Esercizi su serie numeriche, integrali ed equazioni differenziali utili per la preparazione all esame scritto 1
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- Samuele Testa
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1 Esercizi di Analisi Matematica Paola Gervasio Esercizi su serie numeriche, integrali ed equazioni differenziali utili per la preparazione all esame scritto Es Determinare il carattere delle seguenti serie numeriche ( n n n! n= n + arctan n n log n n n! n n ( n n+ n+ n! ( n log(7 n + ( n+(π/n+ (n +! n= ( ( n n (log n 7 sin n + n= ( n 4n+ (n! n log(n + log n ( (log n 7 n=7 conv ass div div conv ass conv sempl conv ass conv ass conv ass conv ass ( ( 7 log n sin conv n ( n + ( n n log n n= div Es Determinare per quali valori del parametro reale α le seguenti serie convergono n + (log n 7 n α+, con α R conv per α > log n Alcuni dei seguenti esercizi sono stati estratti dai temi d esame di Analisi Matematica assegnati agli studenti del corso di laurea in Ingegneria Edile - Architettura, (prof Giovanna Bonfanti negli anni accademici 5/6, 6/7
2 Esercizi di Analisi Matematica Paola Gervasio 4 ( (n 7 + sinnsin n α, con α R + conv per α > 8 e /n n α log(n 7, con α R conv per α > ( n arctan(log(n 7α + 7α log n, con α R + conv per α > /7 Es I seguenti esercizi si possono svolgere dopo aver studiato gli sviluppi di Talor Calcolare la somma delle serie seguenti: n= ( n n+ n+ n! ( n+(π/n+ (n +! n= n= ( n 4n+ (n! S = 9 (e / S = S = 4(cos Es 4 Calcolare i seguenti integrali definiti e 7 log π/ π π/4 / d + arctan(d / e π 4 + arctan(e π 8 e e d 4 (e7 / + e 7 (e 7 / 8 cos( + d ( ( + d + log ( π ( 4 4 log 4 d π + π 4 π La primitiva generica è F( = arcsin ( + c 6 7 Determinare la primitiva F( di f( = + tale che F( = F( = ( + + ( + + arcsin ( + 8 Determinare la primitiva F( di f( = arctan( F( + tale che lim = π + F( = ( + arctan( + ( + ( + + log + ( + + π
3 Esercizi di Analisi Matematica Paola Gervasio Es 5 Calcolare i seguenti integrali impropri + e d log d log Es 6 Esaminare il comportamento dei seguenti integrali impropri arctan( d div sin( d conv sin( d div ( sin + (log 7 d conv log d sin(π / log sin(π d conv div Es 7 Dire per quali valori del parametro α R i seguenti integrali impropri convergono / arctan( α d conv per α (, sin( α (e d conv per α < sin( ( α log 4 d conv per α < ( (e αd conv per α < sin ( log ( + d conv per α < α log ( + αd conv per α > e α ( cos d conv per α <
4 Esercizi di Analisi Matematica Paola Gervasio 4 Es 8 Calcolare i seguenti limiti lim et log tdt + e log( 4 lim + t dt (e(t dt ( lim sin( log Es 9 Risolvere i seguenti problemi di Cauch 4 { + = log per > ( = ( = = e 5 ( = ( = 5 4 ( 7 ( 4 e ( = + per > ( = = + per > ( = 4 π ( = log + 4 e (+ e5 4 ( = arctan( + 5 ( Calcolare l = lim + Calcolare l = lim ( { = + per < ( = ( = arctan(;l = π ( = e / ;l =
5 Esercizi di Analisi Matematica Paola Gervasio 5 6 { = + ( = + e per > ( Calcolare l = lim + e ( = e ( log( + ; l = 7 { 7sin( = sin( ( π = 7 ( = 7 e 7cos( 7 Es Calcolare la soluzione dell equazione differenziale 4 = tale che ( = e ( e = lim + ( = 4 e Es Esercizio svolto sulle funzioni integrali La funzione = f(, definita sull intervallo, ha il grafico rappresentato in Fig In particolare, la funzione è simmetrica, con una simmetria di tipo dispari, rispetto al punto B = (,, ha una tangenza verticale in B, tangenza orizzontale in A = (, da destra e in C = (, da sinistra Sull intervallo (, la funzione è rettilinea Il punto D ha coordinate (, Tracciare con la massima precisione consetita i grafici della funzione derivata f ( e della funzione integrale F( = f(tdt Svolgimento Consideriamo dapprima la funzione derivata = f ( Sull intervallo, la funzione f( è crescente, quindi la derivata prima sarà positiva Essendo il punto = un estremo del dominio, si ha per definizione f ( = f + ( = In = la funzione f( presenta un punto angoloso, per cui in = la derivata prima non è definita, tuttavia si ha f ( = Nel punto = la funzione presenta una tangenza verticale, questo vuol dire che la funzione non è derivabile in =, in particolare f ±( f( f( = lim = + Il segno è positivo in ± quanto la funzione f( è crescente nell intorno di = Quindi la funzione f ( non è definita in = e la retta = è un asintoto verticale per f ( Sull intervallo (,, la funzione f( è un tratto di retta, se ne può calcolare l espressione, imponendo il passaggio per i punti C = (, e D = (, Si ha f( = + 6 sull intervallo (,, quindi f ( = sull intervallo (, Il grafico di f ( è rappresentato a sinistra di Fig Consideriamo ora la funzione integrale = F( = f(tdt Anzitutto osserviamo che, per costruzione, F( = f(tdt = La funzione f( è la derivata prima di F(, quindi dal grafico di f( = F ( risaliamo a quello di F( Sull intervallo (, si ha F ( <, quindi F( sarà strettamente decrescente Sull intervallo (, si ha F ( >, quindi F( sarà
6 Esercizi di Analisi Matematica Paola Gervasio 6 C O B D A Figure : Il grafico di = f( dell esercizio strettamente crescente In =, F ( =, quindi F( presenta un punto di minimo relativo a tangente orizzontale Poichè f( = F ( ammette una simmetria di tipo dispari rispetto al punto C, allora F( ammette una simmetria di tipo pari rispetto allo stesso punto C Questo implica che F( = F( = Sull intervallo (, si può calcolare esplicitamente l espressione della funzione integrale, essendo nota l espressione di f( = + 6 La generica primitiva di f( è G( = ( t+6dt = +6+c Fra tutte le primitive G( scegliamo quella che si raccorda con continuità alla funzione integrale già trovata sull intervallo,, ovvero vogliamo che G( = (ricordiamo infatti dal Teorema fondamentale del calcolo integrale che se f( è continua allora F( è derivabile e questo implica che F( è anche continua Di conseguenza abbiamo c = 8 Il grafico della funzione integrale F( sull intervallo, è rappresentato a destra di Fig Figure : I grafici di = f ( (a sinistra e di = F( (a destra dell esercizio
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) DMINIO + 3 Determinare il dominio della funzione f ) + 3 Deve essere Ovviamente, inoltre: se > + 3 ) 3) quindi < o 3 se < + 3, + 3 quindi 7 Determinare il dominio della funzione f ) + 5 Deve essere +
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