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1 LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione su: teoria e definizioni Indice 1 Dominio e segno Esercizi di teoria Impostazione dei calcoli relativi a dominio e segno Determinazione del dominio e segno di funzioni date Asintoti Esercizi di teoria Definizioni Vero o falso Quesiti vari Determinazione di asintoti; intersezioni del grafico con i propri asintoti Funzioni algebriche Funzioni goniometriche Funzioni logaritmiche Funzioni esponenziali Esercizi vari Asintoti verticali Asintoti orizzontali Continuità e discontinuità Studio di continuità Funzioni algebriche Funzioni goniometriche Funzioni esponenziali Funzioni definite a tratti [1] Esercizi con parametri Esercizio Esercizio Calcolo differenziale Definizioni e teoria Calcolo di derivate tramite la definizione Derivabilità e non derivabilità Riferimenti bibliografici 7 1 Per altri materiali didattici o per informazioni: Blog personale: Indirizzo [email protected] 1

2 1 Dominio e segno 1.1 Esercizi di teoria Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. Il dominio delle due funzioni seguenti è lo stesso sin ; g() = 2. Si consideri la funzione h() = log( + 3). (a) Il punto = 3 appartiene al dominio. (b) Il punto = 0 appartiene al dominio. (c) La funzione non è definita per = 0.13 π. 1.2 Impostazione dei calcoli relativi a dominio e segno 7 5 sin Impostare il sistema relativo alla determinazione del dominio delle seguenti funzioni, senza risolverlo. 1. f 1 () = 6 cos(4 + 3 ) + 5 log( 4) 2. f 2 () = tan( + 7) Determinazione del dominio e segno di funzioni date Per le seguenti funzioni h() e g(): 8 h() = cos 2/ g() = 2 4 Determinare il dominio e scriverlo sotto forma di intervallo. Studiare il segno e rappresentare sotto forma di intervallo i valori di per cui le funzioni sono positive. 2

3 2 Asintoti 2.1 Esercizi di teoria Definizioni Si dia la definizione di: Asintoto verticale; asintoto orizzontale; asintoto obliquo Vero o falso Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: Se il dominio di una funzione è limitato, il suo grafico non può avere asintoti orizzontali Se il dominio di una funzione è limitato, il suo grafico non può avere asintoti verticali f() Se esiste finito il lim +, allora f() ha un asintoto obliquo Quesiti vari Si risponda ai seguenti quesiti: Quanti asintoti orizzontali può avere una funzione? E quanti asintoti verticali? 2.2 Determinazione di asintoti; intersezioni del grafico con i propri asintoti Si considerino le funzioni elencate qui di seguito. Per esse: Si determinino le equazioni degli asintoti Si stabilisca se le funzioni elencate qui di seguito intersecano i propri asintoti Si determinino le coordinate dei punti di intersezione delle funzioni con gli asintoti Funzioni algebriche (1) (4) (2) (5) (3) (6) Funzioni goniometriche arctan + 1 (7) sin( 2) 2 (8) 3

4 2.2.3 Funzioni logaritmiche ln Funzioni esponenziali (9) 1 ln(2 9) (10) e2 e 2 (11) (12) 2.3 Esercizi vari Asintoti verticali Quali tra le funzioni elencate qui di seguito ha almeno un asintoto verticale? (13) ln(1 + 2 ) (16) (14) ln (17) 2 1 (15) Asintoti orizzontali Quali tra le funzioni elencate qui di seguito ha almeno un asintoto orizzontale? 1 2 (18) (19) (20) ln (21) 4

5 3 Continuità e discontinuità 3.1 Studio di continuità Si studi la continuità delle funzioni indicate di seguito. In particolare: Si indichino gli eventuali punti di discontinuità. Si specifichi la natura dei punti di discontinuità. Si eliminino le discontinuità eliminabili Funzioni algebriche (22) 1 (23) Funzioni goniometriche 3 sin 2 (24) ( ) sin 2 3 (25) Funzioni esponenziali 3 e 2 1 (26) e 2+2 (27) Funzioni definite a tratti [1] , se > 0 3, se = 0 e + sin, se < , se > 0 1, se = 0 e + sin, se < 0 {e 1, se = 0 0, se = 0 e 1, se < 0 1, se = 0 sin 2, se > 0 5

6 3.2 Esercizi con parametri Esercizio 1 Stabilisci per quale valore del parametro a è continua la seguente funzione: { a, se < 1 a a, se Esercizio 2 Stabilisci per quali valori dei parametri a e b è continua la seguente funzione: ae b, se 2 b 2 + 2a, se 2 < < a +5, se 2 6

7 4 Calcolo differenziale 4.1 Definizioni e teoria 1. Illustrare il concetto di rapporto incrementale di una funzione f() in un dato punto 0, anche avvalendosi di una rappresentazione grafica. 2. Siano f e g due funzioni qualsiasi. Ha senso affermare che la funzione f cresce più rapidamente di g? Perché? 3. Dare la definizione di derivata di una funzione in un dato punto, f ( 0 ). 4.2 Calcolo di derivate tramite la definizione Per le funzioni indicate di seguito: 1. Calcola il rapporto incrementale nel punto 0 a fianco indicato; 2. Fanne il limite per un incremento h che tende a zero; 3. Calcola la derivata f (); 4. Valuta la derivata nel punto 0 ; 5. Verifica l uguaglianza dei due valori ottenuti. Elenco delle funzioni: 2 3; 0 = 4 (28) ; 0 = 3 (29) e ; 0 = 5 (30) 4.3 Derivabilità e non derivabilità Vedi [2], pag Riferimenti bibliografici [1] Il paesaggio matematico verde. Vol. 5; Fico, Cariani, Mattina 1 2 ; 0 = 2 (31) [2] Corso di Matematica per il Liceo Scientifico; Canepa, A.; Gerace, M. Paravia,