche i punti (x 0 + Δx, y 0 ) e (x 0, y 0 + Δy) appartengano al dominio di f : supporremo quindi che (x 0, y 0 ) sia interno a D. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

65 Per poter calcolare le derivate parziali di f in un punto (x 0, y 0 ) è necessario che anche i punti (x 0 + Δx, y 0 ) e (x 0, y 0 + Δy) appartengano al dominio di f : supporremo quindi che (x 0, y 0 ) sia interno a D. Una funzione è derivabile in un punto se in tale punto ammette tutte le derivate parziali. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

66 Per poter calcolare le derivate parziali di f in un punto (x 0, y 0 ) è necessario che anche i punti (x 0 + Δx, y 0 ) e (x 0, y 0 + Δy) appartengano al dominio di f : supporremo quindi che (x 0, y 0 ) sia interno a D. Una funzione è derivabile in un punto se in tale punto ammette tutte le derivate parziali. Per le funzioni di 2 o più variabili i concetti di derivabilità e continuità non sono legati, cioè esistono funzioni discontinue che sono derivabili. In particolare la derivabilità di una funzione non implica l esistenza del piano tangente (l analogo della retta tangente per le funzioni di una variabile). Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

67 Osservazione La retta tangente al grafico di una funzione di una variabile è la migliore approssimazione lineare del grafico della funzione, cioè la differenza tra l incremento della funzione passando al punto x 0 al punto x 0 + Δx e l incremento calcolato sulla retta tangente (nel punto (x 0, f (x 0 ))) è un infinitesimo di ordine superiore a 1 rispetto all infinitesimo Δx: Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor 33/ 92

68 Osservazione La retta tangente al grafico di una funzione di una variabile è la migliore approssimazione lineare del grafico della funzione, cioè la differenza tra l incremento della funzione passando al punto x 0 al punto x 0 + Δx e l incremento calcolato sulla retta tangente (nel punto (x 0, f (x 0 ))) è un infinitesimo di ordine superiore a 1 rispetto all infinitesimo Δx: Nello si ha: Definizione Se f è derivabile con derivate continue in (x 0, y 0 ), il piano di equazione: z f (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor si dirà piano tangente al grafico di z = f (x, y) nel punto (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )). Il piano tangente al grafico di una funzione di due variabile è la migliore approssimazione lineare del grafico della funzione. 33/ 92

69 f (x, y) derivabile in un insieme aperto D: le derivate parziali sono funzioni di due variabili che possono essere derivabili in D. Derivando le derivate parziali si ottengono le derivate parziali seconde. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor 34/ 92

70 Definizione Le derivate di f, se esistono, si indicano con x 2 f x 2 = ( ) f x x 2 f y x = ( ) f y x Le derivate di f y si indicano con 2 f x y = ( ) f x y 2 f y 2 = ( ) f y y

71 Definizione Le derivate di f, se esistono, si indicano con x 2 f x 2 = ( ) f x x 2 f y x = ( ) f y x Le derivate di f y si indicano con 2 f x y = ( ) f x y 2 f y 2 = ( ) f y y Queste funzioni si dicono derivate parziali seconde di f e sono indicate anche: f xx D 2 xxf f xy D 2 xyf ecc.

72 Definizione Le derivate di f, se esistono, si indicano con x 2 f x 2 = ( ) f x x 2 f y x = ( ) f y x Le derivate di f y si indicano con 2 f x y = ( ) f x y 2 f y 2 = ( ) f y y Queste funzioni si dicono derivate parziali seconde di f e sono indicate anche: f xx D 2 xxf f xy D 2 xyf ecc. Le derivate f xx e f yy si dicono derivate seconde pure, le altre derivate seconde miste.

73 Esempio f (x, y) = e x (y 2 xy + x) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

74 Esempio Si ha: f (x, y) = e x (y 2 xy + x) f x = ex ( y y 2 xy + x) f y = ex (2y x) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

75 Esempio Si ha: f (x, y) = e x (y 2 xy + x) f x = ex ( y y 2 xy + x) 2 f x 2 = ex ( 2y +2+y 2 xy +x) 2 f x y = ex (2y x 1) f y = ex (2y x) 2 f y x = ex ( 1+2y x) 2 f y 2 = 2ex Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

76 Esempio Si ha: f (x, y) = e x (y 2 xy + x) f x = ex ( y y 2 xy + x) 2 f x 2 = ex ( 2y +2+y 2 xy +x) 2 f x y = ex (2y x 1) f y = ex (2y x) 2 f y x = ex ( 1+2y x) 2 f y 2 = 2ex Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Le due derivate miste sono uguali.

77 Teorema (di Schwarz) f : D R 2 R derivabile due volte nell aperto D. Se le derivate seconde miste sono continue nel punto (x 0, y 0 ) D esse sono uguali in tale punto. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

78 Teorema (di Schwarz) f : D R 2 R derivabile due volte nell aperto D. Se le derivate seconde miste sono continue nel punto (x 0, y 0 ) D esse sono uguali in tale punto. Quindi nelle ipotesi del Teorema di Schwarz una funzione di 2 variabili ha tre derivate seconde. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

79 Si possono definire le derivate terze di una funzione e anche per le derivate terze miste (se sono continue) varrà il Teorema di Schwarz e quindi, sotto tali ipotesi, avremo le quattro derivate: 3 f x 3 ; 3 f x 2 y ; 3 f x y 2 ; e così via per le derivate di ordine superiore. 3 f y 3 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

80 Si possono definire le derivate terze di una funzione e anche per le derivate terze miste (se sono continue) varrà il Teorema di Schwarz e quindi, sotto tali ipotesi, avremo le quattro derivate: 3 f x 3 ; 3 f x 2 y ; 3 f x y 2 ; 3 f y 3 e così via per le derivate di ordine superiore. Analogo discorso vale per le funzioni di n variabili: ad esempio si avrà, per una funzione di 3 variabili: 5 f x y 2 z 2 = 5 f y z x z y. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

81 Dall equazione del piano tangente si ha f (x 0 + Δx, y 0 + Δy) =f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )Δx + f y (x 0, y 0 )Δy ) ( (Δx) 2 + (Δy) 2 per (Δx, Δy) (0, 0) + o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor 39/ 92

82 Dall equazione del piano tangente si ha f (x 0 + Δx, y 0 + Δy) =f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )Δx + f y (x 0, y 0 )Δy ) ( (Δx) 2 + (Δy) 2 + o per (Δx, Δy) (0, 0) cioè approssimo f (x, y) con un polinomio di primo grado. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor 39/ 92

83 Dall equazione del piano tangente si ha f (x 0 + Δx, y 0 + Δy) =f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )Δx + f y (x 0, y 0 )Δy ) ( (Δx) 2 + (Δy) 2 + o per (Δx, Δy) (0, 0) cioè approssimo f (x, y) con un polinomio di primo grado. Se la funzione è più regolare (ad esempio è derivabile 2 volte con derivate seconde continue) è possibile fornire un approssimazione di tipo polinomiale migliore. Teorema (Sviluppo di Taylor con resto di Peano) f : D R 2 R, D aperto, derivabile 2 volte con derivate seconde continue in un intorno del punto (x 0, y 0 ) D Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor f (x 0 + Δx, y 0 + Δy) = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )Δx + f y (x 0, y 0 )Δy+ + 1 [ 2 ] f 2 x 2 (x 0, y 0 ) (Δx) f x y (x 0, y 0 )ΔxΔy + 2 f y 2 (x 0, y 0 ) (Δy) 2 ( ) 39/ 92

84 Osservazione L espressione precedente può essere anche scritta: f (P 0 + ΔP) = f (P 0 ) + f (P 0 ), ΔP ΔP Hf (P 0)ΔP t + o( ΔP 2 ) dove ΔP = (Δx, Δy) è il vettore dell incremento infinitesimo e Hf (x 0, y 0 ) è la matrice (simmetrica per il Teorema di Schwarz): Hf (x 0, y 0 ) = 2 f x 2 (x 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) 2 f y 2 (x 0, y 0 ) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor per

85 Definizione La matrice Hf (x 0, y 0 ) = 2 f x 2 (x 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) 2 f y 2 (x 0, y 0 ) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor si chiama matrice hessiana di f in (x 0, y 0 ).

86 La funzione di secondo grado in Δx, Δy q (Δx, Δy) = = 2 f x 2 (x 0, y 0 ) (Δx) f x y (x 0, y 0 )ΔxΔy + 2 f si dice forma quadratica hessiana y 2 (x 0, y 0 ) (Δy) 2 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

87 Segno di una forma quadratica Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 si dice con a, b, c non tutti nulli definita positiva se q(u, v) > 0 per (u, v) (0, 0) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Analogo in R n

88 Segno di una forma quadratica Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 si dice con a, b, c non tutti nulli definita positiva se q(u, v) > 0 per (u, v) (0, 0) definita negativa se q(u, v) < 0 per (u, v) (0, 0) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Analogo in R n

89 Segno di una forma quadratica Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 si dice con a, b, c non tutti nulli definita positiva se q(u, v) > 0 per (u, v) (0, 0) definita negativa se q(u, v) < 0 per (u, v) (0, 0) semidefinita positiva se q(u, v) 0 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Analogo in R n

90 Segno di una forma quadratica Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 si dice con a, b, c non tutti nulli definita positiva se q(u, v) > 0 per (u, v) (0, 0) definita negativa se q(u, v) < 0 per (u, v) (0, 0) semidefinita positiva se q(u, v) 0 semidefinita negativa se q(u, v) 0 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Analogo in R n

91 Segno di una forma quadratica Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 si dice con a, b, c non tutti nulli definita positiva se q(u, v) > 0 per (u, v) (0, 0) definita negativa se q(u, v) < 0 per (u, v) (0, 0) semidefinita positiva se q(u, v) 0 semidefinita negativa se q(u, v) 0 indefinita se q(u, v) assume sia valori positivi che negativi Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Analogo in R n

92 Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 è definita positiva se e solo se a > 0 e ab c 2 > 0 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

93 Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 è definita positiva se e solo se a > 0 e ab c 2 > 0 definita negativa se e solo se a < 0 e ab c 2 > 0 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

94 Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 è definita positiva se e solo se a > 0 e ab c 2 > 0 definita negativa se e solo se a < 0 e ab c 2 > 0 semidefinita se e solo se ab c 2 = 0 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

95 Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 è definita positiva se e solo se a > 0 e ab c 2 > 0 definita negativa se e solo se a < 0 e ab c 2 > 0 semidefinita se e solo se ab c 2 = 0 indefinita se e solo se ab c 2 < 0 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

96 Per una funzione di n variabili x 1, x 2,..., x n la matrice hessiana sarà: 2 f x 2 (P 0 ) 1 2 f (P 0 ) x 2 x 1. 2 f (P 0 ) x n x 1 2 f 2 f (P 0 )... (P 0 ) x 1 x 2 x 1 x n 2 f 2 f x2 2 (P 0 )... (P 0 ) x 2 x n f 2 f (P 0 )... x n x 2 xn 2 (P 0 ) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

97 = ricerca del massimo o del minimo di una funzione (o di entrambi) libera vincolata 46/ 92

98 = ricerca del massimo o del minimo di una funzione (o di entrambi) Massimo profitto, minimo rischio, massima utilità, ecc. libera vincolata 46/ 92

99 = ricerca del massimo o del minimo di una funzione (o di entrambi) Massimo profitto, minimo rischio, massima utilità, ecc. 1. Estremi all interno di un insieme aperto D (ricerca di estremi liberi). libera vincolata 46/ 92

100 = ricerca del massimo o del minimo di una funzione (o di entrambi) Massimo profitto, minimo rischio, massima utilità, ecc. 1. Estremi all interno di un insieme aperto D (ricerca di estremi liberi). 2. Estremi su un sottoinsieme (non aperto) dell insieme di definizione definito spesso da un sistema di equazioni della forma g i (x 1,..., x n ) = 0 con i = 1,..., m, m < n. libera vincolata 46/ 92

101 = ricerca del massimo o del minimo di una funzione (o di entrambi) Massimo profitto, minimo rischio, massima utilità, ecc. 1. Estremi all interno di un insieme aperto D (ricerca di estremi liberi). 2. Estremi su un sottoinsieme (non aperto) dell insieme di definizione definito spesso da un sistema di equazioni della forma g i (x 1,..., x n ) = 0 con i = 1,..., m, m < n. libera vincolata 46/ 92

102 = ricerca del massimo o del minimo di una funzione (o di entrambi) Massimo profitto, minimo rischio, massima utilità, ecc. 1. Estremi all interno di un insieme aperto D (ricerca di estremi liberi). 2. Estremi su un sottoinsieme (non aperto) dell insieme di definizione definito spesso da un sistema di equazioni della forma g i (x 1,..., x n ) = 0 con i = 1,..., m, m < n. In dimensione 2 si possono cercare massimi e minimi quando le variabili x, y soddisfano l equazione di una curva libera vincolata 46/ 92

103 = ricerca del massimo o del minimo di una funzione (o di entrambi) Massimo profitto, minimo rischio, massima utilità, ecc. 1. Estremi all interno di un insieme aperto D (ricerca di estremi liberi). 2. Estremi su un sottoinsieme (non aperto) dell insieme di definizione definito spesso da un sistema di equazioni della forma g i (x 1,..., x n ) = 0 con i = 1,..., m, m < n. In dimensione 2 si possono cercare massimi e minimi quando le variabili x, y soddisfano l equazione di una curva oppure su un chiuso (aperto + frontiera). libera vincolata 46/ 92

104 = ricerca del massimo o del minimo di una funzione (o di entrambi) Massimo profitto, minimo rischio, massima utilità, ecc. 1. Estremi all interno di un insieme aperto D (ricerca di estremi liberi). 2. Estremi su un sottoinsieme (non aperto) dell insieme di definizione definito spesso da un sistema di equazioni della forma g i (x 1,..., x n ) = 0 con i = 1,..., m, m < n. In dimensione 2 si possono cercare massimi e minimi quando le variabili x, y soddisfano l equazione di una curva oppure su un chiuso (aperto + frontiera). Nel primo caso si parlerà di ottimizzazione libera, nel secondo di ottimizzazione vincolata. libera vincolata 46/ 92

105 Definizione f : D R 2 R; P 0 D. libera vincolata 47/ 92

106 Definizione f : D R 2 R; P 0 D. P 0 si dirà punto di massimo (minimo) assoluto per f in D se: P D f (P 0 ) f (P) ( P D f (P 0 ) f (P)) libera vincolata 47/ 92

107 Definizione f : D R 2 R; P 0 D. P 0 si dirà punto di massimo (minimo) assoluto per f in D se: P D f (P 0 ) f (P) ( P D f (P 0 ) f (P)) P 0 si dirà punto di massimo (minimo) locale o relativo per f se esiste un intorno U di P 0 tale che: P U f (P 0 ) f (P) ( P U f (P 0 ) f (P)) libera vincolata 47/ 92

108 Definizione f : D R 2 R; P 0 D. P 0 si dirà punto di massimo (minimo) assoluto per f in D se: P D f (P 0 ) f (P) ( P D f (P 0 ) f (P)) P 0 si dirà punto di massimo (minimo) locale o relativo per f se esiste un intorno U di P 0 tale che: P U f (P 0 ) f (P) ( P U f (P 0 ) f (P)) libera vincolata Il valore che la funzione assume in un punto di massimo (minimo) assoluto si chiama massimo (minimo) assoluto. 47/ 92

109 Definizione f : D R 2 R; P 0 D. P 0 si dirà punto di massimo (minimo) assoluto per f in D se: P D f (P 0 ) f (P) ( P D f (P 0 ) f (P)) P 0 si dirà punto di massimo (minimo) locale o relativo per f se esiste un intorno U di P 0 tale che: P U f (P 0 ) f (P) ( P U f (P 0 ) f (P)) libera vincolata Il valore che la funzione assume in un punto di massimo (minimo) assoluto si chiama massimo (minimo) assoluto. Il valore che la funzione assume in un punto di massimo (minimo) locale si chiama massimo (minimo) locale. 47/ 92

110 Teorema (di Fermat) f : D R 2 R con D aperto. Se P 0 D è un punto di massimo o di minimo locale per f e f è derivabile in P 0, allora f (P 0 ) = #» 0. No dimostrazione libera vincolata

111 Teorema (di Fermat) f : D R 2 R con D aperto. Se P 0 D è un punto di massimo o di minimo locale per f e f è derivabile in P 0, allora f (P 0 ) = #» 0. Dimostrazione. Se P 0 = (x 0, y 0) è punto di minimo per f, in un intorno di P 0 vale f (P 0) f (P) e quindi anche f (x 0 + Δx, y 0) f (x 0, y 0) da cui f (x 0 + Δx, y 0) f (x 0, y 0) lim 0 e Δx 0 + Δx f (x 0 + Δx, y 0) f (x 0, y 0) lim Δx 0 Δx P 0, f x (P 0) = 0. Analogamente si dimostra che f 0 e quindi, poiché f è derivabile in y (P 0) = 0. libera vincolata

112 Definizione f : D R n R I punti in cui si annulla il gradiente di f si dicono punti stazionari. libera vincolata

113 Definizione f : D R n R I punti in cui si annulla il gradiente di f si dicono punti stazionari. I punti in cui almeno una componente del gradiente di f è diversa da 0 si dicono punti regolari. libera vincolata

114 Definizione f : D R n R I punti in cui si annulla il gradiente di f si dicono punti stazionari. I punti in cui almeno una componente del gradiente di f è diversa da 0 si dicono punti regolari. I punti stazionari e i punti in cui f non è derivabile si dicono punti critici. libera vincolata

115 Il Teorema di Fermat dice che gli eventuali punti di massimo e di minimo per una funzione derivabile in un aperto sono punti stazionari. libera vincolata

116 Il Teorema di Fermat dice che gli eventuali punti di massimo e di minimo per una funzione derivabile in un aperto sono punti stazionari. Quindi il primo passo nella ricerca dei massimi e dei minimi di una funzione è la ricerca dei punti stazionari (problema algebrico! soluzione di un sistema). libera vincolata

117 Se f è definita in un aperto D R n ed è derivabile 2 volte con derivate seconde continue, in un punto stazionario P 0 si ha: f (P 0 +ΔP) f (P 0 ) = 1 ( 2 ΔP Hf (P 0)ΔP t +o ΔP 2) per ΔP 0 libera vincolata

118 Se f è definita in un aperto D R n ed è derivabile 2 volte con derivate seconde continue, in un punto stazionario P 0 si ha: f (P 0 +ΔP) f (P 0 ) = 1 ( 2 ΔP Hf (P 0)ΔP t +o ΔP 2) per ΔP 0 In un intorno di P 0, il segno del secondo membro è quello della forma quadratica hessiana. libera vincolata

119 Se f è definita in un aperto D R n ed è derivabile 2 volte con derivate seconde continue, in un punto stazionario P 0 si ha: f (P 0 +ΔP) f (P 0 ) = 1 ( 2 ΔP Hf (P 0)ΔP t +o ΔP 2) per ΔP 0 In un intorno di P 0, il segno del secondo membro è quello della forma quadratica hessiana. Ma il segno del primo membro mi dice se P 0 è punto di massimo, minimo, ecc. libera vincolata

120 Se f è definita in un aperto D R n ed è derivabile 2 volte con derivate seconde continue, in un punto stazionario P 0 si ha: f (P 0 +ΔP) f (P 0 ) = 1 ( 2 ΔP Hf (P 0)ΔP t +o ΔP 2) per ΔP 0 In un intorno di P 0, il segno del secondo membro è quello della forma quadratica hessiana. Ma il segno del primo membro mi dice se P 0 è punto di massimo, minimo, ecc. Lo studio del segno della forma quadratica hessiana si può fare con metodi algebrici (algebra lineare). libera vincolata

121 Se f è definita in un aperto D R n ed è derivabile 2 volte con derivate seconde continue, in un punto stazionario P 0 si ha: f (P 0 +ΔP) f (P 0 ) = 1 ( 2 ΔP Hf (P 0)ΔP t +o ΔP 2) per ΔP 0 In un intorno di P 0, il segno del secondo membro è quello della forma quadratica hessiana. Ma il segno del primo membro mi dice se P 0 è punto di massimo, minimo, ecc. Lo studio del segno della forma quadratica hessiana si può fare con metodi algebrici (algebra lineare). Per una funzione di 2 variabili lo studio della forma quadratica hessiana è lo studio del segno di un trinomio di secondo grado. libera vincolata

122 La forma quadratica hessiana di f : D R 2 R nel punto P 0 = (x 0, y 0 ) è 2 f x 2 (x 0, y 0 ) (Δx) f x y (x 0, y 0 )ΔxΔy+ 2 f y 2 (x 0, y 0 ) (Δy) 2. libera vincolata

123 La forma quadratica hessiana di f : D R 2 R nel punto P 0 = (x 0, y 0 ) è 2 f x 2 (x 0, y 0 ) (Δx) f x y (x 0, y 0 )ΔxΔy+ 2 f y 2 (x 0, y 0 ) (Δy) 2. La forma quadratica hessiana è un trinomio di secondo grado omogeneo nelle variabili Δx, Δy. Il discriminante del trinomio è l opposto del determinante della matrice hessiana di f. libera vincolata

124 Proposizione f : D R 2 R. P 0 punto stazionario Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) > 0 il trinomio è sempre positivo. Quindi f (P 0 + ΔP) f (P 0 ) 0 e P 0 è punto di minimo. libera vincolata

125 Proposizione f : D R 2 R. P 0 punto stazionario Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) > 0 il trinomio è sempre positivo. Quindi f (P 0 + ΔP) f (P 0 ) 0 e P 0 è punto di minimo. Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) < 0 il trinomio è sempre negativo. Quindi f (P 0 + ΔP) f (P 0 ) 0 e P 0 è punto di massimo. libera vincolata

126 Proposizione f : D R 2 R. P 0 punto stazionario Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) > 0 il trinomio è sempre positivo. Quindi f (P 0 + ΔP) f (P 0 ) 0 e P 0 è punto di minimo. Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) < 0 il trinomio è sempre negativo. Quindi f (P 0 + ΔP) f (P 0 ) 0 e P 0 è punto di massimo. Se det Hf (P 0 ) < 0 il trinomio assume sia valori positivi che negativi: il punto P 0 non è né di minimo né di massimo e si dirà punto di sella. libera vincolata

127 Proposizione f : D R 2 R. P 0 punto stazionario Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) > 0 il trinomio è sempre positivo. Quindi f (P 0 + ΔP) f (P 0 ) 0 e P 0 è punto di minimo. Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) < 0 il trinomio è sempre negativo. Quindi f (P 0 + ΔP) f (P 0 ) 0 e P 0 è punto di massimo. Se det Hf (P 0 ) < 0 il trinomio assume sia valori positivi che negativi: il punto P 0 non è né di minimo né di massimo e si dirà punto di sella. Se det Hf (P 0 ) = 0 non si può dire nulla sulla natura del punto P 0 che può anche non essere di estremo per f. libera vincolata

128 Teorema Sia f : D R 2 R, con D aperto derivabile 2 volte con derivate seconde continue in un intorno del punto P 0. Se il punto P 0 è un punto stazionario di f allora: Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) > 0 il punto P 0 è di minimo locale. figura1 libera vincolata

129 Teorema Sia f : D R 2 R, con D aperto derivabile 2 volte con derivate seconde continue in un intorno del punto P 0. Se il punto P 0 è un punto stazionario di f allora: Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) > 0 il punto P 0 è di minimo locale. figura1 Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) < 0 il punto P 0 è di massimo locale. figura2 libera vincolata

130 Teorema Sia f : D R 2 R, con D aperto derivabile 2 volte con derivate seconde continue in un intorno del punto P 0. Se il punto P 0 è un punto stazionario di f allora: Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) > 0 il punto P 0 è di minimo locale. figura1 Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) < 0 il punto P 0 è di massimo locale. figura2 Se det Hf (P 0 ) < 0 il punto P 0 è di sella. figura3 libera vincolata

131 Teorema Sia f : D R 2 R, con D aperto derivabile 2 volte con derivate seconde continue in un intorno del punto P 0. Se il punto P 0 è un punto stazionario di f allora: Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) > 0 il punto P 0 è di minimo locale. figura1 Se det Hf (P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) < 0 il punto P 0 è di massimo locale. figura2 Se det Hf (P 0 ) < 0 il punto P 0 è di sella. figura3 Se det Hf (P 0 ) = 0 non si può con questo metodo stabilire la natura del punto P 0. Avanti libera vincolata

132 Punto di minimo libera vincolata y x 1 2 Indietro

133 Punto di massimo libera vincolata y x 1 2 Indietro

134 Punto di sella libera vincolata y x 1 2 Altro esempio

135 Monkey saddle libera vincolata y x 1 2 Indietro

136 Il caso dubbio det Hf (x 0, y 0 ) = 0 (0, 0) è punto di minimo; f (x, y) = ( x 2 + y 2) 2 libera vincolata

137 Il caso dubbio det Hf (x 0, y 0 ) = 0 (0, 0) è punto di minimo; (0, 0) è punto di massimo; f (x, y) = ( x 2 + y 2) 2 f (x, y) = ( x 2 + y 2) 2 libera vincolata

138 Il caso dubbio det Hf (x 0, y 0 ) = 0 (0, 0) è punto di minimo; (0, 0) è punto di massimo; (0, 0) è punto di sella. f (x, y) = ( x 2 + y 2) 2 f (x, y) = ( x 2 + y 2) 2 f (x, y) = x 3 + y 3 libera vincolata

139 Convessità Definizione Una funzione f : D R 2 R con D aperto convesso si dice convessa se P 1, P 2 D f (tp 1 + (1 t)p 2 ) tf (P 1 )+(1 t)f (P 2 ) t [0, 1] cioè se i punti del segmento di estremi (P 1, f (P 1 )) e (P 2, f (P 2 )) stanno al di sopra o, al più, sul grafico di f. libera vincolata

140 Convessità Definizione Una funzione f : D R 2 R con D aperto convesso si dice convessa se P 1, P 2 D f (tp 1 + (1 t)p 2 ) tf (P 1 )+(1 t)f (P 2 ) t [0, 1] cioè se i punti del segmento di estremi (P 1, f (P 1 )) e (P 2, f (P 2 )) stanno al di sopra o, al più, sul grafico di f.una funzione f : D R 2 R con D aperto convesso si dice concava se libera P 1, P 2 D f (tp 1 + (1 t)p 2 ) tf (P 1 )+(1 t)f (P 2 ) t [0, 1] cioè se i punti del segmento di estremi (P 1, f (P 1 )) e (P 2, f (P 2 )) stanno al di sotto o, al più, sul grafico di f. vincolata

141 Convessità Definizione Una funzione f : D R 2 R con D aperto convesso si dice convessa se P 1, P 2 D f (tp 1 + (1 t)p 2 ) tf (P 1 )+(1 t)f (P 2 ) t [0, 1] cioè se i punti del segmento di estremi (P 1, f (P 1 )) e (P 2, f (P 2 )) stanno al di sopra o, al più, sul grafico di f.una funzione f : D R 2 R con D aperto convesso si dice concava se libera P 1, P 2 D f (tp 1 + (1 t)p 2 ) tf (P 1 )+(1 t)f (P 2 ) t [0, 1] cioè se i punti del segmento di estremi (P 1, f (P 1 )) e (P 2, f (P 2 )) stanno al di sotto o, al più, sul grafico di f. Se una funzione f è convessa, la funzione f è concava. vincolata

142 Convessità Definizione Una funzione f : D R 2 R con D aperto convesso si dice convessa se P 1, P 2 D f (tp 1 + (1 t)p 2 ) tf (P 1 )+(1 t)f (P 2 ) t [0, 1] cioè se i punti del segmento di estremi (P 1, f (P 1 )) e (P 2, f (P 2 )) stanno al di sopra o, al più, sul grafico di f.una funzione f : D R 2 R con D aperto convesso si dice concava se libera P 1, P 2 D f (tp 1 + (1 t)p 2 ) tf (P 1 )+(1 t)f (P 2 ) t [0, 1] cioè se i punti del segmento di estremi (P 1, f (P 1 )) e (P 2, f (P 2 )) stanno al di sotto o, al più, sul grafico di f. Se una funzione f è convessa, la funzione f è concava. Se le due disuguaglianze valgono in senso stretto t (0, 1) la funzione si dice strettamente convessa (concava) vincolata

143 Proposizione Sia f : D R 2 R con D aperto convesso derivabile con derivate continue (quindi ammette piano tangente). f è convessa se e solo se P 0, P 1 D f (P 1 ) f (P 0 ) + f x (P 0)(x x 0 ) + f y (P 0)(y y 0 ) cioè se il grafico di f sta al di sopra del piano tangente al grafico di f in (P 0, f (P 0 )) libera vincolata

144 Proposizione Sia f : D R 2 R con D aperto convesso derivabile con derivate continue (quindi ammette piano tangente). f è convessa se e solo se P 0, P 1 D f (P 1 ) f (P 0 ) + f x (P 0)(x x 0 ) + f y (P 0)(y y 0 ) cioè se il grafico di f sta al di sopra del piano tangente al grafico di f in (P 0, f (P 0 )) f è concava se e solo se P 0, P 1 D libera vincolata f (P 1 ) f (P 0 ) + f x (P 0)(x x 0 ) + f y (P 0)(y y 0 ) cioè se il grafico di f sta al di sotto del piano tangente al grafico di f in (P 0, f (P 0 ))

145 Proposizione Sia f : D R 2 R con D aperto convesso derivabile con derivate continue (quindi ammette piano tangente). f è convessa se e solo se P 0, P 1 D f (P 1 ) f (P 0 ) + f x (P 0)(x x 0 ) + f y (P 0)(y y 0 ) cioè se il grafico di f sta al di sopra del piano tangente al grafico di f in (P 0, f (P 0 )) f è concava se e solo se P 0, P 1 D libera vincolata f (P 1 ) f (P 0 ) + f x (P 0)(x x 0 ) + f y (P 0)(y y 0 ) cioè se il grafico di f sta al di sotto del piano tangente al grafico di f in (P 0, f (P 0 ))

146 Il segno della forma quadratica hessiana dà informazioni sulla convessità di una funzione: libera vincolata

147 Il segno della forma quadratica hessiana dà informazioni sulla convessità di una funzione: Se nel punto P 0 la forma quadratica hessiana è definita positiva (cioè det H(P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) > 0) la funzione è convessa (ha la concavità rivolta verso l alto, è al di sopra del piano tangente) libera vincolata

148 Il segno della forma quadratica hessiana dà informazioni sulla convessità di una funzione: Se nel punto P 0 la forma quadratica hessiana è definita positiva (cioè det H(P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) > 0) la funzione è convessa (ha la concavità rivolta verso l alto, è al di sopra del piano tangente) Se nel punto P 0 la forma quadratica hessiana è definita negativa (cioè det H(P 0 ) > 0 e f xx(p 0 ) < 0) la funzione è concava (ha la concavità rivolta verso il basso, è al di sotto del piano tangente) libera vincolata

149 Esempio ( ) f 1 (x, y) = x 2 x y + y 6 6 Il gradiente di f 1 è f 1 = ( 4x 3 2x, 1 + y 5) e si annulla in A = (0, 1); B = (1/ 2, 1); C = ( 1/ 2, 1). La matrice hessiana di f 1 è: [ ] 12x Hf 1 (x, y) = y 4 e quindi det Hf 1 (A) = 10 < 0 e il punto A è di sella, det Hf 1 (B) = det Hf 1 (C) = 20, f xx(b) = f xx(c) = 4 > 0 e quindi i punti B e C sono di minimo.

150 Esempio Importante f 3 (x, y) = e x 4 +y 3 4x 2 3y 2 Poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, gli estremi della funzione f 3 sono gli stessi della funzione: g 3 (x, y) = x 4 + y 3 4x 2 3y 2 Il gradiente di g 3 è g 3 = ( 4 x 3 8 x, 3 y 2 6 y ) e si annulla in A 1 = (0, 0), A 2 = (0, 2), A 3 = ( 2, 0), A 4 = ( 2, 0), A 5 = ( 2, 2), A 6 = ( 2, 2). La matrice hessiana di g 3 è: ( ) 12x Hg 3 (x, y) = y 6 e quindi i punti A 2, A 3, A 4 sono di sella, il punto A 1 è di massimo locale e i punti A 5 e A 6 sono di minimo locale.

151 Esempio f 4 (x, y) = ln(2 + x 2 + y 2 ) 2xy La funzione è definita in tutto R 2. Il gradiente della funzione è f 4 = ( 2 x x 2 + y y, 2 ) y x 2 + y x e si annulla in (0, 0). Poiché la matrice hessiana di f 4 in (0, 0) è [ ] 1 2 Hf 4 (0, 0) = 2 1 che ha determinante negativo, il punto (0, 0) è di sella.

152 Esempio f 5 (x, y) = x 3 y 3 + 3xy La funzione è definita in tutto R 2. Il gradiente di f 5 è ( ) f 5 (x, y) = 3x 2 + 3y, 3y 2 + 3x) che si annulla in A = (0, 0), B = (1, 1). La matrice hessiana di f 5 è [ ] 6x 3 Hf 5 (x, y) = 3 6y e quindi il punto A è di sella e il punto B è di minimo.

153 Funzioni omogenee Definizione D = { } (x, y) R 2 : x > 0, y > 0 (si può fare anche con ). f : D R si dice positivamente omogenea di grado α se (x, y) D e t > 0 f (tx, ty) = t α f (x, y) libera vincolata 67/ 92

154 Funzioni omogenee Definizione D = { } (x, y) R 2 : x > 0, y > 0 (si può fare anche con ). f : D R si dice positivamente omogenea di grado α se (x, y) D e t > 0 f (tx, ty) = t α f (x, y) libera vincolata In realtà D può essere un insieme più generale (cono). 67/ 92

155 Esempio Un polinomio omogeneo di grado n è una funzione omogenea di grado n libera vincolata 68/ 92

156 Esempio Un polinomio omogeneo di grado n è una funzione omogenea di grado n f (x, y) = ax + by f (tx, ty) = atx + bty = t(ax + by) = tf (x, y) grado 1 libera vincolata 68/ 92

157 Esempio Un polinomio omogeneo di grado n è una funzione omogenea di grado n f (x, y) = ax + by f (tx, ty) = atx + bty = t(ax + by) = tf (x, y) grado 1 f (x, y) = 3x 3 + 5x 2 y xy 2 + 2y 3 f (tx, ty) = 3t 3 x 3 + 5t 2 x 2 ty txt 2 y 2 + 2t 3 y 3 = t 3 (3x 3 + 5x 2 y xy 2 + 2y 3 ) = t 3 f (x, y) grado 3 libera vincolata 68/ 92

158 Esempio Un polinomio omogeneo di grado n è una funzione omogenea di grado n f (x, y) = ax + by f (tx, ty) = atx + bty = t(ax + by) = tf (x, y) grado 1 f (x, y) = 3x 3 + 5x 2 y xy 2 + 2y 3 f (tx, ty) = 3t 3 x 3 + 5t 2 x 2 ty txt 2 y 2 + 2t 3 y 3 = t 3 (3x 3 + 5x 2 y xy 2 + 2y 3 ) = t 3 f (x, y) grado 3 f (x, y) = 2x y 3x + 4y f (tx, ty) = 2tx ty 3tx + 4ty = t(2x y) t(3x + 4y) = 2x y 3x + 4y = f (x, y) grado 0 libera vincolata 68/ 92

159 Teorema (di Eulero) Sia D = { (x, y) R 2 : x > 0, y > 0 } e f : D R derivabile con derivate continue in D. Allora f è positivamente omogenea di grado α se e solo se (x, y) D risulta: x f x + y f y = αf (x, y) libera vincolata 69/ 92

160 Esempio f (x, y) = 3x 2 5xy omogenea di grado 2 x f x + y f y = x (6x 5y) + y ( 5x) = 6x 2 5xy 5xy = 2(3x 2 5xy) libera vincolata 70/ 92

161 Esempio f (x, y) = 3x 2 5xy omogenea di grado 2 x f x + y f y = x (6x 5y) + y ( 5x) = 6x 2 5xy 5xy = 2(3x 2 5xy) f (x, y) = x 4 2x 2 y 2 + 2y 4 omogenea di grado 4 x f x + y f y = x (4x 3 4xy 2 ) + y ( 4x 2 y + 8y 3 ) = 4x 4 4x 2 y 2 4x 2 y 2 = 4(x 4 2x 2 y 2 + 2y 4 ) libera vincolata 70/ 92

162 La funzione di Cobb-Douglas La funzione di produzione più semplice è quella di Cobb-Douglas f (x, y) = cx α y 1 α dove x è il capitale e y è il lavoro libera vincolata 71/ 92

163 La funzione di Cobb-Douglas La funzione di produzione più semplice è quella di Cobb-Douglas f (x, y) = cx α y 1 α dove x è il capitale e y è il lavoro La funzione di Cobb-Douglas è omogenea di grado 1 libera vincolata 71/ 92

164 Nel problema di ottimizzazione le variabili possono non essere indipendenti, ma essere legate tra loro da un qualche vincolo, espresso generalmente mediante un equazione: ad esempio trovare il massimo di una funzione f (x, y) sapendo che g(x, y) = 0. In sostanza si tratta di determinare gli estremi della funzione f S restrizione della funzione f all insieme S = { (x, y) R 2 : g(x, y) = 0 } Ciò accade ad esempio quando si cercano massimi e minimi sul bordo del dominio di definizione di una funzione. libera vincolata 72/ 92

165 Determinare il massimo e il minimo della funzione f (x, y) = x 2 y 2 nella regione delimitata dal triangolo di vertici O = (0, 0), A = (1, 3), B = (3, 1). libera vincolata

166 Determinare il massimo e il minimo della funzione f (x, y) = x 2 y 2 nella regione delimitata dal triangolo di vertici O = (0, 0), A = (1, 3), B = (3, 1). L unico punto stazionario della funzione è l origine, che è punto di sella. libera vincolata

167 Determinare il massimo e il minimo della funzione f (x, y) = x 2 y 2 nella regione delimitata dal triangolo di vertici O = (0, 0), A = (1, 3), B = (3, 1). L unico punto stazionario della funzione è l origine, che è punto di sella. Ma per il Teorema di Weiestrass, la funzione ammette certamente massimo e minimo. Gli estremi non possono essere assunti in punti interni al triangolo (altrimenti si annullerebbe il gradiente) e quindi sono certamente assunti sul bordo del triangolo, cioè su uno dei seguenti insiemi S 1 = {(x, y) : y = 3x, 0 x 1} (lato OA), S 2 = {(x, y) : y = x + 4, 1 x 3} (lato AB), S 3 = {(x, y) : y = x 3, 0 x 3} (lato OB). libera vincolata

168 Sul lato S 1 la funzione diventa f (x, 3x) = g 1 (x) = 8x 2 che, nell intervallo [0, 1] è decrescente e quindi ammette massimo per x = 0 e minimo per x = 1 e si ha g 1 (0) = 0 e g 1 (3) = 8. libera vincolata

169 Sul lato S 1 la funzione diventa f (x, 3x) = g 1 (x) = 8x 2 che, nell intervallo [0, 1] è decrescente e quindi ammette massimo per x = 0 e minimo per x = 1 e si ha g 1 (0) = 0 e g 1 (3) = 8. Sul lato S 2 la funzione diventa f (x, x + 4) = g 2 (x) = 8x 16 che è crescente in [1, 3] e quindi ha massimo g 2 (3) = 8 e minimo g 2 (1) = 8. libera vincolata

170 Sul lato S 1 la funzione diventa f (x, 3x) = g 1 (x) = 8x 2 che, nell intervallo [0, 1] è decrescente e quindi ammette massimo per x = 0 e minimo per x = 1 e si ha g 1 (0) = 0 e g 1 (3) = 8. Sul lato S 2 la funzione diventa f (x, x + 4) = g 2 (x) = 8x 16 che è crescente in [1, 3] e quindi ha massimo g 2 (3) = 8 e minimo g 2 (1) = 8. Sul lato S 3 la funzione diventa f (x, x/3) = g 3 (x) = 8 9 x 2 che nell intervallo [0, 3] è crescente e quindi assume massimo in x = 3 con g 3 (3) = 8 e minimo in x = 0 con g 3 (0) = 0. libera vincolata

171 Sul lato S 1 la funzione diventa f (x, 3x) = g 1 (x) = 8x 2 che, nell intervallo [0, 1] è decrescente e quindi ammette massimo per x = 0 e minimo per x = 1 e si ha g 1 (0) = 0 e g 1 (3) = 8. Sul lato S 2 la funzione diventa f (x, x + 4) = g 2 (x) = 8x 16 che è crescente in [1, 3] e quindi ha massimo g 2 (3) = 8 e minimo g 2 (1) = 8. Sul lato S 3 la funzione diventa f (x, x/3) = g 3 (x) = 8 9 x 2 che nell intervallo [0, 3] è crescente e quindi assume massimo in x = 3 con g 3 (3) = 8 e minimo in x = 0 con g 3 (0) = 0. Concludendo la funzione f assume massimo in (3, 1) e minimo in (1, 3). libera vincolata

172 Il metodo usato nell esempio (sostituire una variabile e trasformare il problema in un problema ad una variabile) non può essere sempre usato. libera vincolata

173 Il metodo usato nell esempio (sostituire una variabile e trasformare il problema in un problema ad una variabile) non può essere sempre usato. Non si può usare per trovare il massimo (o il minimo) di con la condizione: f (x, y) = 3x + y 2 ln(x 2 + e y ) g(x, y) = y 3 sen(x 2 + y 2 ) e 3x 2 1 = 0 libera vincolata

174 Il metodo delle curve di livello - I Se la funzione obiettivo e i vincoli si possono disegnare facilmente, può essere molto più rapido e semplice risolvere i problemi di ottimizzazione vincolata per via geometrica. Illustriamo il procedimento mediante alcuni esempi. libera vincolata

175 Il metodo delle curve di livello - II Esempio Determinare massimi e minimi della funzione f (x, y) = x 2 + y soggetta al vincolo g(x, y) = xy 4 = 0. libera vincolata

176 Il metodo delle curve di livello - II Esempio Determinare massimi e minimi della funzione f (x, y) = x 2 + y soggetta al vincolo g(x, y) = xy 4 = y libera vincolata 2 x

177 Il metodo delle curve di livello - III Le curve di livello f (x, y) = k della funzione f sono circonferenze centrate nell origine di raggio k 1 (e quindi sarà k 1). libera vincolata

178 Il metodo delle curve di livello - III Le curve di livello f (x, y) = k della funzione f sono circonferenze centrate nell origine di raggio k 1 (e quindi sarà k 1). Si può osservare che, per simmetria, una di tali circonferenze sarà tangente all iperbole di equazione xy = 4 (il vincolo) in punti della bisettrice y = x e quindi nei punti A( 2, 2) e B(2, 2) (con k = 9): tali punti sono di minimo perché l iperbole incontra solo curve di livello con k 9. libera vincolata

179 Il metodo delle curve di livello - III Le curve di livello f (x, y) = k della funzione f sono circonferenze centrate nell origine di raggio k 1 (e quindi sarà k 1). Si può osservare che, per simmetria, una di tali circonferenze sarà tangente all iperbole di equazione xy = 4 (il vincolo) in punti della bisettrice y = x e quindi nei punti A( 2, 2) e B(2, 2) (con k = 9): tali punti sono di minimo perché l iperbole incontra solo curve di livello con k 9. Si poteva arrivare allo stesso risultato risolvendo il sistema: { xy = 4 libera vincolata x 2 + y k = 0 e determinando k in modo da avere 2 soluzioni di molteplicità 2.

180 Il metodo delle curve di livello - IV Esempio Determinare massimi e minimi della funzione f (x, y) = x 2 y + 3 soggetta al vincolo g(x, y) = 4x 2 + 9y 2 36 = 0. libera vincolata

181 Il metodo delle curve di livello - IV Esempio Determinare massimi e minimi della funzione f (x, y) = x 2 y + 3 soggetta al vincolo g(x, y) = 4x 2 + 9y 2 36 = 0. y k = 1 libera vincolata x 2 k = k = 8 8 k = k = 14

182 Il metodo delle curve di livello - V Le curve di livello f (x, y) = k della funzione f sono parabole che hanno come asse di simmetria l asse y di equazione y = x k; il vincolo è un ellisse centrata nell origine di semiassi 3 e 2. libera vincolata

183 Il metodo delle curve di livello - V Le curve di livello f (x, y) = k della funzione f sono parabole che hanno come asse di simmetria l asse y di equazione y = x k; il vincolo è un ellisse centrata nell origine di semiassi 3 e 2. Si vede facilmente che le parabole tangenti sono quella passante per i punti (± 4 5 3, 0), quella passante per (0, 2) e quella passante per (0, 2), la prima in corrispondenza del valore k = 109 9, la seconda in corrispondenza del valore k = 1 e la terza in corrispondenza del valore k = 5. libera vincolata

184 Il metodo delle curve di livello - V Le curve di livello f (x, y) = k della funzione f sono parabole che hanno come asse di simmetria l asse y di equazione y = x k; il vincolo è un ellisse centrata nell origine di semiassi 3 e 2. Si vede facilmente che le parabole tangenti sono quella passante per i punti (± 4 5 3, 0), quella passante per (0, 2) e quella passante per (0, 2), la prima in corrispondenza del valore k = 109 9, la seconda in corrispondenza del valore k = 1 e la terza in corrispondenza del valore k = 5. Si ha quindi un massimo (assoluto) nei punti (± 4 5 3, 0), un minimo (assoluto) in (0, 2) e un minimo (relativo) in ( 2, 0). libera vincolata

185 I moltiplicatori di Lagrange Problema: determinare gli estremi della funzione f (x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = 0 con f e g funzioni derivabili con derivate continue Definizione Il punto P 0 si dice punto critico vincolato (o condizionato) al vincolo g(x, y) = 0 se è un punto regolare per il vincolo e se la derivata direzionale di f (x, y) nella direzione tangente al vincolo è nulla, cioè se è un punto stazionario della funzione f S con S = { (x, y) R 2 : g(x, y) = 0 }. libera vincolata

186 I moltiplicatori di Lagrange Problema: determinare gli estremi della funzione f (x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = 0 con f e g funzioni derivabili con derivate continue Definizione Il punto P 0 si dice punto critico vincolato (o condizionato) al vincolo g(x, y) = 0 se è un punto regolare per il vincolo e se la derivata direzionale di f (x, y) nella direzione tangente al vincolo è nulla, cioè se è un punto stazionario della funzione f S con S = { (x, y) R 2 : g(x, y) = 0 }. P 0 è punto critico vincolato se e solo se libera vincolata λ 0 R tale che f (x 0, y 0 ) = λ 0 g(x 0, y 0 )

187 I moltiplicatori di Lagrange Teorema Se P 0 è di estremo condizionato allora è punto critico condizionato. Quindi esiste λ 0 R, detto moltiplicatore di Lagrange tale che f (x 0, y 0 ) = λ 0 g(x 0, y 0 ) libera vincolata

188 Funzione Lagrangiana: L(x, y, λ) = f (x, y) λg(x, y) Il punto P 0 = (x 0, y 0 ) è punto critico condizionato se e solo se esiste λ 0 tale che (x 0, y 0, λ 0 ) è punto critico libero per la Lagrangiana L(x, y, λ). libera vincolata

189 Funzione Lagrangiana: L(x, y, λ) = f (x, y) λg(x, y) Il punto P 0 = (x 0, y 0 ) è punto critico condizionato se e solo se esiste λ 0 tale che (x 0, y 0, λ 0 ) è punto critico libero per la Lagrangiana L(x, y, λ). I punti critici di L sono le soluzioni del sistema: L x = f x λg x = 0 L y = f y λg y = 0 L λ = g = 0 libera vincolata che equivalgono all imporre che il punto sia sul vincolo e che f (x 0, y 0 ) = λ 0 g(x 0, y 0 ).

190 Per determinare la natura dei punti critici trovati si considera la matrice Hessiana orlata: 0 g x g y H(x, y, λ) = g x L xx L xy g y L xy L yy formata orlando la matrice Hessiana della Lagrangiana (rispetto alle variabili x e y) con il gradiente di g e completando con a 11 = 0, cioè la matrice Hessiana di L(λ, x, y). libera vincolata

191 Per determinare la natura dei punti critici trovati si considera la matrice Hessiana orlata: 0 g x g y H(x, y, λ) = g x L xx L xy g y L xy L yy formata orlando la matrice Hessiana della Lagrangiana (rispetto alle variabili x e y) con il gradiente di g e completando con a 11 = 0, cioè la matrice Hessiana di L(λ, x, y). Proposizione Se det H(x 0, y 0 ; λ 0 ) > 0 il punto P 0 è di massimo relativo per f, se det H(x 0, y 0 ; λ 0 ) < 0 il punto P 0 è di minimo relativo per f. libera vincolata

192 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Determinare gli estremi di f (x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = 0 libera vincolata

193 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Determinare gli estremi di f (x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = 0 1. Si determinano gli eventuali punti non regolari del vincolo, g x(x, y = 0 cioè le soluzioni del sistema g y(x, y) = 0 che vanno g(x, y) = 0 esaminati a parte. libera vincolata

194 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Determinare gli estremi di f (x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = 0 1. Si determinano gli eventuali punti non regolari del vincolo, g x(x, y = 0 cioè le soluzioni del sistema g y(x, y) = 0 che vanno g(x, y) = 0 esaminati a parte. 2. Si cercano i punti critici condizionati di f, cioè i punti stazionari della Lagrangiana. libera vincolata

195 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Determinare gli estremi di f (x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = 0 1. Si determinano gli eventuali punti non regolari del vincolo, g x(x, y = 0 cioè le soluzioni del sistema g y(x, y) = 0 che vanno g(x, y) = 0 esaminati a parte. 2. Si cercano i punti critici condizionati di f, cioè i punti stazionari della Lagrangiana. 3. Si determina la natura dei punti critici trovati. libera vincolata

196 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Determinare gli estremi di f (x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = 0 1. Si determinano gli eventuali punti non regolari del vincolo, g x(x, y = 0 cioè le soluzioni del sistema g y(x, y) = 0 che vanno g(x, y) = 0 esaminati a parte. 2. Si cercano i punti critici condizionati di f, cioè i punti stazionari della Lagrangiana. 3. Si determina la natura dei punti critici trovati. libera vincolata

197 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Determinare gli estremi di f (x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = 0 1. Si determinano gli eventuali punti non regolari del vincolo, g x(x, y = 0 cioè le soluzioni del sistema g y(x, y) = 0 che vanno g(x, y) = 0 esaminati a parte. 2. Si cercano i punti critici condizionati di f, cioè i punti stazionari della Lagrangiana. 3. Si determina la natura dei punti critici trovati. Questo metodo può essere usato per trovare gli estremi di una funzione in un insieme che non è aperto: si trovano gli estremi nell aperto corrispondente e poi quelli sulla frontiera, come problema di ricerca di estremi vincolati. libera vincolata

198 Esempio Determinare gli estremi della funzione f (x, y) = x 2 + y 2 soggetta al vincolo g(x, y) = 3x 2 + y 2 + 6x = 0. La lagrangiana è L(x, y, λ) = x 2 + y 2 λ(3x 2 + y 2 + 6x) 2x 6λx 6λ = 0 2y 2λy = 0 3x 2 + y 2 + 6x = 0 Il sistema: ha le soluzioni ) ( ) ( ) P 1 (0, 0; 0), P 2 ( 2, 0; 2 3, P 3 3 2, 3 2 ; 1, P 4 3 2, 3 2 ; 1. La matrice Hessiana orlata è 0 6x 6 2y H(x, y, λ) = 6x 6 2 6λ 0 2y 0 2 2λ libera vincolata

199 ... continuazione... Si ha det H(x, y, λ) = (6x + 6) 2 (2 2λ) 4y 2 (2 6λ) e quindi il determinante della matrice Hessiana orlata è negativo in P 1 e P 2 e positivo in P 3 e P 4 i punti (0, 0) e ( 2, 0) sono di minimo e i punti ( 3 2, 3 2 ) e ( 3 2, 3 2 ) sono di massimo. Poiché ( ) ( ) f (0, 0) = 0, f ( 2, 0) = 4, f 3 2, 3 2 = f ( 3 2, 3 ) 2 che (0, 0) è punto di minimo assoluto e 3 2, 3 2 e sono punti di massimo assoluto. = 9 2 si ha ) ( 3 2, 3 2 libera vincolata

200 Esempio Determinare gli estremi della funzione f (x, y) = 5x 2 + 3xy 2y 2 soggetta al vincolo g(x, y) = 2x y 1 = 0 La Lagrangiana è L(x, y; λ) = 5x 2 + 3xy 2y 2 λ (2x ( y 1) che ammette ) come unico punto stazionario il punto 5 6, 8 3, La matrice Hessiana orlata è H(x, y, λ) = che ha determinante -6 e quindi il punto trovato è di minimo. libera vincolata

201 Generalizziamo l esempio precedente prendendo f (x, y) = 5x 2 + 3xy 2y 2 e il vincolo g(x, y) = 2x y t = 0 con t parametro reale. La Lagrangiana è L(x, y; λ) = 5x 2 + 3xy 2y 2 λ (2x ( y t) che ammette ) come unico punto stazionario il punto 5t 6, 8t 3, 49t La matrice Hessiana orlata è H(x, y, λ) = che ha determinante -6 e quindi il punto trovato è di minimo. Il valore assunto dalla funzione f nel punto di minimo è una funzione di t: m(t) = 49t2 12. Si ha m (t) = λ(t), cioè il moltiplicatore di Lagrange è una misura della sensibilità del valore assunto nel minimo rispetto a variazioni di t. libera vincolata

202 Interpretazione del moltiplicatore di Lagrange Problema di ottimizzazione vincolata con funzione obiettivo f (x, y) derivabile due volte con derivata seconda continua, soggetta al vincolo g(x, y) = t, dove t è un parametro. libera vincolata

203 Interpretazione del moltiplicatore di Lagrange Problema di ottimizzazione vincolata con funzione obiettivo f (x, y) derivabile due volte con derivata seconda continua, soggetta al vincolo g(x, y) = t, dove t è un parametro. Fissato il valore t 0 del parametro, sia (x 0, y 0 ) un punto critico condizionato di f corrispondente al moltiplicatore λ 0. Se la Lagrangiana L(x, y; λ) = f (x, y) λ (g(x, y) t) ha matrice Hessiana con determinante non nullo in (x 0, y 0 ; λ 0 ), allora in un intorno di t = t 0 è definita una famiglia di punti critici (una curva) (x(t), y(t), λ(t)). libera vincolata

204 Interpretazione del moltiplicatore di Lagrange Problema di ottimizzazione vincolata con funzione obiettivo f (x, y) derivabile due volte con derivata seconda continua, soggetta al vincolo g(x, y) = t, dove t è un parametro. Fissato il valore t 0 del parametro, sia (x 0, y 0 ) un punto critico condizionato di f corrispondente al moltiplicatore λ 0. Se la Lagrangiana L(x, y; λ) = f (x, y) λ (g(x, y) t) ha matrice Hessiana con determinante non nullo in (x 0, y 0 ; λ 0 ), allora in un intorno di t = t 0 è definita una famiglia di punti critici (una curva) (x(t), y(t), λ(t)). Indicato con v(t) = f (x(t), y(t)) il valore della funzione f (x, y) nel punto critico (x(t), y(t)) si ha λ(t) = v (t), cioè λ(t) misura la sensibilità del valore critico v(t) rispetto a variazioni di livello di g. libera vincolata

205 Interpretazione del moltiplicatore di Lagrange Se la funzione f è una funzione costo, il vincolo rappresenta dei fattori di produzione, il moltiplicatore di Lagrange misura la sensibilità del valore ottimale a variazioni delle quantità, ossia misura la variazione del costo minimo al variare della quantità dei fattori di produzione. Il moltiplicatore di Lagrange in questo caso rappresenta un prezzo (prezzo ombra) della risorsa considerata. libera vincolata

206 libera vincolata