x log(x) + 3. f(x) =

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1 Università di Bari, Corso di Laurea in Economia e Commercio Esame di Matematica per l Economia L/Z Dr. G. Taglialatela 03 giugno 05 Traccia dispari Esercizio. Calcolare Esercizio. Calcolare e cos log d 9 tan + arcsen 3 + Esercizio 3. Studiare e tracciare il grafico della funzione f = log + 3. Scrivere inoltre l equazione della retta passante per i punti del grafico di f aventi ascissa e, rispettivamente, e. Esercizio. Dire se la funzione f = è derivabile. Esercizio 5. Sia data Dire se F è continua. Dire se F è monotona. F = arccos + 3 e t dt per ogni [, + [.

2 Università di Bari, Corso di Laurea in Economia e Commercio Esame di Matematica per l Economia L/Z Dr. G. Taglialatela 03 giugno 05 Traccia pari Esercizio. Calcolare Esercizio. Calcolare e + sen log d sen log arctan Esercizio 3. Studiare e tracciare il grafico della funzione f = log. Scrivere inoltre l equazione della retta passante per i punti del grafico di f aventi ascissa e, rispettivamente, e. Esercizio. Dire se la funzione f = arcsen + è derivabile. Esercizio 5. Sia data la funzione + se [ 0, 0[ f = 0 se = 0 sen se 0, + [ Dire se f è continua. Dire se f è integrabile. 3 Dire se f è dotata di primitiva.

3 Alcuni commenti sulla risoluzione degli esercizi Come al solito, gli errori più frequenti sono gli errori di calcolo letterale. Commenti all esercizio. L integrale poteva essere affrontato anche mediante una sostituzione: t = log cos log d = e t+ cost e t+ dt = e e t cost dt t = log sen log d = e t sent e t dt = e e t sent dt t = log cos log d = e t cos t e t dt = e t cos t dt t = log sen log d = e t sen t e t dt = e t sen t dt Alcuni studenti hanno scritto varie formule sbagliate, del tipo cos = 0 sen = π... Commenti all esercizio 3. Molti studenti, pur riuscendo a risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche del tipo sono stati poi incapaci di semplificare espressioni del tipo Commenti all esercizio. Affermazione palesemente falsa. log + 3 = 0 log + > 0... loge 3 loge... È impressionante il gran numero di studenti che hanno scritto siccome f è continua, allora f è derivabile. Soluzioni agli esercizi del 03 giugno 05 Traccia dispari Soluzione dell esercizio. Usiamo una doppia integrazione per parti: cos log d = cos log + sen log d = cos log + sen log d = cos log + sen log cos log d = cos log + sen log cos log d, da cui e dunque cos log d = cos log + sen log e cos log [ d = cos log + sen log e = e = e cos + e sen cos sen cos + e + sen. Soluzione dell esercizio. Usiamo il cambio di variabile = t : 9 tan + arcsen 3 + = t = t 0 + tan t + arcsen9 t 3 t

4 Soluzioni agli esercizi del 03 giugno 05 dal momento che = t 0 + tan t t + arcsen9 t3 t t t = log, tan t arcsen9 t 3 t t 0 + t = t 0 + t = 0 t 0 + t = log. Soluzione dell esercizio 3. Per determinare il dominio di f occorre risolvere il sistema { > log 0 Ora 3 + log 0 log 3 e 3 da cui ne deduciamo che il dominio di f è 0, e 3[ e 3, + [. Il segno di f è dato dal segno di 3 + log. Dal momento che 3 + log > 0 log > 3 > e 3 ne deduciamo che f < 0: se 0 < < e 3, f > 0: se > e 3, e la funzione non si annulla mai. Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani. I iti f = 0, 0 + f =, /e 3 f = +, /e 3 + sono immediati, quindi il grafico di f non ammette asintoto in 0, mentre ammette la retta di equazione = e 3 come asintoto verticale. Dal momento che f = +, + f + = 0, ne deduciamo che il grafico di f non ammette asintoto né orizzontale, né obliquo a +. Calcoliamo la derivata di f : f = log + 3 log + 3 = log + log + 3 f ha il segno di log +, ne deduciamo che f è strettamente crescente nell intervallo e, + [ ; f è strettamente decrescente negli intervalli 0, e 3[ e e 3, e [ ; f ha un punto di minimo relativo in = e, che vale e. Calcoliamo la derivata seconda di f : log + 3 log + log + 3 f = log + 3 = Osserviamo che il segno di f è uguale al segno di [ log + 3 log + 3 log + = log + log + 3 log log + log + 3. Posto log = t, la disequazione t + t + 3 > 0 è equivalente a t + t + 3 < 0 che ha soluzione 3 < t <, e dunque e 3 < < e. Ne deduciamo che

5 Figura : Grafico della funzione f = log + 3 f è strettamente convessa in e, e [ ; f è strettamente concava in 0, e [ e e, + [. Il punto = e è un punto di flesso che vale e. L equazione della retta passante per i punti, f e e, fe è y = 3 e + e e Il grafico di f è in Figura, lo schema riassuntivo dello studio di funzione è in Figura.. Soluzione dell esercizio. Sappiamo che la funzione valore assoluto non è derivabile se il suo argomento si annulla. Ne deduciamo che la funzione f non è derivabile per =, difatti f = f + = f + h f h 0 h f + h f h 0 + h = h 0 + h h 0 h = h h h 0 h = + h = h 0 = h h =. Soluzione dell esercizio 5. La funzione è continua per il Teorema di Torricelli-Barrow. Usando il Teorema di Torricelli-Barrow si ha: F = + e = + e. Dal momento che la derivata di F è positiva, ne deduciamo che F è strettamente crescente. Soluzioni agli esercizi del 03 giugno 05 Traccia pari Soluzione dell esercizio. Usiamo una doppia integrazione per parti: sen log d = sen log cos log d = sen log + cos log d 3

6 Soluzioni agli esercizi del 03 giugno 05 Studiare la seguente funzione: f = Insieme di definizione dominio: f > 0 e 3, + [ f = 0 f < 0 0, e 3 [ log + 3 0, e 3 [ e 3, + [ Intersezioni del grafico di f con gli assi Limiti significativi per f : f = 0, 0 + Equazione degli asintoti del grafico di f : f = log + log + 3 Intervalli in cui f è strettamente crescente: Intervalli in cui f è strettamente descrescente: Punti di non derivabilità di f Punti di minimo o di massimo relativo per f: f =, /e 3 = e 3 asintoto verticale e, + [ 0, e 3 [ e e 3, e [ e, e minimo relativo f = log + log Intervalli in cui f è strettamente convessa: e, e [ Intervalli in cui f è strettamente concava: 0, e [ e e, + [ Punti di flesso per f: e, e f è iniettiva? Insieme dei valori di f:, 0[ [, + [ inf f: sup f: + Punti di minimo o di massimo assoluti per f: f = +, /e 3 + Figura : Schema riassuntivo dello studio della funzione f = log + 3 f = + + = sen log + cos log [ sen log d = sen log + cos log sen log d, da cui sen log d = sen log + cos log e dunque e sen log [ d = sen log + cos log e = e = e sen + e cos sen cos cos e + sen.

7 Matematica per l Economia L/Z 5 Soluzione dell esercizio. Usiamo il cambio di variabile = t : dal momento che + sen log 3 = t log 3 t = t arctan + sent 3 + arctan t = t 0 + log 3 t t sent 3 t + arctan t t = 3, log 3 t sent 3 arctan t t 0 + t = 3 t 0 + t = 0 t 0 + t =. Soluzione dell esercizio 3. Per determinare il dominio di f occorre risolvere il sistema { > 0 log 0 Ora log 0 log e da cui ne deduciamo che il dominio di f è 0, e [ e, + [. Il segno di f è dato dal segno di log. Dal momento che log > 0 log > > e ne deduciamo che f > 0: se > e ; f < 0: se 0 < < e, e la funzione non si annulla mai. Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani. I iti f = 0, 0 + f =, e f = +, e + sono immediati, quindi il grafico di f non ammette asintoto in 0, mentre ammette la retta di equazione = e come asintoto verticale. Dal momento che f = +, f = 0, + + ne deduciamo che il grafico di f non ammette asintoto né orizzontale, né obliquo a +. Calcoliamo la derivata di f : log f = = log 3 log log f ha il segno di log 3, ne deduciamo che f è strettamente crescente nell intervallo e 3, + [ ; f è strettamente decrescente negli intervalli 0, e[ e e, e 3[. f ha un punto di minimo relativo in = e 3, che vale e 3. Calcoliamo la derivata seconda di f : f = = Osserviamo che il segno di f è uguale al segno di log log 3 log log [ log log log 3 = log log log. log log 3.

8 6 Soluzioni agli esercizi del 03 giugno 05 Figura 3: Grafico della funzione f = log Posto log = t, la disequazione t t > 0 è equivalente a tt > 0 che ha soluzione < t <, e dunque e < < e. Ne deduciamo che f è strettamente convessa in e, e ; f è strettamente concava in 0, e [ e [ e, + [. Il punto = e è un punto di flesso che vale e. L equazione della retta passante per i punti, f e e, fe è y = e + e e Il grafico di f è in Figura 3, lo schema riassuntivo dello studio di funzione è in Figura. Soluzione dell esercizio. Sappiamo che la funzione arcoseno non è derivabile se il suo argomento è oppure. Ne deduciamo che la funzione f non è derivabile per = 0 e per = e risulta f 0 = f = +. Soluzione dell esercizio 5. f non è continua, dal momento che f f0. 0 f non è integrabile, dal momento che è definita su un intervallo ilitato. 3 f è dotata di primitiva, dal momento che è continua su D f \ {0} e in 0 presenta una discontinuità di III specie..

9 Matematica per l Economia L/Z 7 Studiare la seguente funzione: f = Insieme di definizione dominio: f > 0 e, + [ f = 0 f < 0 0, e[ log 0, e [ e, + [ Intersezioni del grafico di f con gli assi Limiti significativi per f : 0 + f = 0, Equazione degli asintoti del grafico di f : f = log 3 log e f =, = e asintoto verticale Intervalli in cui f è strettamente crescente: e 3, + [ Intervalli in cui f è strettamente descrescente: 0, e[ e e, e 3[ Punti di non derivabilità di f Punti di minimo o di massimo relativo per f: e 3, e 3 minimo relativo f = log log 3 Intervalli in cui f è strettamente convessa: Intervalli in cui f è strettamente concava: Punti di flesso per f: e, e 0, e [ e [ e, + [ e, e f è iniettiva? Insieme dei valori di f:, 0[ [ e, + [ inf f: sup f: + Punti di minimo o di massimo assoluti per f: e + f = +, Figura : Schema riassuntivo dello studio della funzione f = log f = +