Esonero di Analisi Matematica I (A)

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1 Esonero di Analisi Matematica I A) Ingegneria Edile, 7 novembre 00 Michele Campiti) 1. Studiare il seguente ite: x π/ cos x 1 sin x) tan 3 x π ).. Calcolare le seguenti radici quarte: 3i i).

2 Esonero di Analisi Matematica I B) Ingegneria Edile, 7 novembre 00 Michele Campiti) 1. Studiare il seguente ite: π ) x 1 sin x x 1 e x e.. Calcolare le seguenti radici seste: 6 16i1 + i)1 i)).

3 Esonero di Analisi Matematica I C) Ingegneria Edile, 7 novembre 00 Michele Campiti) 1. Studiare il seguente ite: x π 1 + cos x log sin x ).. Calcolare le seguenti radici terze: i).

4 Soluzione esonero di Analisi Matematica I A) Ingegneria Edile, 7 novembre 00 Michele Campiti) 1. Posto y = x π/, si ha x π/ cos x 1 sin x) tan 3 x π ) = cos y 0 y + π ) 1 sin y + π )) tan 3 y sin y 1 cos y) y 3 = y 0 y 3 = y 0 sin y y 1 cos y y = = 1. tan 3 y y tan y ) 3. Poiché si ha 1 + i = cos π 4 + i sin π ) i) = cos π + i sin π ), e conseguentemente 3 cos 3π 3i 1 + i) = + i sin 3π ) cos π + i sin π ) = 16 cos π + i sin π) = 16. Applicando la formula di De Moivre, si ottengono le quattro radici: w 0 = cos π 4 + i sin π ) = 1 + i), 4 w 1 = cos 3π 4 + i sin 3π ) = 1 + i), 4 w = cos 5π 4 + i sin 5π ) = 1 i), 4 w 3 = cos 7π 4 + i sin 7π ) = 1 i). 4

5 Soluzione esonero di Analisi Matematica I B) Ingegneria Edile, 7 novembre 00 Michele Campiti) 1. Ponendo y = x 1, si ha: π ) x 1 sin x x 1 e x e = y 0 yy+) 1 yy + ) y = log y 0 e y 1 π ) = sin x x 1 ee x 1 1) + x ee x 1 1) π ) yy + ) 1 sin ee y 1) + y + 1) y 0 ee y 1) y + e + 1 e y 0 π ) 1 cos y π π ) y 4 y y e y 1 = e log + 0 = e log.. Si ha: 16i1 + i)1 i)) = 16 1)1 i ) = 16 4 = 64 = 64cos π + i sin π), e quindi, le radici seste richieste sono date da w 0 = cos π 6 + i sin π ) = 3 + i, 6 w 1 = cos π + i sin π ) = i, w = cos 5π 6 + i sin 5π ) = 3 + i, 6 w 3 = cos 7π 6 + i sin 7π ) = 3 i, 6 w 4 = cos 3π + i sin 3π ) = i, w 5 = cos 11π ) 11π + i sin = 3 i. 6 6

6 Soluzione esonero di Analisi Matematica I C) Ingegneria Edile, 7 novembre 00 Michele Campiti) 1. Posto y = x π, si ha 1 + cos x 1 + cosy + π) log sin x ) = y 0 log sin y + π ) 1 cos y 1 cos y = y 0 log cos y ) = y 0 log 1 1 cos y )) y ) 1 cos y 1 cos y ) = 4 y 0 y 1 cos y log 1 1 cos y )) = = 4;. x π. Si ha = cos π 4 + i sin π ) 4 e conseguentemente 41 + i) = 8 cos π + i sin π ) = 8i). Dalla formula di De Moivre, le radici terze richieste sono date da w 0 = cos π 6 + i sin π ) = ) 3 + i, 6 w 1 = cos 5π 6 + i sin 5π ) = ) 3 + i 6 w = cos 3π + i sin 3π ) = i.,

7 Esonero di Analisi Matematica I A) Ingegneria Edile, 5 febbraio 003 Michele Campiti 1. Calcolare il seguente integrale definito: π/4 0 sin x) cosx) dx.. Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n= 1) n log 1 + sin π ) n. 3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della seguente funzione: fx) = e sin x cos x.

8 Esonero di Analisi Matematica I B) Ingegneria Edile, 5 febbraio 003 Michele Campiti 1. Calcolare il seguente integrale definito: 1 0 arctan x 1 + x dx.. Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=0 1) n n + 1 n Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della seguente funzione: fx) = e cos x sin x.

9 Soluzione esonero di Analisi Matematica I A) Ingegneria Edile, 5 febbraio 003 Michele Campiti 1. Posto t = sinx), da cui dt = cosx) dx, si ha π/4 0 sin x) cosx) dx = t dt = 1 6 [ t 3 ] 1 0 = La successione log1 + sin π/n) n é infinitesima e quindi la serie soddisfa la condizione necessaria per la convergenza. Inoltre, per ogni n N, tenendo presente che la funzione seno é strettamente crescente in [0, π/] e che π/n + 1) < π/n, si ha 1 + sin π/n + 1) < 1 + sin π/n e conseguentemente, dalla stretta crescenza della funzione logaritmo, log 1 + sin π n + 1 ) < log 1 + sin π n Quindi la successione log1 + sin π/n)) n é infinitesima e decrescente e pertanto, per il criterio di convergenza di Leibnitz, la serie converge semplicemente. La convergenza non é assoluta per il criterio sull ordine di infinitesimo in quanto la successione log1 + sin π/n)) n é un infinitesimo di ordine La funzione in esame é definita in tutto R. Inoltre si verifica facilmente che essa é pari e periodica di periodo π per cui si può itare lo studio del suo comportamento all intervallo [0, π]. Poiché f non é dotata di asintoti ed é derivabile, i suoi punti di massimo e di minimo relativo si ottengono tutti dall equazione f x) = 0. Per ogni x R, risulta f x) = e sin x sin x cos x 1). Il segno della derivata prima quindi dipende solo dal fattore cos x 1 in quanto la funzione seno é positiva in [0, π]) e si ricava che f é strettamente crescente in ciascuno degli intervalli [0, π/4] e [3π/4, π], mentre é strettamente decrescente in [π/4, 3π/4]. Nel punto π/4 vi é un massimo relativo in cui la funzione assume il valore e/ e nel punto 3π/4 vi é un minimo relativo in cui la funzione assume il valore e/. Dalla simmetria della funzione si deduce inoltre la presenza di un ulteriore punto di minimo nel punto 0 in cui la funzione assume il valore 1 e di un ulteriore punto di massimo relativo in cui la funzione assume il valore 1. Dal confronto dei massimi e minimi relativi e tenendo presente la continuità della funzione in tutto R, si conclude che il massimo assoluto di f é e/ assunto in tutti i punti ±π/4 + kπ, k Z) mentre il minimo assoluto é e/ assunto in tutti i punti ±3π/4 + kπ, k Z). ).

10 Soluzione esonero di Analisi Matematica I B) Ingegneria Edile, 5 febbraio 003 Michele Campiti 1. Posto t = arctan x, da cui dt = dx/1 + x ), si ha 1 0 arctan x π/4 1 + x dx = t dt = 1 [ t ] π/4 = π La successione n + 1)/n 3 + 1)) n N é infinitesima e quindi la serie soddisfa la condizione necessaria per la convergenza. Inoltre, per ogni n N, si ha n + 1) + 1) n + 1) < n + 1 n in quanto, portando tutto a secondo membro e considerando il minimo comune multiplo, si ottiene nn 3 + n + 4n + 1) n + 1) 3 + 1)n 3 + 1) > 0 che é ovviamente vera. Quindi la successione n + 1)/n 3 + 1)) n N é infinitesima e decrescente e pertanto, per il criterio di convergenza di Leibnitz, la serie converge semplicemente. La convergenza non é assoluta per il criterio sull ordine di infinitesimo in quanto la successione n + 1)/n 3 + 1)) n N é un infinitesimo di ordine La funzione in esame é definita in tutto R. Inoltre si verifica facilmente che essa é dispari e periodica di periodo π per cui si può itare lo studio del suo comportamento all intervallo [0, π]. Poiché f non é dotata di asintoti ed é derivabile, i suoi punti di massimo e di minimo relativo si ottengono tutti dall equazione f x) = 0. Per ogni x R, risulta f x) = e cos x cos x1 sin x). Il segno della derivata prima quindi dipende dal fattore cos x che é positivo in [0, π/] e negativo in [π/, π] e dal fattore 1 sin x che é positivo negli intervalli [0, π/4] e [3π/4, π] e negativo in [π/4, 3π/4]. Si ricava che f é strettamente crescente in ciascuno degli intervalli [0, π/4] e [π/, 3π/4], mentre é strettamente decrescente in [π/4, π/] e [3π/4, π]. Nei punti π/4 e 3π/4 vi sono due massimi relativi in cui la

11 funzione assume il valore e/ e nel punto π/ vi é un minimo relativo in cui la funzione assume il valore 1. Dalla simmetria della funzione si deduce per quanto riguarda l intervallo [ π, π]), la presenza di altri due punti di minimo relativo in π/4 e 3π/4 in cui la funzione assume il valore e/ e di un punto di massimo relativo in π/ in cui la funzione assume il valore 1. Dal confronto dei massimi e minimi relativi e tenendo presente la continuità della funzione in tutto R, si conclude che il massimo assoluto di f é e/ assunto in tutti i punti π/4 + kπ e 3π/4 + kπ, k Z) mentre il minimo assoluto é e/ assunto in tutti i punti π/4 + kπ e 3π/4 + kπ, k Z).

12 Esame di Analisi Matematica I Ingegneria Edile, 13 febbraio Calcolare il seguente ite: Michele Campiti log 1 + log x x 0 log x arctan ex 1 e x 1.. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: fx) = log x 1 x 4.

13 Soluzione prova scritta di Analisi Matematica I Ingegneria Edile, 13 febbraio Posto y = log x ed applicando la regola di l Hôpital, si ha innanzitutto log 1 + log x x 0 log x log 1 + y = y y 1 = y 1 + y = 0, e ciò, tenendo presente che la funzione arcotangente é itata, comporta che anche il ite in esame é uguale a 0.. L argomento della funzione logaritmo é definito per x ± ed inoltre imponendo che esso sia strettamente positivo si trova anche x 1. Dunque la funzione é definita in X f = R \ {, 1, }. Essendo definita in un insieme che non é né simmetrico né periodico, la funzione non potrà verificare alcuna proprietà di simmetria né di periodicità. Per quanto riguarda lo studio del segno della funzione, si osserva che l equazione fx) 0 é equivalente alla disequazione con valore assoluto x 1 x 4 1, la quale a sua volta é equivalente ai seguenti sistemi { x 1 x 4 1, { x 1 x 4 1. La prima disequazione é soddisfatta nell insieme S 1 =], 1 13)/] ], )/] e la seconda nell insieme S = [ 1 1)/, [ [ 1 + 1)/, [, per cui la funzione risulterà positiva in S = [ 1 [ ] 1,, 1 ] [ [ ] 1,, 1 + ] 13 Si ricavano inoltre le seguenti intersezioni con gli assi A C 1 ) 1, ) 1, 0, B, D 1 ) 13, ) 13, 0 mentre l intersezione con l asse y é data dal punto E0, log 4).,,.

14 La funzione in esame é composta da funzioni continue e pertanto é continua; inoltre, poiché fx) = +, x fx) =, x 1 fx) = +, x le rette di equazione x = ed x = sono asintoti verticali in alto per f, mentre la retta di equazione x = 1 é un asintoto verticale in basso per f. Nei punti ± la funzione tende a mentre fx)/x tende a 0 e quindi non possono esistere né asintoti orizzontali né obliqui per f. A questo punto si osserva che la funzione é derivabile infinite volte in tutto l insieme di definizione infatti la funzione non é definita nel punto 1 in cui si annulla l argomento del valore assoluto). Per ogni x X f, si ha f x) = x x + 4 x 1)x 4). Il segno del termine x x + 4 é sempre strettamente positivo e dallo studio del segno degli altri fattori si deduce che la funzione é strettamente crescente in ognuno degli intervalli ], [ e ]1, [, mentre é strettamente decrescente negli intervalli ], 1[ e ], + [. Per ogni x X f, la derivata seconda della é data da f x) = 8 16x + 18x 4x 3 + x 4 x 1) x 4) e se ne omette lo studio in quanto le informazioni già raccolte consentono di tracciare approssimativamente il grafico della funzione.

15 Esame di Analisi Matematica I Ingegneria Edile, 4 febbraio 003 Michele Campiti 1. Calcolare il seguente integrale indefinito: sin x + 1 cos x + 1 x + 1 dx. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: fx) = x x 1 x + 1.

16 Soluzione prova scritta di Analisi Matematica I Ingegneria Edile, 4 febbraio Posto t = x + 1, si ha dt = dx/ x + 1 e conseguentemente sin x + 1 cos x + 1 dx = x + 1 con c R costante arbitraria. sin t cos t dt = sin3 t 3 +c = sin3 x + 1 +c, 3. La funzione é definita in X f = R \ { 1}. Poiché l insieme di definizione non é né simmetrico né periodico, la funzione non potrà verificare alcuna proprietà di simmetria né di periodicità. Per quanto riguarda lo studio del segno della funzione, si osserva che che esso dipende dal solo fattore x e pertanto la funzione risulterà strettamente positiva in ]0, 1[ ]1, + [, strettamente negativa in ], 1[ ] 1, 0[ e si annullerà nei punti A0, 0), B1, 0). La funzione in esame é composta da funzioni continue e pertanto é continua. Nel punto 1 vi é un asintoto verticale in basso in quanto x 1 fx) = infatti, la funzione reciproca tende a 0 e la funzione é negativa in un intorno di 1). Inoltre, ) fx) x 1 x ± x = 1, fx) x) = x x ± x ± x = e quindi la retta di equazione y = x é un asintoto obliquo sia a destra che a sinistra per f. A questo punto si osserva che si può dire subito che la funzione é derivabile infinite volte in X f \ {1} e, per ogni x X f \ {1}, si ha f x) = x 1 x + 1 x + x 1 x 1 Nel punto 1 la funzione non é derivabile in quanto. f +1) = x 1 + f x) = 1, f 1) = x 1 f x) = 1, e quindi 1 é un punto angoloso per f. Dallo studio del segno della derivata prima, si deduce che la funzione é strettamente crescente negli intervalli ], 1 ], ] 1, 1 + ] e [1, + [ ed

17 é strettamente decrescente negli intervalli [ 1, 1[ e [ 1 +, 1]. I punti 1 ± sono di massimo relativo per f nei quali la funzione assume i valori f f 1 ) = 1 + ) = Infine, per ogni x X f \ {1}, si ha 1 ) + ) 1 + ) ) f x) = x 1 4 x + 1 x 1)x + 1). Dallo studio del segno della derivata seconda si deduce che f é strettamente convessa in [1, + [ e strettamente concava negli intervalli ], 1[ e ] 1, 1]. Non vi sono punti di flesso per f.,.

18 Esame di Analisi Matematica I Ingegneria Edile, 9 aprile Studiare il seguente ite: Michele Campiti x + x3/ arccos e 1/x4.. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: fx) = x x e 1 x.

19 Soluzione prova scritta di Analisi Matematica I Ingegneria Edile, 9 aprile Il ite si presenta nella forma indeterminata + 0. Posto y = 1/x ed applicando la regola di l Hôpital, si ha x + x3/ arccos e 1/x4 arccos e y 4 = y 0 y 3/ = y 0 = 8 3 y 5/ y 0 1 e y 4 = 4 3 y 0 y 4 e y4 1 3 e y 4 4y 3 ) 1 e y4 y 1/ = 8 3 y 0 y = 4 3 y 4 y 5/ 1 e y4 y 4 y = 0. y 0. La funzione è definita in tutto R ed è dispari per cui ci si può itare a studiarla in R + in cui si ha, per ogni x R +, fx) = x e 1 x. Si riconosce direttamente che f è positiva in R + e si annulla solamente in 0. La funzione è continua e quindi non vi sono asintoti verticali mentre, tenendo presente che nei punti ±, il fattore x x è un infinito di ordine mentre e 1 x è un infinitesimo di ordine arbitrariamente grande, si ha fx) = 0 x ± e quindi la retta di equazione y = 0 è un asintoto orizzontale sia a sinistra che a destra per f. La funzione è sicuramente derivabile in R e risulta, per ogni x R, { f x1 x x) = )e 1 x, x > 0, x1 x )e 1 x, x > 0. Pertanto x 0 f x) = 0 e quindi f è derivabile anche in 0 con f 0) = 0. Il segno della derivata prima risulta strettamente positivo in ] 1, 1[\{0} e quindi f è strettamente crescente in [ 1, 1] ed è strettamente decrescente in ognuno degli intervalli ], 1] e [1, + [. Vi è un solo punto di massimo relativo che è anche assoluto) nel punto 1 in cui f assume il valore 1 ed un solo punto di minimo relativo che è anche assoluto) in cui f assume il valore 1. Infine, f è derivabile due volte in R e si ha, per ogni x R, { f x x) = 4 5x + 1)e 1 x, x > 0, x 4 5x + 1)e 1 x, x > 0. Nel punto 0 la funzione non è derivabile due volte in quanto f +0) = x 0 + f x) = e, f 0) = x 0 f x) = e.

20 Il segno della derivata seconda risulta positivo negli intervalli [, ] 17 [ 0, 1 5 ] 17,, [ 1 5 ] 17, 0 [ ] 17, + nei quali la funzione è strettamente convessa, mentre risulta strettamente concava in [ , 1 5 ] [ 1 17, 5 17, ] 17. I punti ± / e ± 5 17/ sono di flesso proprio per f. Dalle informazioni raccolte si può tracciare agevolmente il grafico della funzione.,

21 Esame di Analisi Matematica I Ingegneria Edile, 4 giugno 003 Michele Campiti 1. Calcolare le radici quarte del numero complesso: z = 1 + i)6 1 i).. Calcolare il seguente ite: x + log x 3 e 1/x 1)e x.

22 Soluzione prova scritta di Analisi Matematica I Ingegneria Edile, 4 giugno In forma trigonometrica, si ha 1 + i = cos π/4 + i sin π/4) e 1 i = cos π/4 + i sin π/4) da cui 1 + i) 6 = 8 cos 3 π + i sin 3 ) π, 1 i) = cos π ) + i sin π e pertanto z = 4cos π + i sin π) = 4cos 0 + i sin 0) = 4. Dalla formula sulle radici n-esime, si ottengono direttamente le seguenti radici quarte: w 0 = cos 0 + i sin 0) =, w 1 = cos π + i sin π ) = i, w = cos π + i sin π) =, w 3 = cos 3 π + i sin 3 ) π = i,. Tenendo presente che x 3 è un infinito di ordine 3, e 1/x 1 è un infinitesimo di ordine 1 ed e x è un infinito di ordine arbitrariamente grande risulta x + x 3 e 1/x 1)e x = 0 e conseguentemente x + log x 3 e 1/x 1)e x =.

23 Esame di Analisi Matematica I Ingegneria Edile, 16 luglio 003 Michele Campiti 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: fx) = e sin x cos x.. Calcolare il seguente integrale: π/ π/ e sin x cos x dx.

24 Soluzione prova scritta di Analisi Matematica I Ingegneria Edile, 16 luglio La funzione è definita in tutto R ed è periodica di periodo π. La funzione non è simmetrica e quindi è necessario studiarla nell intervallo Y = [ π, π]. Il segno della funzione dipende solo dal fattore cos x e pertanto nell insieme Y, f è positiva in [ π/, π/] e negativa in [ π, π/] [π/, π]; le intersezioni con gli assi sono date dai punti A π/, 0), Bπ/, 0) e C0, 1). Trattandosi di una funzione continua e periodica non costante), non possono esistere asintoti verticali, orizzontali oppure obliqui. La funzione è infinite volte derivabile e, per ogni x R, risulta f x) = e sin x sin x + cos x) = e sin x sin x + sin x ). Il segno di f dipende pertanto dal fattore sin x + sin x ; posto t = sin x, si ottiene la disequazione t + t 0, che è soddisfatta per t e per t /; quindi risulta f x) 0 per sin x /; la prima di tali diseguaglianze è sempre soddisfatta, mentre per la seconda bisogna considerare l insieme [ 54 π + kπ, π4 ] + kπ. k Z Quindi in Y, la funzione è strettamente crescente in ognuno degli intervalli [ π, π/4] e [3π/4, π] ed è strettamente decrescente in [π/4, 3π/4]. Conseguentemente, vi è un massimo relativo anche assoluto) nel punto Dπ/4, e/) ed un minimo relativo anche assoluto) nel punto E3π/4, e/). Per quanto riguarda lo studio della convessità, della concavità e dei punti di flesso, tenendo presente che f è infinite volte derivabile, è sufficiente considerare il segno della derivata seconda. Per semplicità, ci si ita ad semplicemente ad osservare che, per ogni x R, risulta f x) = e sin x cos x1 3 sin x sin x).. Posto t = sin x, risulta π/ π/ e sin x cos x dx = 1 1 e t dt = [ e t] 1 1 = e 1 e.